Vektori njësi

Në matematikë, një vektor njësi në një hapësirë vektoriale të normuar është një vektor (shpesh një vektor hapësinor ) me gjatësi 1. Një vektor njësi shënohet shpesh me një shkronjë të vogël me një kapelë, si në ${\hat {\mathbf {v} }}$ (shqiptohet "v-me kapele").

Termi vektor i drejtimit, që zakonisht shënohet si d, përdoret për të përshkruar një vektor njësi që përdoret për të përfaqësuar drejtimin hapësinor dhe drejtimin relativ . Drejtimet hapësinore 2D janë numerikisht të njëvlershme me pikat në rrethin e njësisë dhe drejtimet hapësinore në 3D janë të njëvlershme me një pikë në sferën njësi .

Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 2D

Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 3D

Vektori i normalizuar û i një vektori jozero u është vektori njësi në drejtim të u, dmth.

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

ku ‖ u ‖ është norma (ose gjatësia) e u . Termi vektor i normalizuar ndonjëherë përdoret si sinonim për vektorin njësi .

Vektorët njësi shpesh zgjidhen për të formuar bazën e një hapësire vektoriale dhe çdo vektor në hapësirë mund të shkruhet si një formë kombinimi linear i vektorëve njësi.

Koordinatat drejtkëndore

Koordinatat karteziane

Vektorët njësi mund të përdoren për të përfaqësuar boshtet e një sistemi koordinativ kartezian . Për shembull, vektorët standardë të njësisë në drejtimin e boshteve x, y dhe z të një sistemi koordinativ tredimensional kartezian janë

$\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

Ata formojnë një grup vektorësh njësi ortogonale reciproke, të referuara zakonisht si një bazë standarde në algjebër lineare .

Ato shpesh shënohen duke përdorur shënimin e përbashkët të vektorit (p.sh., x ose ${\vec {x}}$ ) në vend të shënimit standard të vektorit njësi (p.sh., x̂ ). Në shumicën e konteksteve mund të supozohet se x, y, dhe z, (ose ${\vec {x}},$${\vec {y}},$ dhe ${\vec {z}}$ ) janë versorë të një sistemi koordinativ kartezian 3-D. Shënimet ( î, ĵ, k̂ ), ( x̂ ₁, x̂ ₂, x̂ ₃ ), ( ê _x, ê _y, ê _z ), ose ( ê ₁, ê ₂, ی ₃ ), me ose pa kapelë, përdoren gjithashtu, veçanërisht në kontekste ku i, j, k mund të çojë në konfuzion me një madhësi tjetër.

Koordinatat cilindrike

Tre vektorët njësi ortogonalë të përshtatshëm për simetrinë cilindrike janë:

• ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (e shënuar gjithashtu $\mathbf {\hat {e}}$ ose ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ ), që paraqet drejtimin përgjatë të cilit matet largësia e pikës nga boshti i simetrisë;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, që përfaqëson drejtimin e lëvizjes që do të vëzhgohej nëse pika do të rrotullohej në drejtim të kundërt të akrepave të orës rreth boshtit të simetrisë ;
• $\mathbf {\hat {z}}$, që përfaqëson drejtimin e boshtit të simetrisë;

Ato lidhen me bazën karteziane ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ nga:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

Vektorët ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ dhe ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ janë funksione të $\varphi ,$ dhe nuk janë konstante në drejtim. Kur diferencohen ose integrohen në koordinata cilindrike, duhet të veprohet mbi vetë këta vektorë njësi. Derivatet në lidhje me $\varphi$ janë:

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .$

Koordinatat sferike

Vektorët njësi të përshtatshëm për simetrinë sferike janë: $\mathbf {\hat {r}}$, drejtimi në të cilin rritet largësia rrezore nga origjina; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, drejtimi në të cilin këndi në rrafshin x - y në drejtim kundërorar nga boshti pozitiv x po rritet; dhe ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, drejtimi në të cilin këndi nga boshti pozitiv z po rritet. Për të minimizuar tepricën e paraqitjeve, këndi polar $\theta$ zakonisht merret të shtrihet midis zero dhe 180 gradë. Është veçanërisht e rëndësishme të theksohet konteksti i çdo treshe të renditur të shkruar në koordinata sferike, pasi rolet e ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ dhe ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ shpesh janë të kundërta. Këtu, përdoret konventa amerikane e "fizikës" . Kjo lë këndin azimutal $\varphi$ të përcaktuara njësoj si në koordinatat cilindrike. Marrëdhëniet karteziane janë:

$\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

Vektorët njësi sferikë varen nga të dyja $\varphi$ dhe $\theta$, dhe si rrjedhim ka 5 derivate të mundshëm jo zero. Për një përshkrim më të plotë, shihni matricën Jakobiane dhe përcaktorin . Derivatet jozero janë:

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$