Pozicioni (gjeometri)

Në gjeometri, një vektor pozicioni ose pozicioni, i njohur gjithashtu si vektori i vendndodhjes ose vektori i rrezes, është një vektor Euklidian që përfaqëson një pikë P në hapësirë . Gjatësia e saj përfaqëson largësinë në lidhje me një origjinë reference O, dhe drejtimi i saj përfaqëson orientimin këndor në lidhje me boshtet e dhëna referuese. Zakonisht shënohet x, r ose s, ai përkon me segmentin e vijës së drejtë nga O në P. Me fjalë të tjera, është zhvendosja ose përkthimi që harton origjinën në P :

Vektori i rrezes ${\vec {r}}$ paraqet pozicionin e një pike $\mathrm {P} (x,y,z)$ në lidhje me origjinën O. Në sistemin koordinativ kartezian ${\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}.$

$\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.$

Termi vektor i pozicionit përdoret më së shumti në fushën e gjeometrisë diferenciale, mekanikës dhe herë pas here llogaritjes vektoriale . Shpesh kjo përdoret në hapësirën dy-dimensionale ose tre-dimensionale, por mund të përgjithësohet lehtësisht në hapësirat Euklidiane dhe hapësirat afine të çdo dimensioni .

Pozicioni relativ

Vendndodhja relative e një pike Q në lidhje me pikën P është vektori Euklidian që rezulton nga zbritja e dy vektorëve të vendndodhjes absolute (secili në lidhje me origjinën):

$\Delta \mathbf {\hat {r}} =\Delta \mathbf {r} /\|\Delta \mathbf {r} \|,$

ku $\mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}$ .

Drejtimi relativ midis dy pikave është vendndodhja e tyre relative e normalizuar si një vektor njësi :

$\Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},$

ku emëruesi është largësia midis dy pikave, $\|\Delta \mathbf {r} \|$ . Një drejtim relativ është një vektor i lidhur, në ndryshim nga një drejtim i zakonshëm, i cili është një vektor i lirë .

Përkufizimi dhe përfaqësimi

Tre dimensione

Kurba e hapësirës në 3D. Vektori i pozicionit r është i parametrizuar nga një skalar t . Në r = a, vija e kuqe është tangjentja e lakores dhe rrafshi blu është normal me lakoren.

Në tre dimensione, çdo grup koordinatash tre-dimensionale dhe vektorët e tyre bazë përkatës mund të përdoren për të përcaktuar vendndodhjen e një pike në hapësirë - mund të përdoret cilado që është më e thjeshta për detyrën në fjalë.

Zakonisht, përdoret sistemi i njohur i koordinatave Kartezian, ose nganjëherë koordinatat polare sferike, ose koordinatat cilindrike :

${\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}$

ku t është një parametër, për shkak të simetrisë së tyre drejtkëndore ose rrethore. Këto koordinata të ndryshme dhe vektorë bazë përkatës përfaqësojnë të njëjtin vektor pozicioni. Në vend të kësaj mund të përdoren më shumë koordinata vijëpërkulura të përgjithshme dhe janë në kontekste si mekanika e vazhdimësisë dhe relativiteti i përgjithshëm (në rastin e fundit nevojitet një koordinatë shtesë kohore).

Zbatimet

Gjeometria diferenciale

Fushat vektoriale të vendndodhjes përdoren për të përshkruar kurbat e hapësirës të vazhdueshme dhe të diferencueshme, në të cilin rast parametri i pavarur nuk duhet të jetë koha, por mund të jetë (p.sh.) gjatësia e harkut të kurbës.

Mekanika

Në çdo ekuacion të lëvizjes, vektori i vendndodhjes r ( t ) është zakonisht madhësia më e kërkuar, sepse ky funksion përcakton lëvizjen e një grimce (dmth. një pike materiale ) - vendndodhjen e saj në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ në një kohë t .

Për të përcaktuar lëvizjen në terma të pozicionit, secila koordinatë mund të parametrizohet sipas kohës; meqenëse çdo vlerë e njëpasnjëshme e kohës korrespondon me një sekuencë të vendndodhjeve hapësinore të njëpasnjëshme të dhëna nga koordinatat, kufiri i vazhdimësisë së shumë vendndodhjeve të njëpasnjëshme është një shteg që gjurmon grimca.

Derivatet

Madhësitë kinematike të një grimce klasike: masë m, pozicion r, shpejtësi v, nxitim a

Për një vektor pozicioni r që është funksion i kohës t, derivatet e kohës mund të llogariten në lidhje me t . Këto derivate kanë dobi të përbashkët në studimin e kinematikës, teorisë së kontrollit, inxhinierisë dhe shkencave të tjera.

Shpejtësia

$\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},$

ku d r është një zhvendosje pafundësisht e vogël (vektor) .

Nxitimi

$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.$

Hovi

$\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.$