I konjuguari kompleks

Në matematikë, konjugati kompleks i një numri kompleks është numri me një pjesë reale të barabartë dhe një pjesë imagjinare të barabartë në madhësi, por me shenjë të kundërt. Kjo është, nëse $a$ dhe $b$ janë numra realë atëherë konjugati kompleks i $a+bi$ është $a-bi.$ I konjuguari kompleks i $z$ shpesh shënohet si ${\overline {z}}$ ose $z^{*}$ .

Paraqitja gjeometrike ( diagrami Argand ) i $z$ dhe konjuguar i saj ${\overline {z}}$ në rrafshin kompleks. I konjuguari kompleks gjendet duke reflektuar $z$ përgjatë boshtit real.

Në trajtë polare, nëse $r$ dhe $\varphi$ janë numra realë atëherë i konjuguari i $re^{i\varphi }$ është $re^{-i\varphi }.$ Kjo mund të tregohet duke përdorur formulën e Euler-it .

Prodhimi i një numri kompleks dhe i konjuguarit të tij është një numër real: $a^{2}+b^{2}$ (ose $r^{2}$ në koordinatat polare ).

Nëse rrënja e një polinomi të njëndryshueshëm me koeficientë realë është komplekse, atëherë i konjuguari i tij është gjithashtu një rrënjë .

Vetitë

Karakteristikat e mëposhtme vlejnë për të gjithë numrat kompleksë $z$ dhe $w,$ përveç rasteve kur thuhet ndryshe, dhe mund të vërtetohet me shkrim $z$ dhe $w$ në formë $a+bi.$

Për çdo dy numra kompleksë, konjugimi është shpërndarës mbi mbledhjen, zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin: $${\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}$$

Një numër kompleks është i barabartë me të konjuguarin e tij nëse pjesa imagjinare e tij është zero, domethënë nëse numri është real. Me fjalë të tjera, numrat realë janë pikat e vetme fikse të konjugimit.

Konjugimi nuk e ndryshon modulin e një numri kompleks: $\left|{\overline {z}}\right|=|z|.$

Konjugimi është një involucion, domethënë, konjugimi i të konjuguarit të një numri kompleks $z$ është $z.$ Në simbole, ${\overline {\overline {z}}}=z.$

Prodhimi i një numri kompleks me të konjuguarin e tij është i barabartë me katrorin e modulit të numrit: $$z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.$$ Kjo lejon llogaritjen e lehtë të inversit shumëzues të një numri kompleks të dhënë në koordinata drejtkëndore: $$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.$$

Konjugimi është ndërrues nën përbërjen me fuqi numrash të plotë, me funksionin eksponencial dhe me logaritmin natyror për argumente jozero: $${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z}$$ $$\exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}$$$$\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ nëse }}z{\text{ është jozero ose një numër real negativ }}$$

Nëse $p$ është një polinom me koeficientë realë dhe $p(z)=0,$ pastaj $p\left({\overline {z}}\right)=0$ po ashtu. Kështu, rrënjët jo-reale të polinomeve reale ndodhin në çifte komplekse të konjuguara ( shih Teoremën e rrënjës së konjuguar komplekse ).

Në përgjithësi, nëse $\varphi$ është një funksion holomorfik, kufizimi i të cilit në numrat realë është me vlerë reale, dhe $\varphi (z)$ dhe $\varphi ({\overline {z}})$ janë përcaktuar, atëherë $$\varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!$$

Përdorimi si ndryshore

Një herë një numër kompleks $z=x+yi$ ose $z=re^{i\theta }$ është dhënë, i konjuguari i tij është i mjaftueshëm për të riprodhuar pjesët e ndryshores $z$ :

• Pjesa reale: $x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}$
• Pjesa imagjinare: $y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
• Moduli (ose vlera absolute) : $r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• Argumenti : $e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},$ pra $\theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}$

Për më tepër, ${\overline {z}}$ mund të përdoret për të specifikuar linjat në rrafsh: bashkësia $$\left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}$$ është një vijë përmes origjinës dhe pingul me ${r},$ që nga pjesa reale e $z\cdot {\overline {r}}$ është zero vetëm kur kosinusi i këndit ndërmjet $z$ dhe ${r}$ është zero. Në mënyrë të ngjashme, për një njësi komplekse fikse $u=e^{ib},$ ekuacionin $${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}$$ përcakton vijën përmes $z_{0}$ paralel me drejtëzën përmes 0 dhe $u.$