Ekuacioni Fokker–Planck
Në mekanikën statistikore dhe teorinë e informacionit, ekuacioni Fokker-Planck është një ekuacion diferencial i pjesshëm që përshkruan evolucionin kohor të funksionit të densitetit të probabilitetit të shpejtësisë së një grimce nën ndikimin e forcave të tërheqjes dhe forcave të rastit, si në lëvizjen Brauniane . Ekuacioni mund të përgjithësohet edhe në të vëzhgueshme të tjera. [1] Ekuacioni Fokker-Planck ka zbatime të shumta në teorinë e informacionit, teorinë e grafikëve, shkencën e të dhënave, financat, ekonominë etj.
Është emërtuar sipas Adriaan Fokker dhe Maks Plankut, të cilët e përshkruan atë në 1914 dhe 1917. [2] [3] Njihet gjithashtu si ekuacioni i parmë i Kollmogorovit, sipas Andrej Kollmogorovit, i cili e zbuloi në mënyrë të pavarur në 1931. [4]
Një dimension Redakto
Në një dimension hapësinor , për një proces Itô të drejtuar nga procesi standard Wiener dhe përshkruar nga ekuacioni diferencial stokastik (EDS)
Në pasuesen përdoret, use .
Përcaktoni gjeneratorin pambarimisht të vogël: (the following can be found in Ref.[6]):
Probabiliteti i kalimit , probabiliteti që të shkohet nga tek , shfaqet ketu; pritja matematike mund të shkruhet si
Mbetet çështja e përcaktimit troç të . Kjo mund të bëhen duke marrë pritjen matematike nga forma integralee lemës së Itôs:
Pjesa që varet nga zhduket për shkak të vetisë së martingalës.
Atëherë për një pjesëz nën kushtet e lemës së Itos, duke përdorur:
Dimensionet më të larta Redakto
Në përgjithësi, nëse
me vektor drift dhe tensori i difuzionit , dmth
Shembuj Redakto
Procesi Wiener Redakto
Një proces standard skalar Wiener krijohet nga ekuacioni diferencial stokastik
Shpërndarja e Bolcmanit në baraspeshën termodinamike Redakto
Ekuacioni Langevin i mbingarkuar
Procesi Ornstein-Uhlenbeck Redakto
Procesi Ornstein-Uhlenbeck është një proces i përcaktuar si
Ekuacioni përkatës Fokker–Planck është
- ^ Leo P. Kadanoff (2000). Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization. World Scientific. ISBN 978-981-02-3764-6.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Fokker, A. D. (1914). "Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld". Ann. Phys. 348 (4. Folge 43): 810–820. Bibcode:1914AnP...348..810F. doi:10.1002/andp.19143480507.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Planck, M. (1917). "Über einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quantentheorie". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 24: 324–341.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Kolmogorov, Andrei (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitstheorie" [On Analytical Methods in the Theory of Probability]. Mathematische Annalen (në gjermanisht). 104 (1): 415–458 [pp. 448–451]. doi:10.1007/BF01457949.
- ^ Risken, H. (1996), The Fokker–Planck Equation: Methods of Solution and Applications, vëll. Second Edition, Third Printing, fq. 72
{{citation}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Öttinger, Hans Christian (1996). Stochastic Processes in Polymeric Fluids. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. fq. 75. ISBN 978-3-540-58353-0.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)