Ekuacioni

Në matematikë, një ekuacion është një formulë që shpreh barazinë e dy shprehjeve, duke i lidhur ato me shenjën e barazimit = . Fjala ekuacion dhe gjegjëset e saj në gjuhë të tjera mund të kenë kuptime paksa të ndryshme; për shembull, në frëngjisht një ekuacion përkufizohet se përmban një ose më shumë variabla, ndërsa në anglisht, çdo formulë e mirëformuar që përbëhet nga dy shprehje të lidhura me një shenjë e barazimit është një ekuacion.

Të zgjidhësh një ekuacion që përmban ndryshore do të thotë "të përcaktosh se cilat vlera të ndryshoreve e bëjnë barazimin të vërtetë". Ndryshoret për të cilat duhet të zgjidhet ekuacioni quhen gjithashtu të panjohura, dhe vlerat e të panjohurave që plotësojnë barazinë quhen zgjidhje të ekuacionit. Ekzistojnë dy lloje ekuacionesh: identitete dhe ekuacione të kushtëzuara. Një identitet është i vërtetë për të gjitha vlerat e ndryshoreve. Një ekuacion i kushtëzuar është i vërtetë vetëm për vlera të veçanta të ndryshoreve.

Shprehjet në të dy anët e shenjës së barabartë emërtohen përkatësisht "ana e majtë" dhe "ana e djathtë" e ekuacionit. Shumë shpesh ana e djathtë e një ekuacioni barazohet me 0 ,kjo mund të realizohet duke zbritur anën e djathtë nga të dyja anët.

Lloji më i zakonshëm i ekuacionit është një ekuacion polinomial (zakonisht i quajtur edhe ekuacion algjebrik ) në të cilin të dy anët janë polinome . Për shembull, ekuacioni:

$Ax^{2}+Bx+C-y=0$

Një ekuacion është i përafërt me një peshore në të cilën vendosen peshat. Kur pesha të barabarta (psh kokrra) vendosen në të dy pjatat e saj, kjo bën që peshorja të jetë në baraspeshë dhe thuhet se janë të barabarta. Nëse një sasi kokrrash hiqet nga një anë, duhet të hiqet një sasi e barabartë kokrrash nga tigani tjetër për të mbajtur peshoren në ekuilibër. Në përgjithësi, një ekuacion mbetet në baraspeshë nëse i njëjti veprim kryhet në të dy anët e tij.

Simboli " = ", i cili shfaqet në çdo ekuacion, u shpik në 1557 nga Robert Recorde, i cili konsideronte se asgjë nuk mund të ishte më e barabartë se vijat paralele me të njëjtën gjatësi.

E ç'është identiteti?

Një identitet është një ekuacion që është i vërtetë për të gjitha vlerat e mundshme të ndryshoreve që ai përmban. Shumë identitete janë të njohura në algjebër dhe analizë matematike. Në procesin e zgjidhjes së një ekuacioni, një identitet shpesh përdoret për të thjeshtuar një ekuacion, duke e bërë të zgjidhshëm më lehtë.

Në algjebër, një shembull i një identiteti është ndryshesa e katrorëve :

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

e cila është e vërtetë për të gjitha x-et dhe y-et .

Trigonometria është një fushë ku ekzistojnë shumë identitete; këto janë të dobishme në shndërrimin ose zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike . Dy nga shumë që përfshijnë funksionet sinus dhe kosinus janë:

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

dhe

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

të cilat janë të dyja të vërteta për të gjitha vlerat e θ .

Vetitë

Dy ekuacione ose dy sisteme ekuacionesh janë të njëvlershme, nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh. Veprimet e mëposhtme shndërrojnë një ekuacion ose një sistem ekuacionesh në një të njëvlershëm - me kusht që veprimet të jenë kuptimplote për shprehjet në të cilat zbatohen:

• Shtimi ose zbritja e së njëjtës madhësi në të dy anët e një ekuacioni.
• Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me një madhësi jozero.
• Zbatimi i një identiteti për të transformuar njërën anë të ekuacionit. Për shembull, zgjerimi i një shumëzimi ose faktorizimi i një shume.
• Për një sistem: duke shtuar në të dy anët e një ekuacioni anën përkatëse të një ekuacioni tjetër, shumëzuar me të njëjtën madhësi.

Nëse një funksion zbatohet në të dy anët e një ekuacioni, ekuacioni që rezulton ka zgjidhjet e ekuacionit fillestar midis zgjidhjeve të tij, por mund të ketë zgjidhje të mëtejshme të quajtura zgjidhje të huaja . Për shembull, ekuacioni $x=1$ e ka zgjidhjen $x=1.$ Ngritja e të dy anëve në fuqi të dytë e ndryshon ekuacionin në $x^{2}=1$, i cili jo vetëm ka zgjidhjen e mëparshme, por mbart edhe zgjidhjen e jashtme, $x=-1.$ Për më tepër, nëse funksioni nuk përcaktohet në disa vlera (si p.sh. ${\frac {1}{x}}$, i cili nuk është i përcaktuar për x = 0), zgjidhjet ekzistuese në ato vlera mund të humbasin. Kështu, duhet treguar kujdes kur zbatohet një shndërrim i tillë në një ekuacion.

Ekuacionet diferenciale

Një tërheqës i çuditshëm, i cili lind gjatë zgjidhjes së një ekuacioni të caktuar diferencial

Një ekuacion diferencial është një ekuacion matematik që lidh një funksion me derivatet e tij. Në aplikime, funksionet zakonisht përfaqësojnë madhësi fizike, derivatet përfaqësojnë shkallët e tyre të ndryshimit dhe ekuacioni përcakton një marrëdhënie midis të dyjave. Për shkak se marrëdhëniet e tilla janë jashtëzakonisht të zakonshme, ekuacionet diferenciale luajnë një rol të rëndësishëm në shumë disiplina duke përfshirë fizikën, inxhinierinë, ekonominë dhe biologjinë .

Nëse nuk gjendet një formulë për zgjidhjen, zgjidhja mund të përafrohet numerikisht duke përdorur kompjutera. Teoria e sistemeve dinamike e vë theksin në analizën cilësore të sistemeve të përshkruara me ekuacione diferenciale, ndërsa shumë metoda numerike janë zhvilluar për të përcaktuar zgjidhjet me një shkallë të caktuar saktësie.

Ekuacionet diferenciale të zakonshme

Një ekuacion i zakonshëm diferencial ose ODE është një ekuacion që përmban një funksion të një ndryshoreje të pavarur dhe derivateve të saj. Termi "i zakonshëm " përdoret në kontrast me termin ekuacion diferencial i pjesshëm, i cili mund të jetë në lidhje me më shumë se një ndryshore të pavarur.

Ekuacionet diferenciale të pjesshme

Një ekuacion diferencial i pjesshëm ( PDE ) është një ekuacion diferencial që përmban funksione të panjohura shumëndryshore dhe derivatet e tyre të pjesshme . (Kjo është në kontrast me ekuacionet diferenciale të zakonshme, të cilat kanë të bëjnë me funksionet e një ndryshoreje të vetme dhe derivatet e tyre. ) PDE-të përdoren për të formuluar probleme që përfshijnë funksione të disa variablave dhe ose zgjidhen me dorë ose përdoren për të krijuar një model kompjuterik përkatës.

PDE-të mund të përdoren për të përshkruar një shumëllojshmëri të gjerë dukurish si zëri, nxehtësia, elektrostatika, elektrodinamika, rrjedha e lëngjeve, elasticiteti ose mekanika kuantike . Këto dukuri fizike në dukje të dallueshme mund të formalizohen në mënyrë të ngjashme përsa i përket PDE-ve. Ashtu si ekuacionet diferenciale të zakonshme shpesh modelojnë sisteme dinamike njëdimensionale, ekuacionet diferenciale të pjesshme shpesh modelojnë sisteme shumëdimensionale . PDE-të e gjejnë përgjithësimin e tyre në ekuacionet diferenciale të pjesshme stokastike .