Ekuacioni diferencial matricor

Një ekuacion diferencial është një ekuacion matematik për një funksion të panjohur të një ose disa ndryshoreve që lidh vlerat e vetë funksionit dhe derivatet e tij të rendit të ndryshëm. Një ekuacion diferencial matricor përmban më shumë se një funksion të stivuar në formë vektoriale me një matricë që lidh funksionet me derivatet e tyre.

Për shembull, një ekuacion diferencial i zakonshëm matricor i rendit të parë është

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)$

ku $\mathbf {x} (t)$ është një vektor $n\times 1$ i funksioneve të një ndryshoreje themelore $t$, $\mathbf {\dot {x}} (t)$ është vektori i derivateve të para të këtyre funksioneve, dhe $\mathbf {A} (t)$ është një matricë $n\times n$ e koeficientëve.

Në rastin kur $\mathbf {A}$ është konstante dhe ka n eigjenvektorë të pavarur linearisht, ky ekuacion diferencial ka zgjidhjen e përgjithshme vijuese:

$\mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {u} _{n}~,$

ku λ₁, λ₂, …, λ_n janë vlerat vetjake të A ; u₁, u₂, …, u_n janë eigenvektorët përkatës të A ; dhe c₁, c₂, …, c_n janë konstante.

Në përgjithësi, nëse $\mathbf {A} (t)$ është ndërrues me integralin e tij $\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds$ atëherë zbërthimi Magnus reduktohet në rendin kryesor, dhe zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial është

$\mathbf {x} (t)=e^{\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\mathbf {c} ~,$

ku $\mathbf {c}$ është një $n\times 1$ vektor konstant.

Qëndrueshmëria dhe gjendja e qëndrueshme e sistemit të matricës

Ekuacioni matricor

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b}$

me një vektor konstant prej n ×1 parametrash b është i qëndrueshëm atëherë dhe vetëm atëherë kur të gjitha vlerat vetjake të matricës konstante A kanë një pjesë reale negative.

Gjendja e qëndrueshme x* në të cilën konvergjon nëse është e qëndrueshme, gjendet duke vendosur

$\mathbf {\dot {x}} ^{*}(t)=\mathbf {0} ~,$

duke dhënë kështu

$\mathbf {x} ^{*}=-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ~,$

duke supozuar se A ka të anasjelltë.

Kështu, ekuacioni origjinal mund të shkruhet në formë homogjene për sa i përket devijimeve nga gjendja e qëndrueshme,

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]~.$

Një mënyrë e njëvlershme për ta shprehur këtë është se x* është një zgjidhje e veçantë për ekuacionin johomogjen, ndërsa të gjitha zgjidhjet janë në formë

$\mathbf {x} _{h}+\mathbf {x} ^{*}~,$

me $\mathbf {x} _{h}$ një zgjidhje e ekuacionit homogjen ( b = 0 ).

Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale matricore të zakonshme të dekonstruktuara

Procesi i zgjidhjes së ekuacioneve të mësipërme dhe gjetja e funksioneve të kërkuara të këtij rendi dhe forme të veçantë përbëhet nga 3 hapa kryesorë. Përshkrime të shkurtra të secilit prej këtyre hapave janë renditur më poshtë:

• Gjetja e vlerave vetjake
• Gjetja e autovektorëve
• Gjetja e funksioneve të nevojshme

Hapi i fundit, i tretë, në zgjidhjen e këtyre llojeve të ekuacioneve diferenciale të zakonshme zakonisht bëhet me anë të futjes së vlerave të llogaritura në dy hapat e mëparshëm në një ekuacion të formës së përgjithshme të specializuar, të përmendur më vonë në këtë artikull.

Shembull i zgjidhur i një matrice ODE

Për të zgjidhur një EDZ matricor sipas tre hapave të detajuar më sipër, duke përdorur matrica të thjeshta në proces, le të gjejmë, një funksion x dhe një funksion y të dyja në terma të ndryshores së vetme të pavarur t, në ekuacionin diferencial linear homogjen të mëposhtëm të rendit të parë,

${\frac {dx}{dt}}=3x-4y,\quad {\frac {dy}{dt}}=4x-7y~.$

Për të zgjidhur këtë sistem të veçantë të ekuacioneve diferenciale të zakonshme, në një moment të procesit të zgjidhjes, do të na duhet një grup prej dy vlerash fillestare (që korrespondojnë me dy ndryshoret e gjendjes në pikën fillestare). Në këtë rast, le të zgjedhim x (0) = y (0) = 1 .

Hapi i parë

Hapi i parë, i përmendur tashmë më lart, është gjetja e vlerave vetjake të A in

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.$

Shënimi i derivatit x ' etj. i parë në një nga vektorët e mësipërm njihet si shënimi i Lagranzhit (i prezantuar për herë të parë nga Joseph Louis Lagrange . Është ekuivalent me shënimin e derivatit dx/dt të përdorur në ekuacionin e mëparshëm, i njohur si shënimi i Leibniz-it, duke respektuar emrin e Gottfried Leibniz .)

Pasi koeficientët e dy ndryshoreve të jenë shkruar në formën matricore A të shfaqur më sipër, mund të llogariten vlerat vetjake . Për këtë qëllim, gjendet përcaktori i matricës që formohet kur një matricë identitetare, $I_{n}$, e shumëzuar me një konstante λ, i zbritet matricës së koeficientëve të mësipërm për të nxjerrë polinomin karakteristik të tij,

$\det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,$

dhe zgjidhet duke e barazuar me 0.

Zbatimi i thjeshtimit të mëtejshëm dhe rregullave bazë të mbledhjes së matricës merret:

$\det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.$

Duke zbatuar rregullat e gjetjes së përcaktorit të një matrice të vetme 2×2, jepet ekuacioni kuadratik elementar i mëposhtëm:

$\det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0$

$-21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!$

i cili mund të zvogëlohet më tej për të marrë një version më të thjeshtë të sa më sipër,

$\lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.$

Tani duke gjetur dy rrënjët, $\lambda _{1}$ dhe $\lambda _{2}$ të ekuacionit kuadratik të dhënë duke zbatuar metodën e faktorizimit jep

$\lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0$

$\lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0$

$(\lambda -1)(\lambda +5)=0$

$\lambda =1,-5~.$

vlerat $\lambda _{1}=1$ dhe $\lambda _{2}=-5$, të llogaritura më sipër janë eigenvlerat e kërkuara të A . Në disa raste, le të themi EDZ të matricave të tjera, eigenvlerat mund të jenë komplekse, në të cilin rast hapi i mëposhtëm i procesit të zgjidhjes, si dhe forma përfundimtare dhe zgjidhja, mund të ndryshojnë në mënyrë dramatike.

Hapi i dytë

Siç u përmend më lart, ky hap përfshin gjetjen e eigenvektorëve të A nga informacioni i dhënë fillimisht.

Për secilën nga vlerat vetjake të llogaritura, ne kemi një vektor vetjak individual. Për eigenvlerën e parë, që është $\lambda _{1}=1$, kemi

${\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.$

Thjeshtimi i shprehjes së mësipërme duke zbatuar rregullat bazë të shumëzimit të matricave jep

$3\alpha -4\beta =\alpha$

$\alpha =2\beta ~.$

Të gjitha këto llogaritje janë bërë vetëm për të marrë shprehjen e fundit, e cila në rastin tonë është α = 2 β . Tani duke marrë një vlerë arbitrare, me sa duket, një vlerë të vogël të parëndësishme, me të cilën është shumë më e lehtë për të punuar, qoftë për α, qoftë për β (në shumicën e rasteve, nuk ka shumë rëndësi), ne e zëvendësojmë atë në α = 2 β . Duke vepruar kështu prodhohet një vektor i thjeshtë, i cili është eigenvektori i kërkuar për këtë vlerë të veçantë. Në rastin tonë, ne zgjedhim α = 2, e cila, nga ana tjetër përcakton se β = 1 dhe, duke përdorur shënimin standard të vektorit, vektori ynë duket si

$\mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.$

Kryerja e të njëjtit operacion duke përdorur eigenvlerën e dytë që kemi llogaritur, e cila është $\lambda =-5$, marrim vetvektorin tonë të dytë. Procesi i përpunimit të këtij vektori nuk tregohet, por rezultati përfundimtar është

$\mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

Hapi i tretë

Ky hap i fundit gjen funksionet e kërkuara që janë 'të fshehura' pas derivateve që na janë dhënë fillimisht. Ka dy funksione, sepse ekuacionet tona diferenciale kanë të bëjnë me dy ndryshore.

Ekuacioni që përfshin të gjitha pjesët e informacionit që kemi gjetur më parë, ka formën e mëposhtme:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.$

Zëvendësimi i vlerave të eigenvlerave dhe eigenvektorëve jep

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

Duke zbatuar një thjeshtim të mëtejshëm,

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.$

Thjeshtimi i mëtejshëm dhe shkrimi i ekuacioneve për funksionet x dhe y veçmas,

$x=2Ae^{t}+Be^{-5t}$

$y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.$

Ekuacionet e mësipërme janë, në fakt, funksionet e përgjithshme të kërkuara, por ato janë në formën e tyre të përgjithshme (me vlera të paspecifikuara të A dhe B ), ndërsa ne duam të gjejmë realisht format dhe zgjidhjet e tyre të sakta. Pra, tani marrim parasysh kushtet fillestare të dhëna të problemit (problemi që përfshin kushtet fillestare të dhëna është i ashtuquajturi problem i vlerave fillestare ). Supozoni se kemi të dhënë $x(0)=y(0)=1$, të cilat luajnë rolin e pikënisjes për ekuacionin tonë të zakonshëm diferencial; zbatimi i këtyre kushteve specifikon konstantet, A dhe B Siç shohim nga $x(0)=y(0)=1$ kushte, kur t = 0, anët e majta të ekuacioneve të mësipërme janë të barabarta me 1. Kështu ne mund të ndërtojmë sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve lineare ,

$1=2A+B$

$1=A+2B~.$

Duke zgjidhur këto ekuacione, gjejmë se të dyja konstantet A dhe B janë të barabarta 1/3. Prandaj, zëvendësimi i këtyre vlerave në formën e përgjithshme të këtyre dy funksioneve specifikon format e tyre të sakta, $$x={\tfrac {2}{3}}e^{t}+{\tfrac {1}{3}}e^{-5t}$$$$y={\tfrac {1}{3}}e^{t}+{\tfrac {2}{3}}e^{-5t}~,$$ dy funksionet e kërkuara.