Wikipedia

Lëkundjet e membranës elastike: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
[Redaktim i kontrolluar][Redaktim i kontrolluar]
← Redaktim më i vjetërNdryshimi më pas →
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
v Smallem: Përmirësime teknike dhe rregullime të gabimeve me referimet: (-(\{\{\s*cit[aeio][^\}]*)\|[^=]+=\s*([\|\}]) +\1\2)
Etiketa: Reverted
Rreshti 1:
[[Image:Drum vibration mode12.gif|thumb|right|200px|Një nga shumë mënyrat e mundshme të vibrimit të një [[daullja|daulleje]] rrethore ideale (moda <math>u_{12}u___L_CURLY__12__R_CURLY__</math> me notacionin e mëposhtëm). Mënyra të tjera tregohen në fund të artikullit.]]
 
[[Vibrimi|Vibrimet]] e një [[daullja|daulleje]] rrethore ideale, e cila konsiston prej një [[membrane]] elastike rrethore me trashësi uniforme e fiksuar te një kornize rrethore, janë zgjidhje të [[Ekuacioni i valës|ekuacionit të valës]] me [[Kondita kufitare Dirishleti|kondita kufitare zero]].
Rreshti 10:
Ekuacioni matematik që përshkruan vibrimin e daulles është ekuacioni i valës me kondita kufitare zero,
 
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial t^2} = c^2 \left(\frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial x^2}2__R_CURLY__+\frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial y^2}2__R_CURLY__\right) \text{ per }__R_CURLY__(x, y) \in \Omega \,</math>
 
: <math>u = 0\text{ nga }__R_CURLY__\partial \Omega.\,</math>
 
Këtu, <math>c</math> është një konstante pozitive, e cila jep "shpejtësinë" e vibrimit.
Rreshti 18:
Për shkak të gjeometrisë rrethore, është shumë e përshtatshme përdorimi i [[Koordinata polare|koordinatave polare]], <math>r</math> dhe <math>\theta.</math> Tani, ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si
 
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial t^2} = c^2 \left(\frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial r^2}2__R_CURLY__+\frac {1}{r}__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__r__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial r}r__R_CURLY__+\frac{1}{rfrac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__r^2}2__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta^2}2__R_CURLY__\right) \text{ for } 0 \le r < a, 0 \le \theta \le 2\pi\,</math>
 
: <math>u = 0\text{ per } r=a.\,</math>
 
== Rasti me simetri rrezore ==
Ne do të studiojmë në fillim rastin e mënyrave të mundshme të vibrimit te një daulleje rrethore që kanë simetri rrezore. Në këtë rast, funksioni <math>u</math> nuk varet tek këndi <math>\theta,</math> kështu që ekuacioni thjeshtohet dhe merr formën
 
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial t^2} = c^2 \left(\frac{frac__L_CURLY__\partial^2 u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial r^2}2__R_CURLY__+\frac {1}{r}__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__r__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial r}r__R_CURLY__\right) .</math>
 
Tani ne kërkojmë për zgjidhje duke përdorur metodën e ndarjes se variablave, <math>u(r, t) = R(r)T(t).</math> Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëlartëm dhe duke pjesëtuar te dy anët me <math>c^2R(r)T(t)</math> marrim
 
: <math>\frac{Tfrac__L_CURLY__T''(t)}{c__R_CURLY____L_CURLY__c^2T(t)} = \frac{1}{Rfrac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__R(r)}__R_CURLY__\left(R''(r) + \frac{1}{r}Rfrac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__r__R_CURLY__R'(r)\right).</math>
 
Ana e majte e këtij barazimi nuk varet tek <math>r,</math> dhe ana e djathte nuk varet tek <math>t,</math> kështu që nga kjo del se të dyja anët janë të barabartat me një konstante <math>K.</math> Marrim kështu dy ekuacione për <math>T(t)</math> dhe <math>R(r)</math> :
Rreshti 54:
Funksioni Bezel <math>J_0</math> ka një numër të pafundme rrënjësh pozitive,
 
: <math>0< \alpha_{01alpha___L_CURLY__01} < \alpha_{02alpha___L_CURLY__02} < \cdots</math>
 
Nga kjo marrim <math>\lambda a=\alpha_{0n}alpha___L_CURLY__0n__R_CURLY__,</math> për <math>n=1, 2, \dots, </math> kështu që
 
: <math>R(r) = J_0\left(\frac{frac__L_CURLY__\alpha_{0nalpha___L_CURLY__0n}}{a}r__L_CURLY__a__R_CURLY__r\right).</math>
 
Pra, zgjidhjet me simetri rrezore <math>u</math> te membranës vibruese që mund të jepen me mënyrene e ndarjese se variablave janë
 
: <math>u_{0n}u___L_CURLY__0n__R_CURLY__(r, t) = \left(A\cos c\lambda_{0nlambda___L_CURLY__0n} t + B\sin c\lambda_{0nlambda___L_CURLY__0n} t\right)J_0\left(\lambda_{0nlambda___L_CURLY__0n} r\right)</math> for <math>n=1, 2, \dots, \, </math>
 
ku <math>\lambda_{0nlambda___L_CURLY__0n} = \alpha_{0n}alpha___L_CURLY__0n__R_CURLY__/a.</math>
 
== Rasti i përgjithshëm ==
Rreshti 73:
Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin valor dhe duke aplikuar metodën e ndarjes se variablave, marrim
 
: <math>\frac{Tfrac__L_CURLY__T''(t)}{c__R_CURLY____L_CURLY__c^2T(t)} = \frac{Rfrac__L_CURLY__R''(r)}{R__R_CURLY____L_CURLY__R(r)}__R_CURLY__+\frac{Rfrac__L_CURLY__R'(r)}{rR__R_CURLY____L_CURLY__rR(r)} + \frac{frac__L_CURLY__\Theta''(\theta)}{r__R_CURLY____L_CURLY__r^2\Theta(\theta)}__R_CURLY__=K</math>
 
ku <math>K</math> është një konstante. Si më parë, nga ekuacioni për <math>T(t)</math> del që <math>K=-\lambda^2</math> me <math>\lambda>0</math> dhe
Rreshti 81:
Nga ekuacioni
 
: <math>\frac{Rfrac__L_CURLY__R''(r)}{R__R_CURLY____L_CURLY__R(r)}__R_CURLY__+\frac{Rfrac__L_CURLY__R'(r)}{rR__R_CURLY____L_CURLY__rR(r)} + \frac{frac__L_CURLY__\Theta''(\theta)}{r__R_CURLY____L_CURLY__r^2\Theta(\theta)}__R_CURLY__=-\lambda^2</math>
 
marrim, duke shumëzuar të dyja anët me <math>r^2</math> dhe duke bërë ndarjen e variablave, marrim
 
: <math>\lambda^2r^2+\frac{rfrac__L_CURLY__r^2R''(r)}{R__R_CURLY____L_CURLY__R(r)}__R_CURLY__+\frac{rRfrac__L_CURLY__rR'(r)}{R__R_CURLY____L_CURLY__R(r)}__R_CURLY__=L</math>
 
dhe
 
: <math>-\frac{frac__L_CURLY__\Theta''(\theta)}{__R_CURLY____L_CURLY__\Theta(\theta)}__R_CURLY__=L,</math>
 
për një konstante <math>L.</math> Since <math>\Theta(\theta)</math> është periodike, me periodë <math>2\pi,</math> <math>\theta</math> e cila është një variabël këndore, nga kjo del që
Rreshti 99:
Po të kthehemi prapa tek ekuacioni për <math>R(r),</math> zgjidhja e tij jepet nga një kombinim linar i [[Funksioni Bezel|funksioneve Bezel]] <math>J_m</math> dhe <math>Y_m. </math> Me një argument të ngjashëm si në seksioni e mëparshëm, arrimë tek
 
: <math>R(r) = J_m(\lambda_{mn}rlambda___L_CURLY__mn__R_CURLY__r),\,</math> <math>m=0, 1, \dots,</math> <math>n=1, 2, \dots,</math>
 
ku <math>\lambda_{mn}lambda___L_CURLY__mn__R_CURLY__=\alpha_{mn}alpha___L_CURLY__mn__R_CURLY__/a,</math> me <math>\alpha_{mn}alpha___L_CURLY__mn__R_CURLY__</math> e cila është rrënja pozitive e <math>n</math>-te e <math>J_m.</math>
 
Më lart treguam që te gjitha zgjidhjet në të cilat variablat janë të pavarura për një daulle vibruese rrethore janë të formës
 
: <math>u_{mn}u___L_CURLY__mn__R_CURLY__(r, \theta, t) = \left(A\cos c\lambda_{mnlambda___L_CURLY__mn} t + B\sin c\lambda_{mnlambda___L_CURLY__mn} t\right)J_m\left(\lambda_{mnlambda___L_CURLY__mn} r\right)(C\cos m\theta + D \sin m\theta)</math>
 
për <math>m=0, 1, \dots, n=1, 2, \dots</math>.
Rreshti 116:
<center>
<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode01.gif|Moda <math>u_{01}u___L_CURLY__01__R_CURLY__</math>
Image:Drum vibration mode02.gif|Moda <math>u_{02}u___L_CURLY__02__R_CURLY__</math>
Image:Drum vibration mode03.gif|Moda <math>u_{03}u___L_CURLY__03__R_CURLY__</math>
</gallery>
 
<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode11.gif|Moda <math>u_{11}u___L_CURLY__11__R_CURLY__</math>
Image:Drum vibration mode12.gif|Moda <math>u_{12}u___L_CURLY__12__R_CURLY__</math>
Image:Drum vibration mode13.gif|Moda <math>u_{13}u___L_CURLY__13__R_CURLY__</math>
</gallery>
 
<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode21.gif|Moda <math>u_{21}u___L_CURLY__21__R_CURLY__</math>
Image:Drum vibration mode22.gif|Moda <math>u_{22}u___L_CURLY__22__R_CURLY__</math>
Image:Drum vibration mode23.gif|Moda <math>u_{23}u___L_CURLY__23__R_CURLY__</math>
</gallery>
</center>
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/wiki/Lëkundjet_e_membranës_elastike"