Momenti i Inercisë

Momenti i inercise, i njohur gjithashtu si mase moment i inercisë ose masa këndore, (njësite në SI kg m²), është koncepti analog i masës për trupa në rrotullim. Ndyshe ai mund të kuptohet si inercia e një trupi të ngurtë në rrotullim në lidhje me pikën e rrotullimit. Moment i inercisë luan të njëjtin rol në lëvizjen rrotulluese që masa luan në dinamikën e thjeshte, kjo madhësi përcakton lidhjet mes momentit këndor dhe shpejtësisë këndore, krahut të forcës dhe nxitimit këndor, si dhe shume madhësive të tjera. Edhe pse një trajtim i thjeshtë skalar i momentit të inercisë mjafton për një pjesë të mirë rastesh, një trajtim më i avancuar i bazuar në analizën tensoriale duhet të bëhet për sisteme më të komplikuar si për trupat rrotullues apo për lëvizjen xhiroskopike.

Simboli $I$ ose ndonjëherë $J$ përdoren zakonisht për të treguar momentin e inercisë.

Momenti i inercisë u paraqit për herë të parë nga Ojleri në librin e tij Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum në 1730. Në këtë libër, ai diskuton me detaje të shumta momentin e inercisë dhe koncepte të tjera të si, akset principale të inercisë, të cilat kanë të bëjnë me momentin e inercisë.

Momenti skalar i inercisë

Përcaktimi

Nje përcaktim i thjeshte i momentit të inercisë së çdo objekti, qoftë ai i një pikë lëndore apo një strukturë 3-dimensionale, jepet nga :

$I=\int r^{2}\,dm$

ku

m është masa,

dhe r është distance (pingule) e pikës lëndore nga boshti i rrotullimit.

Një analizim i detajuar

Momenti (skalar) i inercisë i një pikë lëndore që rrotullohet rreth një aksi jepet nga

$I\triangleq mr^{2}\,\!$.

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup të ngurtë që konsiston nga $N$ pika lëndore $m_{i}$ me distanca $r_{i}$ nga boshti i rrotullimit, moment total i inercisë është i barabartë më shumën e momenteve të inercisë së pikave lëndore:

$I\triangleq \sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!$

Për një trup të ngurtë që përshkruhet nga një funksion densiteti të vazhdueshem të masës ρ(r), moment i inercise rreth një aksi të njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (të peshuar nga densiteti i masës) nga një pikë e trupit deri tek bosti i rrotullimit:

$I\triangleq \iiint _{V}r^{2}\,\rho ({\boldsymbol {r}})\,dV\!$

ku

V është volume i zënë nga objekti.

ρ është funksioni i densitetit hapesinore të objektit dhe

${\boldsymbol {r}}\equiv (r,\theta ,\phi ),(x,y,z),ose(r,\theta ,z)$ janë kordinatat e pikës brenda trupit.

Diagram për llogaritjen e momentit të inercise për një disk. Ketu k eshte 1/2 dhe r është rrezja që përdoret për përcaktimin e momentit.

Vetem duke u bazuar n analizen dimensionale , shikojmë se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pikë lendore duhet të marre formën:

$I=k\cdot M\cdot {R}^{2}\,\!$

ku

M është masa

R është rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste , gjatesia e objektit perdoret.)

k është nje konstate pa dimensione e quajtur konstantja e inercise e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate.

Konstantet inerciale përdoren për të marrë parasysh diferencat në vendosjen e masës nga qëndra e rrotullimit. Disa shembuj janë:

• k = 1, unazë e hollë ose cilinder me mure shumë të holla rreth qëndrës së tij,
• k = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
• k = 1/2, cylinder i ngurtë ose disk rreth qëndrës.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve të inercisë.

Teorema e aksit parallel

Artikulli kryesor: Teorema e aksit parallel

Tensori i momentit te inercise

Percaktimi

Per nje object te ngurte te perbere nga $N$ pika lendore $m_{k}$, tensori i momentit te inercise jepet nga

$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}$.

Komponentet e saj percaktohen si

$I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(r_{k}^{2}\delta _{ij}-r_{ki}r_{kj})\,\!$

ku

i, j jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,

r_k eshte distanca e mases k rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe

$\delta _{ij}$ eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si

$I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!$

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si produktet e inercise, jane

$I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\,\!$

$I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\,\!$ and

$I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\,\!$

Ketu $I_{xx}$ jep momentin e inercise rreth bushtit-$x$ kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, $I_{xy}$ tregon momentin e inercise rreth aksit-$y$ kur objektet rrotullohen rreth aksit-$x$, e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim

$\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(r^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,$

ku $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$ eshte produkti i jashtem, E₃ eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe V eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

Derivimi i komponenteve te tensorit

Distanca $r$ e nje therrmije tek $\mathbf {x}$ nga boshti i rrotullimit qe kalon permes origjines ne drejtimin e $\mathbf {\hat {n}}$ eshte $|\mathbf {x} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\mathbf {\hat {n}} |$. Duke perdorur formulen $I=mr^{2}$ (dhe pak algjeber te thjeshte vektoriale) del se momenti i inercise e kesaj therrmije (rreth boshtit te rrotullimit qe kalon nga origjina ne drejtimin $\mathbf {\hat {n}}$ ) eshte $I=m(|\mathbf {x} |^{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {n}} )-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}).$ Kjo eshte nje formë kuadratike në $\mathbf {\hat {n}}$ dhe, pas disa manipulimesh algjebrike, kjo con tek nje formule tensoriale per momentin e inercise

${I}=m[n_{1},n_{2},n_{3}]{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{bmatrix}}$.

Kjo eshte formula ekzakte e dhene me poshte per momentin e inercise ne rastin e nje therrmije te vetme. Per shume therrmija duhet te kujtojme qe momenti i inercise eshte aditiv ne menyre qe te veme re qe kjo formule eshte korrekte.

Shikoni gjithashtu

• Lista e momenteve te inercise
• Lista e momenteve te tensoreve te inercise
• Energjia rrotulluese
• Teoreme e aksit paralel
• Teorema e aksit perpendikular
• Elipsoidi i Poinsots

Referime

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

• Landau LD and Lifshitz EM. (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Systems and Particles, 4th. ed., Thomson. ISBN 0-03-097302-3

• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

• Tenenbaum, RA. (2004) Fundamentals of Applied Dynamics, Springer. ISBN 0-387-00887-X

Lidhje te jashtme

• Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions Arkivuar 29 mars 2010 tek Wayback Machine
• A table of moments of inertia
• Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
• The moment of inertia tensor
• An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)