Shpërndarja Landau

Në teorinë e probabilitetit, shpërndarja Landau është një shpërndarje probabiliteti që mban emrin Lev Landau . Për shkak të bishtit "të trashë" të shpërndarjes, momentet e shpërndarjes, si mesatarja ose varianca, janë të papërcaktuara. Shpërndarja është një rast i veçantë i shpërndarjes së qëndrueshme .

Shpërndarja Landau

Probability density function $\mu =0,\;c=\pi /2$
Parametrat	$c\in (0,\infty )$ — parametri i shkallës $\mu \in (-\infty ,\infty )$ — parametri i vendndodhjes
Mbështetës	$\mathbb {R}$
FDGJ	${\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt$
Vlera e pritur	E papërcaktuar
Varianca	E papërcaktuar
FGJM	I papërcaktuar
FK	$\exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

Përkufizimi

Funksioni i dendësisë së probabilitetit, siç është shkruar fillimisht nga Landau, përcaktohet nga integrali kompleks :

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,$

ku a është një numër real arbitrar pozitiv, që do të thotë se rruga e integrimit mund të jetë çdo paralele me boshtin imagjinar, duke kryqëzuar gjysmë-boshtin real pozitiv, dhe $\log$ i referohet logaritmit natyror . Me fjalë të tjera është transformimi Laplas i funksionit $s^{s}$ .

Integrali real i mëposhtëm është i barabartë me atë më lart:

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

Familja e plotë e shpërndarjeve Landau përftohet duke zgjeruar shpërndarjen origjinale në një familje të shkallës së vendndodhjes të shpërndarjeve të qëndrueshme me parametra $\alpha =1$ dhe $\beta =1$, me funksion karakteristik :

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

ku $c\in (0,\infty )$ dhe $\mu \in (-\infty ,\infty )$, e cila jep një funksion dendësie si më poshtë:

$p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,$

Vetitë

Funksioni i përafrimit për $\mu =0,\,c=1$

• Përkthimi: Nëse $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$ atëherë $X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,$ .
• Shkallëzimi: Nëse $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$ atëherë $aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -{\tfrac {2ac\log(a)}{\pi }},ac)\,$ .
• Shuma: Nëse $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1})$ dhe $Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})\,$ atëherë $X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},c_{1}+c_{2})$ .