Parabola

Në matematikë, një parabolë është një kurbë e rrafshët e cila është simetrike sipas një boshti dhe është afërsisht në formë U-je. Parabola përshtatet me disa përshkrime matematikore sipërfaqësisht të ndryshme, të cilat të gjitha mund të vërtetohet se përcaktojnë saktësisht të njëjtat kurba.

Një përshkrim i një parabole përfshin një pikë ( vatrën ) dhe një vijë ( vijën drejtuese ). Vatra nuk shtrihet në vijën drejtuese. Parabola është vendndodhja e pikave në atë rrafsh që janë të baraslarguara si nga vija drejtuese ashtu edhe nga fokusi. Një përshkrim tjetër i një parabole është si një prerje konike, i krijuar nga prerja e një sipërfaqeje konike rrethore të djathtë dhe një rrafshi paralel me një plan tjetër që është tangent me sipërfaqen konike. ^[a]

Parabolat gëzojnë vetinë që, nëse janë prej një materiali që reflekton dritën, atëherë rrezet e dritës që bien paralelisht me boshtin e simetrisë së parabolës dhe godet anën e saj të lugët (konkave), reflektohet në vatrën e saj, pavarësisht pikës së reflektimit . Në të kundërt, drita që del nga një burim pikësor në vatër reflektohet në një rreze paralele (" të përafërt "), duke e lënë parabolën paralele me boshtin e simetrisë. Të njëjtat efekte ndodhin me zërin dhe valët e tjera. Kjo veti reflektuese është baza e shumë përdorimeve praktike të parabolave.

Parabola ka shumë zbatime të rëndësishme, nga një antenë parabolike ose mikrofon parabolik te reflektorët e fenerëve të automobilave dhe dizajni i raketave balistike . Përdoret shpesh në fizikë, inxhinieri dhe shumë fusha të tjera.

Historia

Busulla parabolike e projektuar nga Leonardo da Vinci

Puna më e hershme e njohur mbi prerjet konike ishte nga Menaechmus në shekullin e IV para Krishtit. Ai zbuloi një mënyrë për të zgjidhur problemin e dyfishimit të kubit duke përdorur parabola. (Sidoqoftë, zgjidhja nuk i plotëson kërkesat e ndërtimit me kompas dhe vizore . ) Zona e kufizuar nga një parabolë dhe një segment vije, i ashtuquajturi "segment i parabolës", u llogarit nga Arkimedi me metodën e shterimit në shekullin e 3 para Krishtit, në "Kuadratura e Parabolës" . Emri "parabolë" i detyrohet Apollonit, i cili zbuloi shumë veti të prerjeve konike. Do të thotë "zbatim", duke iu referuar konceptit "zbatim i zonave", që ka një lidhje me këtë kurbë, siç e kishte vërtetuar Apolloni. ^[1] Vetia vatër-drejtuese e parabolës dhe prerjeve të tjera konike i detyrohet Papit.

Galileo tregoi se rruga e një predhe ndjek një parabolë, pasojë e nxitimit të njëtrajtshëm për shkak të gravitetit.

Mendimi se një reflektor parabolik mund të prodhojë një imazh ishte tashmë i njohur përpara shpikjes së teleskopit reflektues . ^[2] Projektime u propozuan në fillim të mesit të shekullit të 17-të nga shumë matematikanë, duke përfshirë Rëne Dekartin, Marin Mersenne, ^[3] dhe James Gregory . ^[4] Kur Isak Njutoni ndërtoi teleskopin e parë reflektues në 1668, ai nuk përdori një pasqyrë parabolike për shkak të vështirësisë së prodhimit, duke zgjedhur një pasqyrë sferike . Pasqyrat parabolike përdoren në shumicën e teleskopëve reflektues modernë dhe në pjatat satelitore dhe marrësit e radarëve . ^[5]

Përkufizimi si një grumbull pikash

Një parabolë mund të përkufizohet gjeometrikisht si një grup pikash ( lokus pikash) në rrafshin Euklidian:

Një parabolë është një grup pikash, të tilla që për çdo pikë $P$ të vendosur në largësinë $|PF|$ në një pikë fikse $F$ , vatra, është i barabartë me distancën $|Pl|$ në një linjë fikse $l$ , drejtimi :

\{P:|PF|=|Pl|\}.

Pika e mesit $V$ e pingules nga vatra $F$ mbi vijën drejtuese $l$ quhet kulm, dhe drejtëza $FV$ është boshti i simetrisë së parabolës.

Në një sistem koordinativ kartezian

Boshti i simetrisë paralel me boshtin y

Parabola me bosht paralel me boshtin y ;

Në terma të koordinatave karteziane, të tilla që $F=(0,f),\ f>0,$ dhe vija drejtuese ka ekuacionin $y=-f$ , fitohet për një pikë $P=(x,y)$ nga relacioni i përkufizimit ekuacioni $x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}$ . Zgjidhja sipas $y$ jep:

y={\frac {1}{4f}}x^{2}.

Korda horizontale përmes vatrës (shih foton në seksionin hapës) quhet latus rectum ; gjysma e saj emërtohet semi-latus rectum . Latus rectum është paralel me vijën drejtuese. Semi-lactus rectum shënohet me shkronjë $p$ . Nga skica merret

p=2f.

Latus rectum është përcaktuar në mënyrë të ngjashme për dy koniket e tjera - elipsin dhe hiperbolën. Latus rectum është vija e tërhequr përmes një vatre të një prerje konik paralel me drejtuesen dhe që përfundon në të dyja drejtimet nga kurba. Për çdo rast, $p$ është rrezja e rrethit shallës në kulm. Për një parabolë, $p$ , është largësia e vatrës nga drejtuesja. Duke përdorur parametrin $p$ , ekuacioni i parabolës mund të rishkruhet në formën:

x^{2}=2py.

Ky njihet edhe si ekuacioni standard i parabolës.

Parabola e çfarëdoshme

Nëse vatra ka koordinata $F=(f_{1},f_{2})$ , dhe vija drejtuese ka ekuacion $ax+by+c=0$ , atëherë fitohet ekuacioni

{\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}

Ekuacioni i nënkuptuar i një parabole përcaktohet nga një polinom i pareduktueshëm i shkallës së dytë:

ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,

Si grafik i një funksioni

Parabolat

y=ax^{2}

Seksioni i mëparshëm tregon se çdo parabolë me origjinën si kulm dhe boshtin y si bosht simetrie mund të konsiderohet si grafiku i një funksioni

f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.

Për $a>0$ parabolat janë me kokë lart, dhe për $a<0$ janë me kokë poshtë. Nga seksioni i mësipërm fitohet:

Vatra është $\left(0,{\frac {1}{4a}}\right)$ ,
gjatësia vatrore ${\frac {1}{4a}}$ , parametri $p={\frac {1}{2a}}$ ,
kulmi është $(0,0)$ ,
vija drejtuese ka ekuacionin $y=-{\frac {1}{4a}}$ ,
tangjentja në pikë $(x_{0},ax_{0}^{2})$ ka ekuacionin $y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}$ .

Për $a=1$ parabola është parabola njësi me ekuacion $y=x^{2}$ . Vatra e saj është në pikën me koordinatë $\left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)$ , parametri $p={\tfrac {1}{2}}$ , dhe vija drejtuese ka ekuacionin $y=-{\tfrac {1}{4}}$ .

Funksioni i përgjithshëm i shkallës së dytë është

f(x)=ax^{2}+bx+c{\text{ ku }}a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0

.

Plotësimi i katrorit jep

f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},

i cili është ekuacioni i një parabole me

boshtin $x=-{\frac {b}{2a}}$ (paralel me boshtin y ),
gjatësinë vatrore ${\frac {1}{4a}}$ , parametrin $p={\frac {1}{2a}}$ ,
kulmin $V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$ ,
vatrën $F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)$ ,
vijën drejtuese $y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}$ ,
pikën e parabolës që pret boshtin y në koordinatën $(0,c)$ ,
tangjentja në një pikë të boshtit y ka ekuacionin $y=bx+c$ .

Si një prerje konike e veçantë

Llojet e konikeve me një kulm të përbashkët

Lapsi i prerjeve konike me boshtin x si bosht simetrie, një kulm në origjinë (0, 0) dhe i njëjti parametër $p$ mund të përfaqësohet nga ekuacioni

y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,

me jashtëqendërsinë $e$ .

Për $e=0$ konikja është një rreth (rrethi oskulues i lapsit),
për $0<e<1$ një elips ,
për $e=1$ parabola me ekuacion $y^{2}=2px,$
për $e>1$ një hiperbolë (shih foton).

Në koordinatat polare

Lapsi i konikeve me fokus të përbashkët

Nëse p > 0, parabola me ekuacion $y^{2}=2px$ (hapja në të djathtë) ka paraqitjen polare

r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}

(

r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi

).

Kulmi i saj është $V=(0,0)$ , dhe vatra e saj është $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$ .

Nëse merret origjina si vatër, d.m.th. $F=(0,0)$ , fitohet ekuacioni

r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.

Fakte që lidhen me kordat dhe harqet

Zona e kufizuar nga një parabolë dhe një hark

Parabola (ngjyrë magenta) dhe vija (e ulët blu e lehtë) duke përfshirë një hark (blu). Zona e mbyllur mes tyre është në ngjyrë rozë. Vetë korda përfundon në pikat ku vija kryqëzon parabolën.

Zona e mbyllur midis një parabole dhe një korde (shih diagramin) është e barabartë me dy të tretat e sipërfaqes së një paralelogrami që e rrethon atë. Njëra anë e paralelogramit është korda, dhe ana e kundërt është një tangjente me parabolën. ^[6] ^[7] Pjerrësia e anëve të tjera paralele është e parëndësishme për zonën.

Nëse korda ka gjatësi b dhe është pingul me boshtin e simetrisë së parabolës, dhe nëse largësia pingule nga kulmi i parabolës me kordën është h, paralelogrami është një drejtkëndësh, me brinjë b dhe h . Zona S e segmentit parabolik e kufizuar nga parabola dhe korda është pra

S={\frac {2}{3}}bh.

Në përgjithësi, zona e mbyllur mund të llogaritet si më poshtë. Së pari, gjeni pikën në parabolë ku pjerrësia e saj është e barabartë me atë të kordës. Kjo mund të bëhet me anë të metodave të analizës, ose duke përdorur një vijë që është paralele me boshtin e simetrisë së parabolës dhe kalon nga mesi i kordës. Pika e kërkuar është vendi ku kjo drejtëz kryqëzon parabolën. ^[b] Më pas, duke përdorur formulën e dhënë në Largësia e një pike nga një vijë, llogarisni largësinë pingule nga kjo pikë deri te korda. Shumëzojeni këtë me gjatësinë e kordës për të marrë sipërfaqen e paralelogramit, pastaj me 2/3 për të marrë zonën e mbyllur.

Gjatësia e harkut

Nëse një pikë X ndodhet në një parabolë me gjatësi vatrore $f$ , dhe nëse $p$ është largësia pingule nga X në boshtin e simetrisë së parabolës, atëherë gjatësitë e harqeve të parabolës që përfundojnë në X mund të llogariten nga $f$ dhe $p$ si më poshtë, duke supozuar se të gjitha janë të shprehura në të njëjtat njësi. ^[c]

{\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}

Madhësia $s$ është gjatësia e harkut ndërmjet X dhe kulmit të parabolës.

Gjatësia e harkut ndërmjet X dhe pikës simetrikisht të kundërt në anën tjetër të parabolës është 2 $s$ .

Largësisë pingule $p$ mund t'i jepet një shenjë pozitive ose negative për të treguar se në cilën anë të boshtit të simetrisë ndodhet pika X. Ndërrimi i shenjës së $p$ -së përmbys shenjat e $h$ -së dhe $s$ -së pa ndryshuar vlerat e tyre absolute. Nëse këto madhësi janë me shenjë, gjatësia e harkut ndërmjet çdo dy pikash në parabolë jepet gjithmonë nga diferenca midis vlerave të tyre të s . Llogaritja mund të thjeshtohet duke përdorur vetitë e logaritmeve:

s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.

Kjo mund të jetë e dobishme, për shembull, në llogaritjen e madhësisë së materialit të nevojshëm për të bërë një reflektor parabolik ose një lug parabolik .

Integrimi numerik

Rregulla e Simpsonit: grafiku i një funksioni zëvendësohet nga një hark i një parabole

Në një metodë të integrimit numerik, grafiku i një funksioni zëvendësohet me harqe parabolash dhe integron harqet e parabolës. Një parabolë përcaktohet nga tre pika. Formula për një hark është

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).

Metoda quhet rregulla e Simpsonit .

Në botën fizike

Në natyrë, përafrimet e parabolave gjenden në shumë situata të ndryshme. Shembulli më i njohur i parabolës në historinë e fizikës është trajektorja e një grimce ose trupi në lëvizje nën ndikimin e një fushe rëndese të njëtrajtshme pa rezistencë ajri (për shembull, një top që fluturon nëpër ajër, duke mos e marrë parasysh fërkimin e ajrit ).

Trajektorja parabolike e predhave u zbulua eksperimentalisht në fillim të shekullit të 17-të nga Galileo, i cili kreu eksperimente me topa që rrotulloheshin në rrafshe të pjerrët. Ai gjithashtu më vonë e vërtetoi këtë matematikisht në librin e tij Dialogu në lidhje me dy shkenca të reja . ^[8] ^[d] Për objektet e zgjatura në hapësirë, si p.sh. një zhytës që kërcen nga një tabelë zhytjeje, vetë objekti ndjek një lëvizje të ndërlikuar ndërsa rrotullohet, por qendra e masës së objektit megjithatë lëviz përgjatë një parabole. Si në të gjitha rastet në botën fizike, trajektorja është gjithmonë një përafrim i një parabole. Prania e rezistencës së ajrit, për shembull, gjithmonë shtrembëron formën, megjithëse me shpejtësi të ulët, forma është një përafrim i mirë i një parabole. Në shpejtësi më të larta, si në balistikë, forma është shumë e shtrembëruar dhe nuk i ngjan një parabole.

Një tjetër situatë hipotetike në të cilën parabolat mund të lindin, sipas teorive të fizikës të përshkruara në shekujt 17 dhe 18 nga Sir Isaac Newton, është në orbitat me dy trupa, për shembull, rruga e një planeti të vogël ose një objekti tjetër nën ndikimin e rëndesës së Diellit . Orbitat parabolike nuk ndodhin në natyrë; orbitat e thjeshta më së shpeshti ngjajnë me hiperbolat ose elipsat. Një objekt që ndjek një orbitë parabolike do të udhëtonte me shpejtësinë e saktë të ikjes së objektit që ai rrotullohet; objektet në orbita eliptike ose hiperbolike udhëtojnë me shpejtësi më të vogël ose më të madhe se shpejtësia e ikjes, përkatësisht. Kometat me perioda të gjata udhëtojnë afër shpejtësisë së ikjes së Diellit ndërsa lëvizin nëpër sistemin e brendshëm diellor, kështu që shtigjet e tyre janë pothuajse parabolike.

Paraboloidet lindin edhe në disa situata fizike. Shembulli më i njohur është reflektori parabolik, i cili është një pasqyrë ose pajisje e ngjashme reflektuese që përqendron dritën ose forma të tjera të rrezatimit elektromagnetik në një pikë qendrore të përbashkët, ose anasjelltas, e bashkon dritën nga një burim pikë në fokus në një rreze paralele. Parimi i reflektorit parabolik mund të jetë zbuluar në shekullin III para Krishtit nga gjeometri Arkimedi, i cili, sipas një legjende të dyshimtë, ^[9] ndërtoi pasqyra parabolike për të mbrojtur Sirakuzën nga flota romake, duke përqendruar rrezet e diellit për ti vënë zjarrin kuvertave të anijeve romake. Parimi u zbatua tek teleskopët në shekullin e 17-të. Sot, reflektorët paraboloidë mund të vërehen zakonisht në pjesën më të madhe të botës në antenat marrëse dhe transmetuese me mikrovalë dhe pjata satelitore.

Në mikrofonat parabolikë, një reflektor parabolik përdoret për të fokusuar tingullin në një mikrofon, duke i dhënë atij performancë shumë të drejtuar.

Paraboloidet vërehen gjithashtu në sipërfaqen e një lëngu të kufizuar në një enë dhe të rrotulluar rreth boshtit qendror. Në këtë rast, forca qëndërsynuese bën që lëngu të ngjitet në muret e enës, duke formuar një sipërfaqe parabolike. Ky është parimi i teleskopit me pasqyrë të lëngshme .

Galeri

Një top kërcyes i kapur nga një blic stroboskopik me 25 imazhe në sekondë. Topi bëhet dukshëm jo-sferik pas çdo kërcimi, veçanërisht pas të parës. Kjo, së bashku me centrifugimin dhe rezistencën e ajrit, bën që kurba e fshirë të devijojë pak nga parabola perfekte e pritur.
Trajektoret parabolike të ujit në një shatërvan.
Rruga (me të kuqe) e kometës Kohoutek teksa kalonte përmes sistemit të brendshëm diellor, duke treguar formën e saj gati parabolike. Orbita blu është e Tokës.
Kabllot mbështetëse të urave të varura ndjekin një kurbë që është e ndërmjetme midis një parabole dhe një hallkoreje .
Ura e Ylberit mbi lumin Niagara, që lidh Kanadanë (majtas) me Shtetet e Bashkuara (djathtas). Harku parabolik është në ngjeshje dhe mban peshën e rrugës.
Harkat parabolike të përdorura në arkitekturë
Forma parabolike e formuar nga një sipërfaqe e lëngshme nën rrotullim. Dy lëngje me dendësi të ndryshme mbushin plotësisht një hapësirë të ngushtë midis dy fletëve plastike të tejdukshme. Hendeku midis fletëve është i mbyllur në fund, nga anët dhe lart. I gjithë montimi rrotullohet rreth një boshti vertikal që kalon nga qendra. (Shih furrën rrotulluese )
Gatues diellor me reflektor parabolik
Antenë parabolike
Mikrofon parabolik me reflektor plastik të tejdukshëm i përdorur në një lojë futbolli .
Gama e gropave parabolike për të mbledhur energjinë diellore
Projektori i Edisonit, i montuar në një karrocë. Drita kishte një reflektor parabolik.
Fizikani Stephen Hawking në një avion që fluturon një trajektore parabolike për të simuluar gravitetin zero

Gabim referencash: Etiketat <ref> ekzistojnë për një grup të quajtur "lower-alpha", por nuk u gjet etiketa korresponduese <references group="lower-alpha"/>

^ "Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America". Marrë më 30 shtator 2016. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (bot. 2). Springer. fq. 3. ISBN 3-540-40106-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 3.
^ Stargazer, p. 115.
^ Stargazer, pp. 123, 132.
^ Fitzpatrick, Richard (14 korrik 2007). "Spherical Mirrors". Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Marrë më 5 tetor 2011. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ "Sovrn Container". Mathwarehouse.com. Marrë më 2016-09-30. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ "Parabola". Mysite.du.edu. Marrë më 2016-09-30. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Dialogue Concerning Two New Sciences (1638) (The Motion of Projectiles: Theorem 1).
^ Middleton, W. E. Knowles (dhjetor 1961). "Archimedes, Kircher, Buffon, and the Burning-Mirrors". Isis. Published by: The University of Chicago Press on behalf of The History of Science Society. 52 (4): 533–543. doi:10.1086/349498. JSTOR 228646. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[2] "Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America". Marrë më 30 shtator 2016. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (bot. 2). Springer. fq. 3. ISBN 3-540-40106-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 3.

[4] Stargazer, p. 115.

[5] Stargazer, pp. 123, 132.

[6] Fitzpatrick, Richard (14 korrik 2007). "Spherical Mirrors". Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Marrë më 5 tetor 2011. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[7] "Sovrn Container". Mathwarehouse.com. Marrë më 2016-09-30. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[8] "Parabola". Mysite.du.edu. Marrë më 2016-09-30. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[11] Dialogue Concerning Two New Sciences (1638) (The Motion of Projectiles: Theorem 1).

[13] Middleton, W. E. Knowles (dhjetor 1961). "Archimedes, Kircher, Buffon, and the Burning-Mirrors". Isis. Published by: The University of Chicago Press on behalf of The History of Science Society. 52 (4): 533–543. doi:10.1086/349498. JSTOR 228646. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[b]

[c]

[8]

[d]

[9]