Qendra e masës

Në fizikë, qendra e masës së një shpërndarjeje të masës në hapësirë (nganjëherë referuar si bariqëndra ose pika e baraspeshës ) është pika unike në çdo kohë të caktuar ku vendodhja relative e ponderuar e masës së shpërndarë shumon në zero. Kjo është pika në të cilën mund të zbatohet një forcë për të shkaktuar një nxitim drejtëvizor pa një nxitim këndor . Llogaritjet në mekanikë shpesh thjeshtohen kur formulohen në lidhje me qendrën e masës. Është një pikë hipotetike ku e gjithë masa e një objekti mund të supozohet se është e përqendruar për të pamuar (vizualizuar) lëvizjen e tij. Me fjalë të tjera, qendra e masës është e njëvlershmja e grimcave të një objekti të caktuar për zbatimin e ligjeve të lëvizjes së Njutonit .

Kjo lodër përdor parimet e qendrës së masës për të mbajtur baraspeshën kur mbështetet në gisht.

Në rastin e një trupi të vetëm të ngurtë, qendra e masës është e fiksuar në lidhje me trupin, dhe nëse trupi ka dendësi të njëtrajtshme, ai do të vendoset në qendër . Qendra e masës mund të jetë e vendosur jashtë trupit fizik, siç ndodh ndonjëherë për objektet në formë të zbrazët ose të hapur, të tilla si një patkua . Në rastin e shpërndarjes së trupave të veçantë, siç janë planetët e Sistemit Diellor, qendra e masës mund të mos përkojë me vendodhjen e ndonjë anëtari individual të sistemit.

Qendra e masës është një pikë referimi e dobishme për llogaritjet në mekanikë që përfshijnë masat e shpërndara në hapësirë, të tilla si impulsi drejtëvizor dhe këndor i trupave planetarë dhe dinamika e trupave të ngurtë . Në mekanikën orbitale, ekuacionet e lëvizjes së planetëve formulohen si masa piklsore të vendosura në qendrat e masës. Qendra e sistemit të masës është një sistem referimi inercial në të cilën qendra e masës së një sistemi është në qetësi në lidhje me origjinën e sistemit të koordinatave .

E ç'është qëndra e masës?

Qendra e masës është pika unike në qendër të një shpërndarjeje të masës në hapësirë që ka vetinë që vektorët e vendodhjes të peshuar në lidhje me këtë pikë të shumojnë në zero. Në analogji me statistikën, qendra e masës është vendndodhja mesatare e një shpërndarjeje të masës në hapësirë.

Një sistem grimcash

Në rastin e një sistemi grimcash $P_{i}$, i = 1, ... , n, secila me masë $m_{i}$ që ndodhen në hapësirë me koordinata ${\boldsymbol {r}}_{i}$, i = 1, ... , n, koordinatat R të qendrës së masës plotësojnë kushtin

$$\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .$$

Zgjidhja e këtij ekuacioni për R jep formulën

$$\mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}}.$$

Një vëllim i vazhdueshëm

Nëse shpërndarja e masës është e vazhdueshme me dendësinë ρ( r ) brenda një trupi Q të ngurtë, atëherë integrali i koordinatave të vendodhjes së peshuar të pikave në këtë vëllim në lidhje me qendrën e masës R mbi vëllimin V është zero, d.m.th.

$$\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.$$

Zgjidheni këtë ekuacion për të marrë koordinatat R

$$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,$$

ku M është masa totale në vëllim.

Koordinatat baricentrike

Koordinatat R të qendrës së masës së një sistemi me dy grimca, P ₁ dhe P ₂, me masa m ₁ dhe m ₂ jepen nga

$$\mathbf {R} ={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}).$$

Sisteme me kushte kufitare periodike

Për grimcat në një sistem me kushte kufitare periodike dy grimca mund të jenë fqinje edhe pse janë në anët e kundërta të sistemit. Kjo ndodh shpesh në simulimet e dinamikës molekulare, për shembull, në të cilat disa kllastra formohen në vende të rastësishme dhe ndonjëherë atomet fqinje kalojnë kufirin periodik. Kur një grup kalon kufirin periodik, një llogaritje e painformuar e qendrës së masës do të jetë e pasaktë. Një metodë e përgjithësuar për llogaritjen e qendrës së masës për sistemet periodike është trajtimi i secilës koordinatë, x dhe y dhe/ose z, sikur të ishte në një rreth në vend të një vije. Llogaritja merr koordinatat x të çdo grimce dhe e vendos atë në një kënd,

$$\theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi$$

ku $x_{max}$ është madhësia e sistemit në drejtimin $x$ dhe $x_{i}\in [0,x_{\max })$ . Nga ky kënd, dy pika të reja $(\xi _{i},\zeta _{i})$ mund të gjenerohen, të cilat mund të peshohen me masën e grimcës $x_{i}$ për qendrën e masës ose jepet një vlerë prej 1 për qendrën gjeometrike:

$${\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}$$

Në $(\xi ,\zeta )$ plan, këto koordinata shtrihen në një rreth me rreze 1. Nga koleksioni i $\xi _{i}$ dhe $\zeta _{i}$ vlerat nga të gjitha grimcat, mesataret ${\overline {\xi }}$ dhe ${\overline {\zeta }}$ llogariten.

$${\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}$$

ku M është shuma e masave të të gjitha grimcave.

Këto vlera janë paraqitur përsëri në një kënd të ri, ${\overline {\theta }}$, nga e cila mund të merret koordinata x e qendrës së masës:

$${\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}$$