Krehëri i Dirakut

Në matematikë, një krehër Dirak (i njohur gjithashtu si funksioni sha, treni i impulsit ose funksioni i kampionimit ) është një funksion periodik me formulën $\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$ për një periodë të dhënë $T$ . ^[1] Këtu t është një ndryshore reale dhe shuma shtrihet mbi të gjithë numrat e plotë k. Funksioni i deltës së Dirakut $\delta$ dhe krëhëri i Dirakut janë shpërndarje të zbutura . ^[2] ^[3] Grafiku i funksionit i ngjan një krehëri (me $\delta$ s si dhëmbët e krëhërit ), prandaj emri i tij dhe përdorimi i shkronjës cirilike sha (Ш) të ngjashme me krehërin për të shënuar funksionin.

Simboli $\operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)$ , ku perioda është lënë jashtë, përfaqëson një krehër Diraku të periodës njësi. Kjo nënkupton ^[1] $\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).$ Për shkak se funksioni i krëhërit të Dirakut është periodik, ai mund të përfaqësohet si një seri Furie e bazuar në bërthamën e Dirichlet : ^[1] $\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.$ Funksioni i krëhërit të Dirakut lejon që të përfaqësohen dukuri të vazhduara dhe diskrete, të tilla si marrja e kampioneve dhe aliasing, në një kuadër të vetëm të analizës së vazhdueshme të Furjesë në shpërndarjet e temperuara, pa asnjë referencë për seritë Thurje. Transformimi Furje i një krëhëri Dirak është një tjetër krehër Dirak. Për shkak të teoremës së thurjes mbi shpërndarjet e kalitura, e cila rezulton të jetë formula e përmbledhjes Poisson, në përpunimin e sinjalit, krëhëri i Dirakut lejon modelimin e kampionimit duke u shumëzuar me të, por gjithashtu lejon modelimin e periodizimit me konvolucionin me të. ^[4]

Transformimi Furje

{\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},

{\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~

^ ^a ^b ^c "The Dirac Comb and its Fourier Transform - DSPIllustrations.com". dspillustrations.com. Marrë më 2022-06-28. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content
^ Schwartz, L. (1951), Théorie des distributions, vëll. Tome I, Tome II, Hermann, Paris {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Bracewell, R. N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (bot. revised), McGraw-Hill {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!); 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.

[:0-1] "The Dirac Comb and its Fourier Transform - DSPIllustrations.com". dspillustrations.com. Marrë më 2022-06-28. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content

[Schwartz_1951-2] Schwartz, L. (1951), Théorie des distributions, vëll. Tome I, Tome II, Hermann, Paris {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Strichartz_1994-3] Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Bracewell_1986-4] Bracewell, R. N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (bot. revised), McGraw-Hill {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!); 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.

[1]

[2]

[3]

[4]