Sinjalet e vazhduara themelore

1.Sinjali shkallë njësi

Sinjali shkallë njësi $u(t)$, i njohur gjithashtu si funksioni i Hevisajdit , definohet si :

Figura 1. (a) Sinjali shkallë njësi ; (b) Sinjali shkallë njësi i zhvendosur

$u(t)=$${\begin{cases}1,t>0\\0,t<0\end{cases}}$

e dhënë si në figurën 1(a).Sinjali është diskontinual ne kohën t=0 dhe vlera e tij në kohen t=0 nuk është e definuar. Ngjashëm, edhe sinjali i zhvendosur në kohë $u(t-t_{0})$ është i definuar si :
$u(t-t_{0})$=${\begin{cases}1,t<t_{0}\\0,t>t_{0}\end{cases}}$
e dhënë si në figurën 1(b).

2.Sinjali impuls njësi

Figura 2.

Impulsi njësi ose delta impulsi $\delta (t)$, që shpesh quhet edhe impulsi i Dirakut luan një rol të rëndësishëm në analizen e sistemeve. Tradicionalisht, $\delta (t)$ shpesh përkufizohet si limiti i nje funksioni të zgjedhur në mënyrë të përshtatshme që ka një siperfaqe mbi një interval infinitizimal të kohës të treguar në figurën 2 dhe ka vetite e treguara mëposhtë:
$\delta (t)$ = ${\begin{cases}0,t\neq 0\\\infty ,t=0\end{cases}}$

Figura 3. (a) Sinjali impuls njësi; (b) Sinjali impuls njësi i zhvendosur

$\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (t)dt=1$

Shembuj

Sinjali impuls njësi mund të përkufizohet vetëm përmes integralit: $\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t)dt=x(0)$
Disa veti dhe relacione të rëndësishme të $\delta (t)$ impulsit :

• $\delta (-t)=\delta (t)$

• $x(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)$

• $t\delta (t)=0$

• $x(t)\delta (t-t_{0})=x(t_{0})\delta (t-t_{0})$

• $\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-t_{0})dt=x(t_{0})$

3.Sinjalet eksponenciale dhe sinusoidale

Figura 4. Eksponenciali real

Sinjali kompleks eksponencial, me zgjatje të pafundme nga të dy anët përkufizohet me :

$x(t)=Ae^{at}\ ,-\infty <t<\infty$

Ku konstantat $A$ dhe $a$, në rastin e përgjithshëm kanë vlera komplekse, $A,a\in \complement$. Nëse të dy parametrat $A$ dhe $a$ marrin vlera reale atëherë sinjali $x(t)$ quhet eksponenciali real. Kur parametri $a$ merr vlerë të pastër imagjinare, $a=jw_{0}$, nga sinjali eksponencial sajohet sinusoida komplekse.

$x(t)=Ae^{jw_{0}t}$

Figura 5. Sinusoida komplekse

Përkundër eksponencialit real i cili qartazi është një sinjal aperiodik, sinusoida komplekse është sinjal periodik.

$Ae^{jw_{0}t}=Ae^{jw_{0}(t+T)}=Ae^{jw_{0}t}e^{jw_{0}T}$
Ky barazim plotësohet për:

Figura 6. Eksponenciali kompleks

$e^{jw_{0}t}=1=e^{j2\pi k}k=1,2...\Rrightarrow T={\frac {2\pi }{w_{0}}}k$. $.k=1,2...$

Për k=1 fitohet vlera më e vogël e $T$ përkatësisht perioda themelore e sinjalit sinusoidal:

$T={\frac {2\pi }{w_{0}}}$

Po të merret se edhe parametri $A$ ka vlerë komplekse:

$A=|A|e^{jw\varphi }$

Atëherë sinusoida komplekse zbërthehet në komponentët sinusoidalë, real dhe imagjinar,

$Ae^{jw_{0}t}=|A|e^{j(w_{0}t+\varphi )}=|A|cos(w_{0}t+\varphi )+j|A|sin(w_{0}t+\varphi )$
Sinjali real sinusoidal i përkufizuar me:

$x(t)=|A|cos(w_{0}t+\varphi )$

e trashëgon periodicitetin e sinusoidës komplekse T.
Nëse parametrin $a$ ka vlerë komplekse:

$a=\sigma _{0}+jw_{0}$
atëherë eksponenciali kompleks merr trajtën:
$x(t)=Ae^{at}=Ae^{(\sigma _{0}+jw_{0})t}=Ae^{(\sigma _{0})t}e^{(jw_{0})t}=Ae^{(\sigma _{0})t}cos(w_{0}t)+jAe^{(\sigma _{0})t}sin(w_{0}t)$

4.Sinjalet sinusoidale

Figura 7. Sinjali sinusoidal i vazhdueshëm në kohë

Një sinjal sinusoidal i vazhdueshëm në kohë mund të shprehet si :

$x(t)=Acos(w_{0}t+\theta )...(1)$
ku $A$ është amplituda (reale), $w_{0}$ është frekuenca në radianë për sekond, dhe $\theta$ është këndi fazor në radianë. Një sinjal sinusoidal është treguar në figurën 7, dhe është periodik me perioden fundamentale :
$T_{0}={\frac {2\pi }{w_{0}}}...(2)$
Vlera reciproke e periodës fundamentale $T_{0}$ është frekuenca fundamentale $f_{0}$:
$f_{0}={\frac {1}{T_{0}}},herc(Hz)...(3)$
Nga ekuacionet (2) dhe (3) kemi :

$w_{0}=2\pi f_{0}$

e cila quhet frekuenca këndore fundamentale. Duke përdorur formulat e Eulerit, sinjali sinusoidal nga ekuacioni (1) mund të shprehet si

$Acos(w_{0}t+\theta )=ARe[{e^{j(w_{0}t+\theta )}}]$

ku "Re" do të thotë "pjesa reale". Gjithashtu e përdorim shprehjen "Im" që do të thotë "pjesa imagjinare". Kështu që:

$AIm[e^{j(w_{0}t+\theta )}]=Asin(w_{0}t+\theta )$

5.Funksioni "Sinc"

Sinc (lexo "sink") funksioni përfitohet si rezultat i integrimit të sinusoidës komplekse në domen të parametrit $w$, në kufijtë $[-\pi ,\pi ]$.
${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{jwt}dw={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{jt}}(e^{j\pi t}-e^{-j\pi t})={\frac {sin(\pi t)}{\pi t}}$

$x(t)=sinc(t)={\frac {sin(\pi t)}{\pi t}},-\infty <t<\infty$

Shiko gjithashtu

Modulimi Amplitudor

Modulimi Këndor

Sistemet Lineare

Sinjalet

Filtrat (Përpunimi i Sinjaleve)

Referimit

• Hwei P. Hsu. “Shaum’s Outlines of Signals and Systems”. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• A.V.Oppenheim,A.S.Willsky. “Signals and Systems,2ed”. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• “Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara

Lidhjet e jashtme

• [1]
• [2]