Transformimet e Laplasit

Transformimet e Laplasit

Transformimi I Laplasit për sinjalin x(t) përkufizohet si :

$X(S)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt$

Ku variableli s është madhësi komplekse s=σ+jω=Re[s]+jIm[s] Zbatim më të madh praktik ka transformimi njëanësore i Laplasit , ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit x(t)

$X(s)=\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt$

Vetit e transformimit të Laplasit

• Lineariteti

Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve përkatëse me pesha të njëjta.

$~x_{1}(t)\leftrightarrow X_{1}(s)$ dhe $~x_{2}(t)\leftrightarrow X_{2}(s)$

$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\leftrightarrow aX_{1}(s)+bX_{2}(s)$

.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë X₁(s) dhe X₂(s)

• Zhvendosja në kohë:

Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin

$~x(t-t_{0})\leftrightarrow e^{-st_{0}}X(s)\$

.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes tο.Te transformimi njëanësor i . .Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të t0, pra për tο<0 vetia nuk vlen.

• Zhvendosja në domenin s

Nëse $~x(t)\leftrightarrow X(s)$ atëherë vlen

$~e^{s_{0}t}x(t)\leftrightarrow X(s-s_{0})$

Zona e konvergjencës së $X(s-s_{0})\$ zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të X(s).

• Shkallëzimi në kohë

Nëse $~x(t)\leftrightarrow X(s)$ dhe a ka vlerë reale atëherë vlen: $~x(at)\leftrightarrow {\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$ Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet R₁=aR

• Vetia e thurjes në kohë

Nëse $~x_{1}(t)\leftrightarrow X_{1}(s)$ dhe $~x_{2}(t)\leftrightarrow X_{2}(s)$, me zona të konvergjencës $R_{1}$, përkatësisht $R_{2}$, atëherë:

$~x_{1}(t)*x_{2}(t)\leftrightarrow X_{1}(s)X_{2}(s)$

• Vetia e diferencimit në kohë

Në qoftë se X(s) është transformimi njëanësor i x(t), atëherë për derivatin e x(t) vlen:

$~{dx(t) \over dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0)$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të X(s), pos në rastin kur X(s) ka pol në s=0, me ç’rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë zona e konvergjencës ndryshon. Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të x(t) merr trajtën:

$~{d^{m}x(t) \over dt^{m}}\leftrightarrow s^{m}X(s)$

• Diferencimi në domenin s

$~-tx(t)\leftrightarrow {dX(s) \over ds}$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë. Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e n-të, vlen:

$~(-1)^{m}t^{m}x(t)\leftrightarrow {d^{m}X(s) \over ds^{m}}$

• Integrimi në domenin kohor:

$~\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow {\frac {X(s)}{s}}\$

• Terorema për vlerën fillestare:

Vlera fillestare e sinjalit shkakësor $x(0)$ mund të përcaktohet nga $X(s)$ përmes relacionit:

$x(0)=\lim _{s=\infty }{sX(s)}\$

• Teorema për pikën fundore:

Vlera fundore e sinjalit shkakësor x(t) mund të përcaktohet nga relacioni:

$x(\infty )=\lim _{s=0}{sX(s)}\$

Tabela e disa funksioneve bazike

Sinjali në domenin kohor	Sinjali në domenin s	Zona e konvergjencës
$x(t)$	$X(S)\$	ROC
$u(t)$	${\frac {1}{s}}\$	$Re(s)>0\$
$-u(-t)$	${\frac {1}{s}}\$	$Re(s)\$
$tu(t)$	${\frac {1}{s^{2}}}\$	$Re(s)>0\$
$t^{k}u(t)$	${\frac {k!}{s^{k+1}}}\$	$Re(s)>0\$
$e^{-at}u(t)$	${\frac {1}{s+a}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$
$-e^{-at}u(t)$	${\frac {1}{s+a}}\$	$Re(s)<-Re(a)\$
$te^{-at}u(t)$	${\frac {1}{{s+a}^{2}}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$
$-te^{-at}u(t)$	${\frac {1}{{s+a}^{2}}}\$	$Re(s)<-Re(a)\$
$cosw_{o}tu(t)$	${\frac {s}{s^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>0\$
$sinw_{o}tu(t)$	${\frac {w}{s^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>0\$
$e^{-at}cosw_{o}tu(t)$	${\frac {s+a}{{(s+a)}^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$
$e^{-at}sinw_{o}tu(t)$	${\frac {w}{{(s+a)}^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$

Transformimi i kundërt i Laplasit

Bazë për përcaktimin e shprehjes për transformim të kundërt të Laplasit , mund të shërbejnë shprehjet e cifteve transfomuese Furie.

• Sipas interpretimit më të drejtpërdrejt , transformimi Furie $X(\omega )$ paraqet vlerat e transformimit të Laplasit ,$X(s)$ , nëpër boshtin imagjinar $j\omega$

$X(s)=X(\sigma +j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}=\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t}\,dt=F[x(t)e^{-\sigma t}]$

• Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund të interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit $x(t)e^{-\sigma t}$.

Me këtë shmanget problemi i përfshirjes së boshtit imagjinar në zonën e konvergjencës.

$x(t)e^{\sigma t}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\sigma +j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega$

ose

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\sigma +j\omega )e^{(\sigma +j\omega )t}\,d\omega$

Referimet

• [1]
• Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill. “Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems”
• E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.“Signals and Systems”
• Alan V. Oppenheim, 2nd ed., Ligj. 1 1 1996, Prentice Hall. “Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab”
• “Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara