Transformimi i Laplasit

Në matematikë, transformimi i Laplasit (i emërtuar sipas zbuluesit, Pierre-Simon Laplace) është një transformim integral që pasqyron një funksion me vlera reale (zakonisht ${\boldsymbol {t}}$, në rrafshin e kohës) në një funksion të ndryshores komplekse ${\boldsymbol {s}}$ (në rrafshin e frekuencës). Shndërrimi ka shumë zbatime në shkencë dhe inxhinieri sepse është një mjet për të zgjidhur ekuacione diferenciale. Në veçanti, ai shndërron ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ) në ekuacione algjebrike dhe thurjen në shumëzim.

Transformimet e Laplasit

Transformimi I Laplasit për sinjalin $x(t)$ përkufizohet si :

$X(S)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt$

Ku ndryshorja $s$ është madhësi komplekse $s=\sigma +j\omega =\Re [s]+\Im [s]$. Zbatim më të madh praktikë ka transformimi i njëanshëm i Laplasit , ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit $x(t)$

$X(s)=\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt$

Vetit e transformimit të Laplasit

• Lineariteti

Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve përkatëse me pesha të njëjta.

$~x_{1}(t)\leftrightarrow X_{1}(s)$ dhe $~x_{2}(t)\leftrightarrow X_{2}(s)$

$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\leftrightarrow aX_{1}(s)+bX_{2}(s)$

.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë $X_{1}(s)$ dhe $X_{2}(s)$

• Zhvendosja në kohë:

Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin

$~x(t-t_{0})\leftrightarrow e^{-st_{0}}X(s)\$

.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes $t_{0}$.Te transformimi njëanësor i . .Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të $t_{0}$, pra për $t_{0}<0$ vetia nuk vlen.

• Zhvendosja në domenin s

Nëse $~x(t)\leftrightarrow X(s)$ atëherë vlen

$~e^{s_{0}t}x(t)\leftrightarrow X(s-s_{0})$

Zona e konvergjencës së $X(s-s_{0})\$ zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të $X(s)$.

• Shkallëzimi në kohë

Nëse $~x(t)\leftrightarrow X(s)$ dhe $a$ është numër real atëherë vlen: $~x(at)\leftrightarrow {\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$ Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet $R_{1}=aR$

• Vetia e thurjes në kohë

Nëse $~x_{1}(t)\leftrightarrow X_{1}(s)$ dhe $~x_{2}(t)\leftrightarrow X_{2}(s)$, me zona të konvergjencës $R_{1}$, përkatësisht $R_{2}$, atëherë:

$~x_{1}(t)*x_{2}(t)\leftrightarrow X_{1}(s)X_{2}(s)$

• Vetia e diferencimit në kohë

Në qoftë se $X(s)$ është transformimi i njëanshëm i $x(t)$, atëherë për derivatin e $x(t)$ vlen:

$~{dx(t) \over dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0)$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të $X(s)$, pos në rastin kur $X(s)$ ka pol në $s=0$, në këtë rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë zona e konvergjencës ndryshon. Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të $x(t)$ merr trajtën:

$~{d^{m}x(t) \over dt^{m}}\leftrightarrow s^{m}X(s)$

• Diferencimi në rrafshin s

$~-tx(t)\leftrightarrow {dX(s) \over ds}$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë. Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e $n^{\textbf {te}}$, vlen:

$~(-1)^{m}t^{m}x(t)\leftrightarrow {d^{m}X(s) \over ds^{m}}$

• Integrimi në rrafshin kohor:

$~\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow {\frac {X(s)}{s}}\$

• Terorema për vlerën fillestare:

Vlera fillestare e sinjalit shkakësor $x(0)$ mund të përcaktohet nga $X(s)$ përmes relacionit:

$x(0)=\lim _{s=\infty }{sX(s)}\$

• Teorema për pikën fundore:

Vlera fundore e sinjalit shkakësor $x(t)$ mund të përcaktohet nga relacioni:

$x(\infty )=\lim _{s=0}{sX(s)}\$

Tabela e disa funksioneve bazike

Sinjali në domenin kohor	Sinjali në domenin s	Zona e konvergjencës
$x(t)$	$X(S)\$	ROC
$u(t)$	${\frac {1}{s}}\$	$Re(s)>0\$
$-u(-t)$	${\frac {1}{s}}\$	$Re(s)\$
$tu(t)$	${\frac {1}{s^{2}}}\$	$Re(s)>0\$
$t^{k}u(t)$	${\frac {k!}{s^{k+1}}}\$	$Re(s)>0\$
$e^{-at}u(t)$	${\frac {1}{s+a}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$
$-e^{-at}u(t)$	${\frac {1}{s+a}}\$	$Re(s)<-Re(a)\$
$te^{-at}u(t)$	${\frac {1}{{s+a}^{2}}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$
$-te^{-at}u(t)$	${\frac {1}{{s+a}^{2}}}\$	$Re(s)<-Re(a)\$
$cosw_{o}tu(t)$	${\frac {s}{s^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>0\$
$sinw_{o}tu(t)$	${\frac {w}{s^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>0\$
$e^{-at}cosw_{o}tu(t)$	${\frac {s+a}{{(s+a)}^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$
$e^{-at}sinw_{o}tu(t)$	${\frac {w}{{(s+a)}^{2}+{w_{o}}^{2}}}\$	$Re(s)>-Re(a)\$

Transformimi i kundërt i Laplasit

Bazë për përcaktimin e shprehjes për transformim të kundërt të Laplasit , mund të shërbejnë shprehjet e cifteve transfomuese Furie.

• Sipas interpretimit më të drejtpërdrejt , transformimi Furie $X(\omega )$ paraqet vlerat e transformimit të Laplasit ,$X(s)$ , nëpër boshtin imagjinar $j\omega$

$X(s)=X(\sigma +j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}=\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t}\,dt=F[x(t)e^{-\sigma t}]$

• Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund të interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit $x(t)e^{-\sigma t}$.

Me këtë shmanget problemi i përfshirjes së boshtit imagjinar në zonën e konvergjencës.

$x(t)e^{\sigma t}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\sigma +j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega$

ose

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\sigma +j\omega )e^{(\sigma +j\omega )t}\,d\omega$

Referimet

• [1]
• Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill. “Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems”
• E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.“Signals and Systems”
• Alan V. Oppenheim, 2nd ed., Ligj. 1 1 1996, Prentice Hall. “Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab”
• “Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara