Operatori Householder

Në algjebër lineare, operatori Householder përcaktohet si më poshtë. Le të jetë $V\,$ një hapësirë e prodhimit të brendshëm me dimensione të fundme me prodhim të brendshëm $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ dhe vektor njësi $u\in V$ . Pastaj

$H_{u}:V\to V\,$

përcaktohet nga

$H_{u}(x)=x-2\,\langle x,u\rangle \,u\,.$

Ky operator pasqyron vektorin $x$ përgjatë një rrafshi të dhënë nga vektori normal $u$ .

Është gjithashtu e zakonshme të zgjedhësh një vektor jo-njësi $q\in V$, dhe të normalizohet drejtpërdrejt në shprehjen e operatorit Householder:

$H_{q}\left(x\right)=x-2\,{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}\,q\,.$

Vetitë

Operatori Householder plotëson vetitë e mëposhtme:

• Është linear ; nëse $V$ është një hapësirë vektoriale mbi një fushë $K$, atëherë

$\forall \left(\lambda ,\mu \right)\in K^{2},\,\forall \left(x,y\right)\in V^{2},\,H_{q}\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda \ H_{q}\left(x\right)+\mu \ H_{q}\left(y\right).$

• Ai është i vetë-bashkuar .
• Nëse $K=\mathbb {R}$, atëherë është ortogonale ; përndryshe, nëse $K=\mathbb {C}$, atëherë është njësi .

Raste të veçanta

Mbi një hapësirë vektoriale reale ose komplekse, operatori Householder njihet gjithashtu si transformimi i Homeholder .