Spektri i një matrice

Në matematikë, spektri i një matrice është bashkësia e vlerave vetjake të saj. Në përgjithësi, nëse $T\colon V\to V$ është një operator linear në çdo hapësirë vektoriale me dimensione të fundme, spektri i tij është bashkësia e skalarëve $\lambda$ të tilla që $T-\lambda I$ nuk ka të anasjelltë. Përcaktori i matricës është i barabartë me prodhimin e vlerave vetjake të saj. Në mënyrë të ngjashme, gjurma e matricës është e barabartë me shumën e vlerave vetjake të saj. Nga ky këndvështrim, ne mund të përcaktojmë pseudo-përcaktorin për një matricë singulare që të jetë prodhimi i eigenvlerave të saj jozero (dendësia e shpërndarjes normale shumëvariate do të ketë nevojë për këtë sasi).

Në shumë zbatime, si p.sh. PageRank, interesohemi për eigenvlerën dominuese, dmth atë që është më e madhja në vlerë absolute . Në zbatime të tjera, eigenvlera më e vogël është e rëndësishme, por në përgjithësi, i gjithë spektri ofron informacion të vlefshëm për një matricë.

Përkufizimi

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimensione të fundme mbi një fushë K dhe supozojmë T : V → V është një hartë lineare. Spektri i T, i shënuar σ_T, është shumëbashkësi e rrënjëve të polinomit karakteristik të T. Kështu, elementët e spektrit janë pikërisht eigenvlerat e T, dhe shumësia e një eigenvlere λ në spektër është i barabartë me dimensionin e hapësirës vetjake të përgjithësuar të T për λ (i quajtur edhe shumësia algjebrike e λ ).

Tani, caktoni një bazë B të V mbi K dhe supozoni M ∈ Mat_K(V) është një matricë. Përcaktoni hartën lineare T : V → V në drejtim të pikës me Tx = Mx, ku në anën e djathtë x interpretohet si një vektor kolonë dhe M vepron mbi x me shumëzim matricor . Tani shprehemi se x ∈ V është një vektor i M-së në qoftë se x është një vektor i veçantë i T-së . Në mënyrë të ngjashme, λ ∈ K është një eigenvlerë e M nëse është një eigenvlerë e T, dhe me të njëjtën shumësi, dhe spektri i M, i shkruar σ_M, është shumëbashkësi e të gjitha vlerave të tilla vetjake.