Tangjentja

Në gjeometri, vija tangjente (ose thjesht tangjente ) me një kurbë të rrafshët në një pikë të caktuar është, intuitivisht, vija e drejtë që "vetëm sa prek" kurbën në atë pikë. Lajbnici e përcaktoi atë si vijën përmes një çifti pikash pafundësisht të afërta në kurbë. Më saktësisht, një drejtëz është tangjente me lakoren $y=f(x)$ në një pikë $x=c$ nëse drejtëza kalon nëpër pikën $(c,f(c))$ në kurbë dhe ka pjerrësi $f'(c)$, ku $f'$ është derivati i $f$ . Një përkufizim i ngjashëm vlen për kthesat dhe kthesat e hapësirës në hapësirën Euklidiane n -dimensionale.

Tangjentja në një lakore. Vija e kuqe është tangjente me lakoren në pikën e kuqe.

Plani tangjent ndaj një sfere

Pika ku takohen ose kryqëzohen drejtëza tangjente dhe kurba (lakorja) quhet pika e tangjencës . Drejtëza tangjente thuhet se "shkon në të njëjtin drejtim" si lakorja, dhe kështu është përafrimi më i mirë drejtvizor për lakoren në atë pikë. Drejtëza tangjente në një pikë në një lakore të diferencueshme mund të mendohet gjithashtu si një përafrim i vijës tangjente, grafiku i funksionit afin që përafron më mirë funksionin origjinal në pikën e caktuar.

Në mënyrë të ngjashme, rrafshi tangjent me një sipërfaqe në një pikë të caktuar është rrafshi që "vetëm sa prek" sipërfaqen në atë pikë. Koncepti i një tangjente është një nga nocionet më themelore në gjeometrinë diferenciale dhe është përgjithësuar gjerësisht.

Fjala "tangjente" vjen nga latinishtja tangere , "me prek".

Vija tangjente në një kurbë të rrafshët

Një tangjente (tangent), një kordë (chord) dhe një sekant (secant) në një rreth

Nocioni intuitiv se një vijë tangjente "prek" një kurbë mund të bëhet më i qartë duke marrë parasysh vargun e drejtëzave ( vijat sekante ) që kalojnë nëpër dy pika, A dhe B, ato që shtrihen në kurbën e funksionit. Tangjentja në A është kufiri kur pika B përafrohet ose tenton drejt A. Ekzistenca dhe uniciteti i vijës tangjente varet nga një lloj i caktuar i lëmimit matematikor.

Në shumicën e pikave, tangjentja e prek kurbën pa e kryqëzuar atë (megjithëse, kur zgjatet në rrafsh, mund të kalojë kurbën në vende të tjera larg nga pika e tangjentes). Një pikë ku tangjentja (në këtë pikë) kalon kurbën quhet pikë e infleksionit . Rrathët, parabolat, hiperbolat dhe elipset nuk kanë asnjë pikë infleksioni, por lakoret më të ndërlikuara kanë, si grafiku i një funksioni kubik, i cili ka saktësisht një pikë lakimi, ose një sinusoid, i cili ka dy pika lakimi për çdo periodë të sinusit .

Qasje analitike

Në çdo pikë, vija lëvizëse është gjithmonë tangjente me kurbën . Pjerrësia e saj është derivati ; shenjat jeshile derivati pozitiv, shenjat e kuqe derivati negativ dhe shenjat e zeza derivati zero. Pika (x,y) = (0,1) ku tangjentja kryqëzon kurbën, nuk është max, ose min, por është një pikë lakimi . (Shënim: figura përmban etiketimin e gabuar të 0,0 që duhet të jetë 0,1)

Përshkrimi intuitiv

Supozojmë se një kurbë është dhënë si grafik i një funksioni, $y=f(x)$. Për të gjetur drejtëzën tangjente në pikën $p=(a,f(a))$, merrni parasysh një pikë tjetër të afërt $q=(a+h,f(a+h))$ në kurbë. Pjerrësia e vijës sekante që kalon nëpër p dhe q është e barabartë me herësin e diferencës

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Ndërsa pika q i afrohet p (pra e rrëshkasim q në vijë duke iu afruar p), e cila korrespondon me zvogëlimin e h-së, herësi i diferencës duhet t'i afrohet një vlere të caktuar k, e cila është pjerrësia e vijës tangjente në pikën p . Nëse k dihet, ekuacioni i drejtëzës tangjente mund të gjendet në formën e pjerrësisë:

$y-f(a)=k(x-a).\,$

Si mund të dështojë metoda

Llogaritja tregon gjithashtu se ka funksione dhe pika në grafikët e tyre për të cilat kufiri që përcakton pjerrësinë e vijës tangjente nuk ekziston. Për këto pika funksioni $f$ është i padiferencueshëm . Ekzistojnë dy arsye të mundshme që metoda e gjetjes së tangjenteve bazuar në limite dhe derivate të dështojë: ose ekziston tangjentja gjeometrike, por ajo është një vijë vertikale, e cila nuk mund të jepet në formën e pjerrësisë pikë pasi nuk ka një pjerrësi, ose grafiku shfaq një nga tre sjelljet që përjashtojnë një tangjente gjeometrike.

Grafiku y = x ^1/3 ilustron mundësinë e parë: këtu herësi i diferencës në a = 0 është i barabartë me h ^1/3 / h = h ^−2/3, i cili bëhet shumë i madh kur h i afrohet 0. Kjo kurbë ka një vijë tangjente në origjinë që është vertikale.

Grafiku y = x ^2/3 ilustron një mundësi tjetër: ky grafik ka një kuspë në origjinë. Kjo do të thotë se, kur h i afrohet zeros, herësi i diferencës në a = 0 i afrohet $\pm \infty$ në varësi të shenjës së x . Kështu që të dy degët e lakores janë afër gjysmëdrejtëzës vertikale për të cilën y =0, por asnjë nuk është afër pjesës negative të kësaj drejtëze. Në thelb, nuk ka asnjë tangjente në origjinë në këtë rast, por në një kontekst mund ta konsiderojmë këtë vijë si një tangjente, dhe madje, në gjeometrinë algjebrike, si një tangjente të dyfishtë .

Grafiku $y=|x|$ i funksionit të vlerës absolute përbëhet nga dy vija të drejta me pjerrësi të ndryshme të bashkuara në origjinë. Ndërsa një pikë q i afrohet origjinës nga e djathta, vija sekante ka gjithmonë pjerrësi 1. Ndërsa një pikë q i afrohet origjinës nga e majta, vija sekante ka gjithmonë pjerrësi −1. Prandaj, nuk ka asnjë tangjente unike me grafikun në origjinë. Të kesh dy pjerrësi të ndryshme (por të fundme) quhet qoshe .