Fusha (matematikë)

Në matematikë, një fushë është një bashkësi në të cilën mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi përcaktohen dhe sillen si veprimet përkatëse mbi numrat racionalë dhe realë. Një fushë është kështu një strukturë themelore algjebrike e cila përdoret gjerësisht në algjebër, teorinë e numrave dhe shumë fusha të tjera të matematikës.

Shtatëkëndëshi i rregullt nuk mund të ndërtohet duke përdorur vetëm një vizore të drejtë dhe një kompas ; kjo mund të vërtetohet duke përdorur fushën e numrave të ndërtueshëm .

Fushat më të njohura janë fusha e numrave racionalë, fusha e numrave realë dhe fusha e numrave kompleksë . Shumë fusha të tjera, të tilla si fushat e funksioneve racionale, fushat e funksioneve algjebrike, fushat e numrave algjebrikë dhe fushat <i id="mwKQ">p</i> -adike zakonisht përdoren dhe studiohen në matematikë, veçanërisht në teorinë e numrave dhe gjeometrinë algjebrike . Shumica e protokolleve kriptografike mbështeten në fusha të fundme, p.sh., fusha me shumë elementë të fundëm.

Teoria e fushave provon se triprerja e këndit dhe katrorimi i rrethit nuk mund të bëhen me një kompas dhe një vizore të drejtë. Teoria Galois, e përkushtuar për të kuptuar simetritë e zgjerimeve të fushës, ofron një provë elegante të teoremës Abel-Ruffini se ekuacionet e përgjithshme të rendit të pestë nuk mund të zgjidhen me radikale .

Fushat shërbejnë si nocione themelore në disa fusha matematikore. Këtu përfshihen degë të ndryshme të analizës matematike, të cilat bazohen në fusha me strukturë shtesë. Teoremat bazë në analizë varen nga vetitë strukturore të fushës së numrave realë. Më e rëndësishmja për qëllime algjebrike, çdo fushë mund të përdoret si skalar për një hapësirë vektoriale, e cila është konteksti i përgjithshëm standard për algjebrën lineare. Fushat e numrave, movat (vëllezërit dhe motrat) e numrave racionalë, studiohen në thellësi në teorinë e numrave . Fushat e funksionit mund të ndihmojnë në përshkrimin e vetive të objekteve gjeometrike.

Përkufizimi

Formalisht, një fushë është një bashkësi F së bashku me dy veprime dyare në F të quajtura mbledhje dhe shumëzim . Një veprim dyar në F është një hartë F × F → F, domethënë një përkim që lidh me çdo çift të renditur elementësh të F një element të përcaktuar në mënyrë unike të F . Rezultati i mbledhjes së a dhe b quhet shuma e a dhe b, dhe shënohet a + b . Në mënyrë të ngjashme, rezultati i shumëzimit të a dhe b quhet prodhim i a dhe b dhe shënohet si ab ose a ⋅ b . Këto veprime kërkohen për të përmbushur vetitë e mëposhtme, të referuara si aksioma të fushës (në këto aksioma, a, b dhe c janë elemente arbitrare të fushës F ):

a − b := a + (−b),

a / b := a ⋅ b^-1.

Përkufizimi klasik

Në mënyrë joformale, një fushë është një bashkësi, së bashku me dy veprime të përcaktuara në atë bashkësi: një veprim mbledhjeje i shkruar si a + b dhe një veprim shumëzimi i shkruar si a ⋅ b, që të dyja sillen njësoj siç sillen për numrat racionalë dhe numrat realë., duke përfshirë ekzistencën e një të anasjellti të mbledhjes −a për të gjithë elementët a, dhe të një të anasjellti të shumëzimit b^-1 për çdo element b jozero . Kjo lejon që dikush të marrë në konsideratë gjithashtu të ashtuquajturat veprime të anasjellta të zbritjes, a − b, dhe pjesëtimi, a / b, duke përcaktuar:

• Shoqërimi i mbledhjes dhe shumëzimit: a+( b+c ) = ( a+b ) + c, dhe a ⋅ ( b⋅c ) = ( a⋅b ) ⋅ c .
• Ndërrimi i mbledhjes dhe shumëzimit: a + b = b + a, dhe a ⋅ b = b ⋅ a .
• Identiteti i mbledhjes dhe shumëzimit: ekzistojnë dy elementë të ndryshëm 0 dhe 1 në F të tillë që a + 0 = a dhe a ⋅ 1 = a .
• I anasjellti i mbledhjes : për çdo a në F, ekziston një element në F, i shënuar −a, i quajtur shtues i anasjelltë i a, i tillë që a + (− a ) = 0 .
• I anasjellti i shumëzimit : për çdo a ≠ 0 në F, ekziston një element në F, i shënuar a −1 ose 1/a, i quajtur inversi shumëzues i a, i tillë që a ⋅ a −1 = 1 .
• Shpërndarja e shumëzimit mbi mbledhjen: a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) .

Shembuj

Numrat racionalë

Numrat racionalë janë përdorur gjerësisht shumë kohë përpara përpunimit të konceptit të fushës. Janë numra që mund të shkruhen si thyesa a / b, ku a dhe b janë numra të plotë dhe b ≠ 0 . Inversi shtues i një thyese të tillë është −a / b, dhe inversi shumëzues (me kusht që a ≠ 0 ) të jetë b / a, e cila mund të shihet si më poshtë:

${\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.$

Aksiomat e fushës së kërkuar në mënyrë abstrakte zvogëlohen në vetitë standarde të numrave racionalë. Për shembull, ligji i shpërndarjes mund të vërtetohet si më poshtë:

${\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}$

Numrat realë dhe kompleksë

Shumëzimi i numrave kompleksë mund të vizualizohet gjeometrikisht me anë të rrotullimeve dhe shkallëzimeve.

Numrat realë R, me veprimet e zakonshme të mbledhjes dhe shumëzimit, gjithashtu formojnë një fushë. Numrat kompleksë C përbëhen nga shprehje

a + bi, me a, b realë,

ku i është njësia imagjinare, p.sh., një numër (jo real) që kënaq i² = −1. Mbledhja dhe shumëzimi i numrave realë përcaktohen në atë mënyrë që shprehjet e këtij lloji plotësojnë të gjitha aksiomat e fushës dhe kështu qëndrojnë për C . Për shembull, vetia e përdasisë zbaton

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac − bd) + (bc + ad)i.