Ekuacionet e Hamilton-Jakobit
Në fizikë, ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ) është një riformulim i mekanikës klasike dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si ligjet e Njutonit, mekanikën e Lagranzhit dhe mekanikën e Hamiltonit. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht.
EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e Johan Bernulit në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, ekuacionin e Shrodingerit, siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i mekanikës klasike me mekaniken kuantike.
Formulimi matematik
RedaktoEkuacioni i Hamilton–Jakobit është një ekuacion differencial pjesor jolinear i rendit të parë , për një funksion i quajtur funksioni principal i Hamiltonit
Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga mekanika e Hamiltonit duke trajtuar (veprimin) si funksionin gjenerues për një transformim kanonik të funksionit Hamiltonian klasik . Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të në lidhje me koordinata e përgjithshme
të cilat mund të merren si më poshtë.
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga
Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, integrali në është zero. Tek termi i parë vendosim , dhe e quajmë vlerën e me . Duke zëvendësuar me , marrim
- .
Nga ky relacion del se derivatet pjesore të veprimit në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.
Krahasimi me formulimet e tjera të mekanikës
RedaktoNotacioni
RedaktoPër thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si për të paraqitur listën e koordinatave të përgjithshme
që nuk transformohen si një vektor përgjatë një rrotullimi. Prodhimi skalar këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra,
Derivimi
RedaktoÇdo transformim kanonik që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë na çon tek relacionet
(Shikoni artikullin mbi transformimet kanonike për detaje të mëtejshme.)
Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues që prodhon funksion e ri Hamiltonian i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe ekuacionet e Hamiltonit bëhen shumë të lehta
pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë konstantet e lëvizjes. Vrullet e reja të përgjithshme shpesh jepen nga , pra, .
HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian
i cili është ekuivalent me EHJ
meqense .
Koordinatat e reja të përgjithshme janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga . Pasi zgjedhim për , marrim disa ekuacione shumë të dobishme
të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi
Idealisht, këto ekuacione mund të invertohen për të gjetur koordinatat e përgjithshme origjinale si një funksion i konstanteve dhe , kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.
Ndarja e variablave
RedaktoShembuj në koordinatave sferike
RedaktoHamiltoniani në koordinata sferike mund të shkruhet si
Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs merr formën
ku , dhe janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve tek ekuacioni i HJ jep
Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të ekuacioneve diferenciale ordinere duke filluar me ekuacionin
ku është konstantja e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit
Ekuacioni tjetër diferencial përfshin koordinatat e përgjithshme
ku është prapë një konstante e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga dhe e redukton ekuacionin në ekuacionin diferencial ordiner final.
integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për .
Shembuj në koordinata eliptike cilindrike
RedaktoShembuj në koordinata parabolike cilindrike
RedaktoPerafrimi Ikonal dhe lidhja me ekuacionin e Shredingerit
RedaktoEkuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionale
Redaktoku janë komponentët kontravariant të tensorit të metrikës, m është masa e prehjes e thërrmijës dhe c është shpejtësia e dritës.
Shiko gjithashtu
Redakto- Ekuacionet e Hamiltonit
- Transformimet kanonike
- Konstantja e lëvizjes
- Fusha vektoriale Hamiltoniane
- Në teorinë e kontrollit, shikoni ekuacioni i Hamilton-Jakobi-Bellmanit.
- Përafrimi WKB
Referime
Redakto- Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826.
- Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518.
- H. Goldstein (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)
- A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0-486-43261-0.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)
- Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.