|
'''Mekanika e Hamiltonit''' është një ri-formulim i [[Mekanika klasike|mekanikës klasike]] që u paraqit për herë te parë në 1833 nga matematikani Irlandez [[Uilliam Rouan Hamilton]]. Si teori u ngrit në bazë të [[Mekanika e Lagranzhit|mekanikës së Lagranzhit]], një riformulim tjetër i mekanikes klasike, i dhënë nga [[Jozef Luiz Lagranzhi]] në 1788. Megjithatë teoria mund të formulohet pa mbështetje në mekanikën e Lagranzhit, duke përdorur [[manifolde simplektike|hapësira simplektike]]. Shikoni seksionin mbi formulimin matematik për këtë. Metoda e Hamiltonit ndryshon nga mënyra e Lagranzhit sepse në vend që të shprehet nëpërmjet konditave të ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë në një [[Hapësira kordinative|hapësirë kordinative]] n-dimensionale, ajo jepet nga kondita të ekuacioneve të rendit të parë në një [[Hapësira fazale|hapësire fazale]] 2n-dimensionale[http://planning.cs.uiuc.edu/node707.html].
Ashtu si në mekaniken e Lagranzhit, ekuacionet e Hamiltonit japin një kendvështrim të ri dhe ekuivalent të mekanikës klasike. Përgjithësisht, keto ekuacione nuk jane shumë të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve praktike. Megjithatë, ato na lejojnë që të shikojmë më thellë në strukturën e përgjithshme të mekanikës klasike dhe lidhjes së saj me mekaniken kuantike siç jepet nga formalizmi Hamiltonian. Për më tepër metoda ka aplikime edhe në degë të tjera te shkencës.
== Një paraqitje e thjeshtuar e përdorimit të metodës ==
Për një sistem të mbyllur shuma e energjisë kinetike me energjinë potenciale jepet nga një set [[Ekuacionet diferenciale|ekuacionesh diferenciale]] të njohura si 'ekuacionet e Hamiltonit’' për atë sistem. Funksioni Hamiltonian mund të përdoret për të përshkruar sisteme të thjeshta si një top që përplaset poshtë e lartë, një lavjerrës ose lekundjet e një suste në të cilën energjia ndryshon nga kinetike në potenciale në menyrë te vazhdueshme gjatë një intervali kohor. Funksionet Hamiltoniane mund të përdoren në modelimin e energjisë në sisteme komplekse dinamike si për shembull në orbitat planetare apo në mekanikën kuantike. <ref>[http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.013a/textbook/chapter16/section03.html The Hamiltonian] MIT OpenCourseWare website 18.013A Chapter 16.3 Accessed February 2007</ref>
Ekuacionet e Hamiltonit jepen si më poshtë :
:<math>\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}</math>
:<math>\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}</math>
Në ekuacionet e mëlartme, pika tregon derivatin e zakonshëm të funksionit në lidhje me kohën, ''p = p(t)'' (të quajtura momenti i përgjithshem) dhe ''q = q(t)'' (të quajtura [[Kordinatat e pergjithshme|kordinatat e përgjithshme]]), të cilat marrin vlera ne një hapesire vektoriale të caktuar, tani ''<math>\mathcal{H}</math> = <math>\mathcal{H}(p,q,t)</math>'' është i ashtëquajturi [[Mekanika e Hamiltonit|funksion Hamiltonian]], ose funksioni skalar Hamiltonian. Në mënyrë më eksplicite kjo jepet si :
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)</math>
Për një derivim të detajuar të këtyre ekuacioneve shikoni seksionin mbi [[Mekanika e Lagranzhit|mekanikën e Lagranzhit]] më poshtë.
=== Interpretimi fizik, mnemoteknika ===
Interpretimi më i thjeshtë i ekuacioneve të Hamiltonit jepet më poshtë, duke i aplikuar ato në një sistem një-dimensional që përbehet nga një thërrmije e vetme me masë ''m'' për të cilën është i vërtetë [[Ligji i ruajtjes se energjise|ligji i ruajtjes së energjisë]] :
[[Mekanika e Hamiltonit|Funksioni Hamiltonian]] ''<math>\mathcal{H}</math>'' përfaqeson [[Energjia|energjinë]] e sistemit, e cila është shuma e [[Energjia kinetike|energjisë kinetike]] dhe asaj [[Energjia potenciale|potenciale]], tradicionalisht të quajtura ''T'' & ''V'', respektivisht. Këtu ''q'' është kordinata ''x'' dhe momenti ''p'', ose ''mv.'' Atëhere
: <math>\mathcal{H} = T + V , \quad T = \frac{p^2}{2m}, \quad V = V(q) = V(x). </math>
Vini re se ''T'' është një funksion vetëm i ''p'', kurse ''V'' është një funksion vetëm i ''x'' (ose ''q'').
Tani derivati në lidhje me kohën i momentit ''p'' është i barabartë me ''forcën Njutoniane'', kështu që ketu ekuacioni i parë i Hamiltonit tregon që forca mbi thërrmijen është e barabarte me shpejtësine e ndryshimit të humbjes së energjisë potenciale në lidhje me ndryshimet në pozicionin ''x,''. (Forca jepet nga minus [[gradienti]] i energjisë potenciale.)
Derivati-kohor i ''q'' këtu ka kuptimin e shpejtësisë : ekuacioni i dytë i Hamiltonit tregon se shpejtesia e thërrmijes është e barabartë me derivatin e energjisë kinetike në lidhje me momentin. (Për derivatin në lidhje me ''p'' të ''p<sup>2</sup>/2m'' e barabartë me ''p/m = mv/m = v.'')
=== Përdorimi i ekuacioneve te Hamiltonit ===
# Së pari shkruani [[Funksioni i Lagranzhit|funksionin e Lagranzhit]] ''L'' = ''T'' – ''V''. Shkruaj ''T'' dhe ''V'' sikur po shkruaje ekuacionet e Lagranzhit për sistemin ne fjalë.
# Llogarit impulsin duke diferencuar funksionin e Lagranzhit në lidhje me shpejtësine.
# Shprehni shpejtesite ne varësi te impulsit duke manipuluar relacionin qe morët ne hapin e dyte(2).
# Llogarit funksionin Hamiltonian duke përdorur përcaktimin e zakonshëm.
: <math>\mathcal{H} = \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L}</math>.
Shndërro shpejtësite me rezultatin qe morët ne hapin e tretë (3). Apliko ekuacionet e Hamiltonit.
=== Shënime ===
Së pari një sqarim mbi atë që në këtë artikull kemi quajtur moment, momenti ketu percaktohet si p = mv. Ne tekstet shqiptare kjo madhesi zakonisht quhet impuls. Kjo nuk eshtë e saktë sepse impulsi është ndryshimi i momentit. Per hollesi te metejshme shikoni artikujt mbi [[impulsi]]n dhe [[momenti]]n.
Ekuacionet e Hamiltonit jane tërheqese ne thjeshtësine e tyre mahnitese me [[Simetria|simetrinë]] paksa te (''[[Simetria e thyer|thyer]]'') Ato jane analizuar nga çdo këndvështrim i mundshem, që nga fizika e thjështë deri te [[gjeometria simplektike]]. Shumë dihet mbi zgjedhjet e ketyre ekuacioneve, megjithatë në rastin e përgjithshëm, zgjedhjet ekzakte te [[ekuacioneve te levizjes]] nuk mund te jepet në menyrë eksplicite për një sistem me më shumë se dy pika lendores. Rezultati i [[konservimi i madhesise|madhesive te konservuara]] luan një rol shumë te rendesishem ne kerkimin per zgjedhjet e ekuacioneve ose informacionin mbi natyren e tyre. Ne modele me një numer te pafundëm [[grada lirie (fizike dhe kimi)| gradash lirie]], kjo ështe shumë më e komplikuar.
Një zonë interesante dhe premtuese kerkimi, eshtë studimi i [[sistemeve te integrueshme]], ku një numër i pafundëm i madhesive konservuese mund te ndërtohet.
== Derivimi i ekuacioneve të Hamiltonit ==
Ne mund te derivojmë ekuacionet e Hamiltonit duke analizuar se si funksioni Lagranzhian ndryshon kur ne ndryshojmë kohen dhe pozicionin e thërmijave.
<math>
</math>
Tani momenti(impulsi) i përgjithshem u percaktua si <math>p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}</math> keshtu qe ekuacionet e Lagranzhit na tregojne se
<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = F_i
</math>
ku <math>F_i</math> është forca e pergjithshme. Kjo mund te transformohet ne menyre qe të japi
<math>
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i
</math>
== Ekuacionet e Hamiltonit si riformulim i mekanikës së Lagranzhit ==
Duke filluar me [[Mekanika e Lagranzhit|mekanikën e Lagranzhit]], [[ekuacionet e lëvizjes]] jane te bazuara në [[kordinatat e pergjithshme|kordinata te përgjithshme]]
:<math>\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\} </math>
[[Funksioni Lagranzhian]] mund te jepet si:
:<math>\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)</math>
Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin ''N'' variabla te asaj madhësie. Mekanika Hamiltoniane kërkon qe të zëvendesoje variablat e shpejtesisie së pergjithshme me variablat e impulsit te përgjithshem, qe njihen gjithashtu si ''momenti i konjuguar''. Duke vepruar në këtë mënyrë, është e mundur që të trajtosh sisteme te caktuara, si për shembull aspekte te ndryshme të mekanikës kuantike, që ndryshe do të ishin akoma më të veshtira.
Për çdo variable te shpejtësise se pergjithshme, ekziston një variabël e [[momenti i konjuguar|momentit te konjuguar]], që percaktohet si :
:<math>p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}</math>
Ne [[kordinata Karteziane]], momenti i përgjithshem është [[momenti]] linear. Në [[Kordinata (matematike)|kordinata rrethore polare]], momenti i përgjithshem që i korrespondon shpejtësise kendore është [[momenti kendor]]. Per një zgjedhje arbitrare kordinatash te përgjitshme, zakonisht nuk është e mundur qe ti japesh një interpretim intuitiv momentit të konjuguar.
Një gjë që nuk ështe shumë e qarte në këte formulim qe varet nga sistemi kordinativ është se kordinata të ndryshme të përgjithsme nuk jane gjë tjetër veçse kordinatizime të ndryshme të të njëjtit [[manifold simplektik]].
:<math>\mathcal{H}\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)</math>
Nëqoftese ekuacionet e transformimit që përcaktojne kordinatat e përgjithshme janë te pavarura nga ''t'', si dhe nëqoftëse funksioni Lagranzhian eshtë një shumë e produkteve të funksioneve (në kordinata te pergjithsme) qe jane homogjene ne rend zero, rend të parë ose te dytë, atehere mund të tregohet se ''H'' është e barabarte me energjine e pergjithshme ''E'' = ''T'' + ''V''.
Çdo anë e relacionit ''<math>\mathcal{H}</math>'' prodhon një diferencial :
\end{align}</math>
Duke zëvendesuar relacionin per momentin e konjuguar në këtë ekuacion dhe duke analizuar çdo koefiçent, ne arrimë në ekuacionet e levizjes se mekanikes Hamiltoniane, te njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit :
:<math>
Arsyeja thelbesore per menyren tërheqëse të metodës së Hamiltonit është fakti se ajo tregon bazat e një structure tepër te thellë të mekanikës klasike.
== Gjeometria e sistemeve Hamiltoniane ==
Një sistem Hamiltonian mund te shikohet si një [[tufe fibrash (matematike)|tufë fibrash]] ''E'' mbi [[koha|kohen]] ''R'', me një [[bashkesi baze|fiber]] ''E''<sub>''t''</sub>, ku ''t'' ∈ ''R'' është pozicioni në hapësire. Funksioni Lagranzhian është një funksion mbi një [[tufe xhetesh]] ''J'' mbi ''E'' ; duke marre [[Transformimi i Lazhandrit|transformimin Lazhandrian]] ne lidhje me fibrat e funksinonit Lagranzhian, kjo jep një funksion ne një tufe duale, fibra e së cilës ''t'' është [[hapesira kotangjente]] ''T''<sup>*</sup>''E''<sub>''t''</sub>, e cila është e pajisur me një [[forma simplektike|formë simplektike]] natyrale, ky funksion është funksioni Hamiltonian.
== Përgjithësimi në mekanikën kuantike nëpërmjet parantezave të Puasonit ==
Ekuacioni i më lartëm i Hamiltonit është i vlefshëm në [[mekanika klasike|mekanikën klasike]], por jo për [[mekanika kuantike|mekanikën kuantike]], sepse ekuacionet diferenciale që diskutuam më lart marrin parasysh që ne kemi mundësinë të kemi njohuri të plotë mbi pozicionin dhe momentin (impulsin) e thërmijës për çdo moment në kohë. Megjithatë, ekuacionet mund të përgjithësohen edhe më tej, si për shembull në mekanikën kuantike ose edhe në mekanikën klasike duke shfrytëzuar transformimet nëpërmjet [[Algjebra e Puasonit|algjebrës së Puasonit]] mbi ''p'' dhe ''q'', deri te algjebra e [[Parantezat e Mojalit| parantezave te Mojalit]].
Në këtë rast, forma më e pergjithshme e ekuacioneve të Hamiltonit është
:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, \mathcal{H}\} + \frac{\partial f}{\partial t}</math>
Ku ''f'' është një funksion i ''p'' dhe ''q'', dhe ''H'' është funksioni Hamiltonian. Për të gjetur rregullat për të llogaritur një [[Parantza e Puasonit|paranteze Puasoni]] pa përdorur ekuacione diferenciale, referoju artikullit mbi [[Algjebra e Liut| algjebrën e Liut]] ; një parantezë Puasoni është emri i një paranteze të Liut në [[Algjebra e Puasonit|algjebrën e Puasonit]].
Në fakt, kjo mënyrë algjebrike jo vetëm që na lejon që të zgjerojmë nocionin e [[Distribucioni i probabilitetit|distribucionit të probabilitetit]] në [[Hapesira fazale|hapësirën fazale]] në [[distribucionin e kuazi-probabilitetit të Wignerit]], por gjithashtu është një metodë më e fuqishme veçanrisht në trajtimin klasik, ku ndihmon për analizimin e [[Madhesi e konservuar|madhësive të konservuara]] në një sistem.
== Formalizimi matematik ==
Për cdo funksinon ''H'' qe ka vlere reale dhe është [[kunksion i lemuar|i lemuar]] ne një [[manifold simplektik]] ne mund te percaktojme një [[Fushe vektoriale Hamiltoniane|sistem Hamiltonian]]. Funksioni ''H'' njihet si '''Hamiltoniani''' ose '''funksioni i energjise'''. Manifoldi simplektik ne kete rast quhet [[hapesira fazale|hapesire fazale]]. Funksioni Hamiltonian indukton një [[fushe vektoriale]] speciale ne manifoldin simpletik, e cila njihet si [[fusha vektoriale simplektike]].
Fusha vektoriale simplektike, që gjithashtu njihet si fusha vektoriale Hamiltoniane, shakton një [[rrjedhe Hamiltoniane]] ne manifold. [[Kurbat integrale]] të fushes vektoriale janë një familje me një parameter e transformimeve ne manifold; parametri i kurbave zakonisht quhet '''kohe'''. Evolucioni kohor ne kete rast jepet nga [[simplektomorfizma]]t. Nga [[Teorema e Ljuvilit| Teorema e Ljuvilit]], çdo simplektomorfizem ruan [[formen e volumit]] ne [[hapesiren fazale]]. Grumbullimi i simplektomorfizmave te shkaktuara nga rrjedha e Hamiltonit zakonisht quhet '''mekanika e Hamiltonit''' e sistemit Hamiltonian.
Fusha vektoriale Hamiltoniane shkakton gjithashtu një veprim special te quajtur, [[parantezat e Puasonit]]. Parantezat e Puasonit veprojne mbi funksione ne një manifold simplektik, duke i dhene hapesires se funksioneve një structure qe quhet [[algjebra e Liut]].
Le te kemi një funksionte caktuar ''f''
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,\mathcal{H}\,\}.</math>
Neqoftese kemi një [[distribucion probabiliteti]], ρ,atehere (neqoftese shpejtesia ne hapesiren fazale (<math> {\dot p_i}, {\dot q _i} </math>) ka divergjencë zero, dhe probabiliteti ruhet ) ne kete rast mund te tregohet se derivati konvektiv është zero, pra
:<math>\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho, \mathcal{H}\,\}.</math>
Kjo quhet [[Teorema e Ljuvilit (Funksioni Hamiltonian)|teorema e Ljuvilit]]. Cdo [[funksion i lemuar]] ''G'' mbi një [[manifold simplektik]] prodhon një familje [[simplektomorfizma]]sh me një parameter dhe neqoftese { ''G'', ''H'' } = 0, atehere ''G'' është një madhesi qe ruhet dhe simplektomorfizmat në kete rast jane [[transformime simetrie]].
Një Hamiltonian mund te kete shumë madhesi te konservuara ''G''<sub>''i''</sub>. Neqoftese manifold simplektik ka një dimension 2''n'' si dhe ekzistojne ''n'' madhesi funksionale te pavarura ''G''<sub>''i''</sub> te cilat jane te barabarta me inversin e tyre (pra, { ''G''<sub>''i''</sub>, ''G''<sub>''j''</sub> } = 0), atehere funksioni Hamiltonian është [[Integrimi Ljuvilan|funksion Ljuvilan i integrueshem]]. [[Teorema e Ljuvil–Arnoldit]] thote se lokalisht çdo funksion Hamiltonian qe është një funksion Ljuvilan i integrueshem, mund te transformohet nepermjet një simplektomorfizme ne një funksion te ri Hamiltonian ku madhesite e konservuara ''G''<sub>''i''</sub> veprojne si kordinata; Keto kordinata te reja quhen ''kordinatat e kendeve te veprimit''. Funksioni i transformuar Hamiltonian varet vetem te ''G''<sub>''i''</sub>, keshtu qe ekuacionet e levizjes kanë një forme me te thjështë
<math> \dot{G}_i = 0, \qquad \dot{\varphi}_i = F(G), </math>
Për disa funksione ''F'' (Arnol'd et al., 1988). Ekziston një fushe e tere qe merret me studimin e devijimeve te vogla nga sistemet e integrueshme . Themelore ne kete dege është [[Teorem KAM]].
Integrimi i fushave vektoriale Hamiltoniane është një pyetje e hapur. Pergjithesisht, çdo sistem Hamiltonian është [[Teoria a kaosit|kaotik]]; konceptet e matjes, kompletesise, integimit dhe stabilitetit jane te percaktuara ne një menyre shumë të dobët. Në keto kohra, studimi i [[Sistemet dinamike|sistemeve dinamike]] është më shumë kualitativ sesa kuantitativ, prandaj ajo qe mbetet per tu bërë është vendosja e ketyre koncepteve mbi baza me forta matematike që lejojnë per modelime dhe llogaritje.
== Manifoldet Rimaniane ==
(Ky seksion është i lidhur nga [[Gjeodeziku]])
Një rast special ndodh kur kemi funksione Hamiltoniane që janë [[forma kuadratike]], pra, Hamiltoniane që mund të shkruhen si
:<math>\mathcal{H}(q,p)= \frac{1}{2} \langle p,p\rangle_q</math>
Ku <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_q</math> është një [[Kometrika|kometrikë]] në një [[Tufë fibrash (matematikë)|fibër]] <math>T_q^*Q</math>, e cila ndodhet në [[hapësira kotangente|hapësirën kotangente]] në piken ''q'' në [[hapësirë konfigurimi|hapësirën e konfigurimit]]. Ky funksion Hamiltonian jepet i teri nga [[termi kinetik]].
Nëqoftese marrim parasysh një [[manifold Rimanian]] ose një [[manifold pseudo-Rimanian]], në mënyrë që të ketë një [[metrika (matematikë)|metrikë]] të invertueshme, jo të degjeneruar, atehere kometrika jepet thjesht si inversi i metrikës. Zgjidhjet e [[Ekuacionet e Hamilton-Jakobit|ekuacioneve të Hamilton–Jakobit]] për këtë funksion Hamiltonian janë të njëjtat si [[Gjeodeziku|gjeodezikët]] në manifold. Në mënyrë të veçantë, [[rrjedha e funksionit Hamiltonian]] në këtë rast është e njëjta gjë me [[Rrjedha e gjeodezikut|rrjedhën e gjeodezikut]]. Ekzistenca e zgjidhjeve të tilla, si dhe të qënit komplet i bashkësisë së zgjidhjeve, janë tema që diskutohen me detaje në artikullin mbi [[Gjeodeziku|gjeodezikët]]. Shikoni gjithashtu edhe artikullin mbi [[Gjeodezikët si rrjedhë Hamiltoniane]].
== Manifoldet Nën-Rimaniane ==
Kur kometrika është e degjeneruar, ajo nuk është e invertueshme. Në këtë rast, nuk kemi një manifold Rimanian, sepse nuk kemi një metrikë. Megjithatë, funksioni Hamiltonian ekziston akoma. Në rastin kur kometrika është e degjeneruar ne çdo pikë ''q'' të manifoldit në hapësirën e konfigurimit ''Q'', pra [[Rendi (matematikë)|rendi]] i kometrikës është më pak se dimension i manifoldit ''Q'', në këtë rast kemi një [[Manifoldet nën-Rimaniane|manifold nën-Rimanian]].
Funksioni Hamiltonian në këtë rast njihet si '''Hamiltoniani nën-Rimanian '''. Çdo Hamiltonian përcakton në një mënyre unike kometrikën,dhe anasjelltas. Kjo implikon se çdo [[Manifoldet nën-Rimaniane|manifold nën-Rimanian]] përcaktohet në një menyrë unike nga një Hamiltonian nën-Rimanian, e anasjellta është gjithashtu e vërtetë: çdo manifold nën-Rimannian ka një funksion Hamiltonian unik nën-Rimanian. Ekzistenca e gjeodezikëve nën-Rimaniane jepet nga [[Teorema e Chow-Rashevskit|teorema e Çow-Rashevskit]].
Grupi real dhe i vazhdueshëm i [[Grupi i Hajzenbergut|Hajzenbergut]] jep një shembull të thjeshtë te një manifoldi nën-Rimanian. Per një grup Hajzenbergu,funksioni Hamiltonian jepet nga
:<math>\mathcal{H}(x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\frac{1}{2}\left( p_x^2 + p_y^2 \right)</math>.
<math>p_z</math> nuk përfshihet në funksionin Hamiltonian.
== Algjebra e Puasonit ==
Sistemet Hamiltoniane mund te përgjithësohen në mënyra të ndryshme. Në vend që të shikojmë vetëm për [[Algjebrat asociative|algjebrat]] e [[funksion i diferencueshem|funksioneve te diferencueshëm]] mbi një [[manifold simplektik]], mekanika e Hamiltonit mund të formulohet me anë të [[algjebra e Puasonit|algjebrës së Puasonit]] që përgjithësisht është [[komutativ]]e [[unitar]]e dhe [[Numer real|reale]]. Një [[gjendje (analize funksionale)|gjëndje]] është një [[funksion linear]] i [[vazhdimesia (topologji)|vazhdueshëm]] në algjebrën e Puasonit (i pajisur me një [[Hapesire topologjike|topologji]] të caktuar) e tillë që për një element ''A'' të algjebrës, ''A''² lidhet me një numër real jonegativ.
Një përgjithesim i mëtejshem jepet nga [[dinamika e Nambu]].
== Thërrmijë e ngarkuar në një fushë elektromagnetike ==
Një ilustrim shumë i mirë i mekanikës së Hamiltonit jepet nga funksioni Hamiltonian i një [[Pika lëndore|thërrmijë]] të ngarkuar në një fushë [[Fusha elektromagnetike|elektromagnetike]]. Në [[Kordinatat karteziane|kordinata karteziane]] (pra <math> q_i = x_i </math>), funksioni Lagranzhian i një grimce jo-relativiste në një fushë elektromagnetike është (në [[Njësi SI]]):
: <math> \mathcal{L} = \sum_i \tfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 + \sum_i e \dot{x}_i A_i - e \phi, </math>
Ku '''e''' është [[ngarkesa elektrike]] e thërrmijës (mund të mos jetë e njëjtë me ngarkesën e elektronit), <math>\phi</math> është [[Potenciali elektrik| potenciali skalar elektrik]],dhe <math>A_i</math> janë komponentet e [[Potenciali vektorial magnetik|potencialit vektorial magnetik]] (këto mund te modifikohen nëpërmjet një teknike që njihet si [[Fiksimi i madhesive| transformimi i madhësive]]).
Momenti i përgjithshëm mund të derivohet nga:
Ky ekuacion përdoret shumë në [[Mekanika kuantike|mekanikën kuantike]].
== Shikoni gjithashtu ==
* [[Funksioni Hamiltonian (mekanika kuantike)]]
* [[Ekuacionet e Hamilton–Jakobit]]
== Referenca ==
{{reflist}}
* [[Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
* [[Vladimir Arnold|V.I. Arnol'd]], V.V. Kozlov and A.I. Neĩshtadt, "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics." In: ''Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III'' (vol. 3), Springer-Verlag, 1988.
* A. M. Vinogradov , B. A. Kupershmidt "[http://diffiety.ac.ru/djvu/structures.djvu The structure of Hamiltonian mechanics]" ([[djvu]]), London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 60 (1981), Cambridge Univ. Press, London
* Binney, James, "''[http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/CMech_notes.ps Classical Mechanics]''" ([[PostScript]]) [http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/cmech.pdf lecture notes] ([[Portable Document Format|PDF]])
* Tong, David, [http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] (Cambridge lecture notes)
[[CategoryKategoria:Fizikë]]
[[CategoryKategoria:Mekanikë]]
[[CategoryKategoria:Mekanikë klasike]]
[[CategoryKategoria:Mekanika e Hamiltonit]]
[[ar:ميكانيك هاملتوني]]
[[ja:ハミルトン力学]]
[[ko:해밀턴 역학]]
[[ml:ഹാമില്ട്ടോണിയന് ബലതന്ത്രം]]
[[nl:Hamiltonformalisme]]
[[no:Hamiltonmekanikk]]
| 