Shpërndarja Gaus–Kuzmin

Në matematikë, shpërndarja Gauss-Kuzmin është një shpërndarje diskrete probabiliteti që lind si shpërndarje e probabilitetit kufi e koeficientëve në zgjerimin e thyesës së vazhdueshme të një ndryshoreje rasti të shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin $(0,1)$. Shpërndarja është emërtuar sipas Carl Friedrich Gauss, i cili e nxori atë rreth vitit 1800, dhe Rodion Kuzmin, i cili dha një kufi në shkallën e konvergjencës në 1929. Ajo jepet nga funksioni i masës së probabilitetit

Gauss–Kuzmin

Probability mass function
Cumulative distribution function
Parametrat	(asnjë)
Mbështetës	$k\in \{1,2,\ldots \}$
FMGJ	$-\log _{2}\left[1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right]$
FGSH	$1-\log _{2}\left({\frac {k+2}{k+1}}\right)$
Vlera e pritur	$+\infty$
Mediana	$2\,$
Moda	$1\,$
Varianca	$+\infty$
Shtrirja	(e papërcaktuar)
Kurtoza e tepërt	(e papërcaktuar)
Entropia	3.432527514776...

$p(k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.$

Teorema Gauss – Kuzmin

Le të jetë

$x={\cfrac {1}{k_{1}+{\cfrac {1}{k_{2}+\cdots }}}}$

zgjerimi i vazhdueshëm thyesor i një numri të rastit $x$ të shpërndarë në mënyrë uniforme në $(0,1)$. Pastaj

$\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.$

Në mënyrë të njëvlershme, le të jetë

$x_{n}={\cfrac {1}{k_{n+1}+{\cfrac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}~;$

pastaj

$\Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)$

tenton drejt zeros kur $n$ priret në pafundësi.

Shkalla e konvergjencës

Në vitin 1928, Kuzmin dha kufirin

$|\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})~.$

Në 1929, Paul Lévy e përmirësoi atë në

$|\Delta _{n}(s)|\leq C\,0.7^{n}~.$

Më vonë, Eduard Wirsing tregoi se, për λ = 0,30366... ( konstanta Gauss–Kuzmin–Wirsing ), kufiri

$\Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}$

ekziston për çdo $s\in [0,1]$, dhe funksioni $\Psi (s)$ është analitik dhe plotëson $\Psi (0)=\Psi (1)=0$. Kufijtë e mëtejshëm u vërtetuan nga K.I Babenko .