Integrali jo elementar

Në matematikë, një integrali i pacaktuar joelementar i një funksioni elementar të dhënë është një integral i pacaktuar që nuk është, në vetvete, një funksion elementar (d.m.th. një funksion i ndërtuar nga një numër i kufizuar herësish konstante, algjebrike, eksponenciale, trigonometrike dhe logaritmike . funksionet duke përdorur veprimet mbi fusha ). ^[1] Një teoremë nga Liouville në 1835 dha provën e parë se ekzistojnë integralet e pacaktuar jo-elementarë. ^[2] Kjo teoremë gjithashtu ofron një bazë për algoritmin Risch për përcaktimin (me vështirësi) se cilat funksione elementare kanë intelgrale të pacaktuara elementare.

Shembuj

Shembuj të funksioneve me integrale të pacaktuar jo-elementarë përfshijnë:

${\sqrt {1-x^{4}}}$ ^[1] ( integral eliptik )
${\frac {1}{\ln x}}$ ^[3] ( integrali logaritmik )
$e^{-x^{2}}$ ^[1] ( funksioni i gabimit, integrali gaussian )
$\sin(x^{2})$ dhe $\cos(x^{2})$ ( Integrali Fresnel )
${\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$ ( integrali i sinusit, integral Dirichlet )
${\frac {e^{-x}}{x}}$ ( integrali eksponencial )
$e^{e^{x}}\,$ (në kufiza të integralit eksponencial)
$\ln(\ln x)\,$ (përsa i përket integralit logaritmik)
${x^{c-1}}e^{-x}$ ( funksioni i paplotë gama ); për $c=0,$ integrali i pacaktuar mund të shkruhet në terma të integralit eksponencial; për $c={\tfrac {1}{2}},$ për sa i përket funksionit të gabimit; për $c=$ çdo numër të plotë pozitiv, integrali i pacaktuar është elementar.

Vetitë

Integralet e pacaktuara jo-elementare shpesh mund të vlerësohen duke përdorur serinë e tyre të Tejlorit . Edhe nëse një funksion nuk ka integral të pacaktuar elementar, seria e tij Tejlor mund të integrohet gjithmonë kufizë pas kufize si një polinom, duke dhënë funksionin e integruar si një seri Tejlori me të njëjtën rreze konvergjence . Megjithatë, edhe nëse i integrueshmi ka një seri Tejlori konvergjente, sekuenca e tij e koeficientëve shpesh nuk ka formulë elementare dhe duhet të vlerësohet term pas termi, me të njëjtin kufizim për serinë integrale të Tejlorit.

Edhe nëse nuk është e mundur të vlerësohet një integral i pacaktuar në terma elementare, gjithmonë mund të përafrohet një integral i caktuar korrespondues me integrim numerik . Ka gjithashtu raste kur nuk ka integral të pacaktuar elementar, por integrale specifike të përcaktuara (shpesh integrale të papërshtatshme mbi intervale të pakufizuara ) mund të vlerësohen në terma elementare: më e famshmja integrali Gaussian me shprehjen ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

Mbyllja nën integrimin e bashkësisë të funksioneve elementare është bashkësia e funksioneve Liouvilliane .

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Elementary Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html From MathWorld Accessed 24 Apr 2017.
^ Dunham, William (2005). The Calculus Gallery. Princeton. fq. 119. ISBN 978-0-691-13626-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Impossibility theorems for elementary integration; Brian Conrad. Clay Mathematics Institute: 2005 Academy Colloquium Series. Accessed 14 Jul 2014.

[Weisstein-1] Weisstein, Eric W. "Elementary Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html From MathWorld Accessed 24 Apr 2017.

[2] Dunham, William (2005). The Calculus Gallery. Princeton. fq. 119. ISBN 978-0-691-13626-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] Impossibility theorems for elementary integration; Brian Conrad. Clay Mathematics Institute: 2005 Academy Colloquium Series. Accessed 14 Jul 2014.

[1]

[2]

[3]