Matrica idempotente
Në algjebër lineare, një matricë idempotente është një matricë e cila, kur shumëzohet me vetveten, jep vetveten. [1] [2] Kjo është, matrica është idempotent atëherë dhe vetëm atëherë kur . Për këtë prodhim për t'u përcaktuar, duhet të jetë domosdoshmërisht një matricë katrore . Shikuar në këtë mënyrë, matricat idempotente janë elemente idempotente të unazave të matricës .
Shembull
RedaktoShembuj të matricave idempotente janë:
Shembuj të matricave idempotente janë:
Rasti real 2 × 2
RedaktoNëse një matricë është idempotent, atëherë
- duke nënkuptuar pra ose
- duke nënkuptuar pra ose
Kështu, një kusht i domosdoshëm për një matrica të jetë idempotente është që ose është diagonale ose gjurma e saj është e barabartë me 1. Për matricat diagonale idempotente, dhe duhet të jetë ose 1 ose 0.
Nëse , matrica do të jetë i pafuqishëm me kusht kështu që a plotëson ekuacionin kuadratik
- ose
i cili është një rreth me qendër (1/2, 0) dhe rreze 1/2. Për sa i përket këndit θ ,
- është idempotente.
Megjithatë, nuk është kusht i domosdoshëm: çdo matricë
- me është idempotente.
Zbatimet
RedaktoMatricat idempotente shfaqen shpesh në analizën e regresit dhe në ekonometri . Për shembull, në katrorët më të vegjël të zakonshëm, problemi i regresit është zgjedhja e një vektori β të vlerësimeve të koeficientëve në mënyrë që të minimizohet shuma e mbetjeve në katror (parashikime të gabuara) ei : në formën e matricës,
- Min.
ku është një vektor i vëzhgimeve të ndryshoreve të varura, dhe është një matricë secila nga kolonat e së cilës është një kolonë vëzhgimesh në një nga ndryshoret e pavarura . Vlerësuesi që rezulton është
- ^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (bot. 3rd). New York: McGraw–Hill. fq. 80. ISBN 0070108137.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (bot. 5th). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. fq. 808–809. ISBN 0130661899.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)