Hape menynë kryesore

fizikë, ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ) është një riformulim i mekanikës klasike dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si ligjet e Njutonit, mekanikën e Lagranzhit dhe mekanikën e Hamiltonit. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht.

EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e Johan Bernulit në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, ekuacionin e Shrodingerit, siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i mekanikës klasike me mekaniken kuantike.

Formulimi matematikRedakto

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është një ekuacion differencial pjesor jolinear i rendit të parë , për një funksion   i quajtur funksioni principal i Hamiltonit

 

Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga mekanika e Hamiltonit duke trajtuar   (veprimin) si funksionin gjenerues për një transformim kanonikfunksionit Hamiltonian klasik  . Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të   në lidhje me koordinata e përgjithshme

 

të cilat mund të merren si më poshtë.
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga

 

Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, integrali në   është zero. Tek termi i parë vendosim  , dhe e quajmë vlerën e   me  . Duke zëvendësuar   me  , marrim

 .

Nga ky relacion del se derivatet pjesoreveprimit në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.

Krahasimi me formulimet e tjera të mekanikësRedakto

NotacioniRedakto

Për thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si   për të paraqitur listën e   koordinatave të përgjithshme

 

që nuk transformohen si një vektor përgjatë një rrotullimi. Prodhimi skalar këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra,

 

DerivimiRedakto

Çdo transformim kanonik që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë   na çon tek relacionet

 

(Shikoni artikullin mbi transformimet kanonike për detaje të mëtejshme.)

Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues   që prodhon funksion e ri Hamiltonian   i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe ekuacionet e Hamiltonit bëhen shumë të lehta

 

pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë konstantet e lëvizjes. Vrullet e reja të përgjithshme   shpesh jepen nga  , pra,  .

HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian  

 

i cili është ekuivalent me EHJ

 

meqense  .

Koordinatat e reja të përgjithshme   janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga  . Pasi zgjedhim për  , marrim disa ekuacione shumë të dobishme

 

të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi

 

Idealisht, këto   ekuacione mund të invertohen për të gjetur koordinatat e përgjithshme origjinale   si një funksion i konstanteve   dhe  , kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.

Ndarja e variablaveRedakto

Shembuj në koordinatave sferikeRedakto

Hamiltoniani në koordinata sferike mund të shkruhet si

 

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs   merr formën

 

ku  ,   dhe   janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve   tek ekuacioni i HJ jep

 

Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të ekuacioneve diferenciale ordinere duke filluar me ekuacionin  

 

ku   është konstantja e lëvizjes e cila eliminon   varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit

 

Ekuacioni tjetër diferencial përfshin koordinatat e përgjithshme  

 

ku   është prapë një konstante e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga   dhe e redukton ekuacionin në ekuacionin diferencial ordiner final.

 

integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për  .

Shembuj në koordinata eliptike cilindrikeRedakto

Shembuj në koordinata parabolike cilindrikeRedakto

Perafrimi Ikonal dhe lidhja me ekuacionin e ShredingeritRedakto

Ekuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionaleRedakto

 

ku   janë komponentët kontravarianttensorit të metrikës, m është masa e prehjes e thërrmijës dhe c është shpejtësia e dritës.

Shiko gjithashtuRedakto

ReferimeRedakto

  • Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826.
  • Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518.
  • H. Goldstein (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3. Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  • A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0-486-43261-0. Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  • Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.