Shpërndarja bivariate von Mises

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja bivariate von Mises është një shpërndarje probabiliteti që përshkruan vlerat në një torus . Mund të mendohet si një analog në torusin e shpërndarjes normale dyndryshore . Shpërndarja i përket fushës së statistikave të drejtimit . Shpërndarja e përgjithshme dyndryshore von Mises u propozua për herë të parë nga Kanti Mardia në 1975. Një nga llojet e tij përdoret sot në fushën e bioinformatikës për të formuluar një model probabilistik të strukturës së proteinave në hollësi atomike, të tilla si libraritë rotamere të varura nga shtylla kurrizore .

Mostrat nga varianti kosinus i shpërndarjes bivariate von Mises. Pikat e gjelbra janë marrë nga një shpërndarje me përqendrim të lartë dhe pa korrelacion ( $\kappa _{1}=\kappa _{2}=200$, $\kappa _{3}=0$ ), pikat blu janë kampionuar nga një shpërndarje me përqendrim të lartë dhe korrelacion negativ ( $\kappa _{1}=\kappa _{2}=200$, $\kappa _{3}=100$ ), dhe pikat e kuqe janë kampionuar nga një shpërndarje me përqendrim të ulët dhe pa korrelacion ( $\kappa _{1}=\kappa _{2}=20,\kappa _{3}=0$ ).

Përkufizimi

Shpërndarja dyndryshore von Mises është një shpërndarje probabiliteti e përcaktuar në tor, $S^{1}\times S^{1}$ në $\mathbb {R} ^{3}$ . Funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes së përgjithshme të dyndryshore von Mises për këndet $\phi ,\psi \in [0,2\pi ]$ jepet nga

$f(\phi ,\psi )\propto \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+(\cos(\phi -\mu ),\sin(\phi -\mu ))\mathbf {A} (\cos(\psi -\nu ),\sin(\psi -\nu ))^{T}],$

ku $\mu$ dhe $\nu$ janë mesataret për $\phi$ dhe $\psi$, $\kappa _{1}$ dhe $\kappa _{2}$ përqendrimi i tyre dhe matrica $\mathbf {A} \in \mathbb {M} (2,2)$ lidhet me korrelacionin e tyre.

Dy variante të përdorura zakonisht të shpërndarjes dyndryshore në fjalë janë lloji sinus dhe kosinus.

Varianti kosinus i shpërndarjes dyndryshore von Mises ka funksionin e dendësisë së probabilitetit

$f(\phi ,\psi )=Z_{c}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )-\kappa _{3}\cos(\phi -\mu -\psi +\nu )],$

ku $\mu$ dhe $\nu$ janë mesatare për $\phi$ dhe $\psi$, $\kappa _{1}$ dhe $\kappa _{2}$ përqendrimi i tyre dhe $\kappa _{3}$ lidhet me korrelacionin e tyre. $Z_{c}$ është konstanta e normalizimit. Kjo shpërndarje me $\kappa _{3}$ =0 është përdorur për vlerësimet e dendësisë së bërthamës të shpërndarjes së këndeve dihedrale të proteinave $\phi$ dhe $\psi$ .

Varianti sinus ka funksionin e dendësisë së probabilitetit

$f(\phi ,\psi )=Z_{s}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+\kappa _{3}\sin(\phi -\mu )\sin(\psi -\nu )],$