Teorema e vlerës mesatare

Në matematikë, teorema e vlerës mesatare (ose teorema e Lagranzhit ) thotë, përafërsisht, se për një hark të caktuar planar midis dy pikave, ekziston të paktën një pikë në të cilën tangjentja me harkun është paralele me sekantin përmes pikave fundore të tij. Është një nga rezultatet më të rëndësishme në analizën reale . Kjo teoremë përdoret për të vërtetuar pohime për një funksion në një interval duke u nisur nga hipotezat vendore për derivatet në pikat e intervalit.

Për çdo funksion që është aktiv i vazhdueshëm $[a,b]$ dhe i diferencueshëm në $(a,b)$ ka të paktën një vlerë $c$ në intervalin $(a,b)$ të tillë që sekanti që bashkon pikat fundore të intervalit $[a,b]$ është paralel me tangjenten në $c$ .

Më saktësisht, teorema thotë se nëse $f$ është një funksion i vazhdueshëm në intervalin e mbyllur $[a,b]$ dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur $(a,b)$, atëherë ekziston një pikë $c$ në $(a,b)$ të tillë që tangjentja në $c$ është paralel me vijën sekante nëpër pikat fundore ${\big (}a,f(a){\big )}$ dhe ${\big (}b,f(b){\big )}$, kjo eshte,

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Deklaratë zyrtare

Funksioni $f$ arrin pjerrësinë e sekantit ndërmjet $a$ dhe $b$ si derivat në pikë $\xi \in (a,b)$ .

Është gjithashtu e mundur që të ketë tangjente të shumta paralele me sekantin.

Le $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ të jetë një funksion i vazhdueshëm në intervalin e mbyllur $[a,b]$, dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur $(a,b)$, ku $a<b$. Pastaj ka disa $c$ në $(a,b)$ sikurse

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Teorema e vlerës mesatare është një përgjithësim i teoremës së Rolle-s, e cila supozon $f(a)=f(b)$, në mënyrë që ana e djathtë sipër të jetë zero.

Teorema e vlerës mesatare është ende e vlefshme në një mjedis pak më të përgjithshëm. Duhet vetëm të supozohet se $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ është i vazhdueshëm në $[a,b]$, dhe atë për çdo $x$ në $(a,b)$ limiti

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

ekziston si numër i fundëm ose i barabartë $\infty$ ose $-\infty$ . Nëse është i kufizuar, ai kufi është i barabartë $f'(x)$ . Një shembull ku zbatohet ky version i teoremës jepet nga hartëzimi i funksionit të rrënjës së kubit me vlerë reale $x\mapsto x^{1/3}$, derivati i të cilit tenton në pafundësi pranë origjinës.

Teorema, siç u tha, është e rreme nëse një funksion i diferencueshëm është me vlera komplekse në vend të vlerave reale. Për shembull, përcaktoni $f(x)=e^{xi}$ për te gjitha $x$. reale. Atëherë

$f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)$

derisa $f'(x)\neq 0$ për çdo $x$. real.

Implikimet

Teorema 1: Supozojmë se $f$ është një funksion i vazhdueshëm, me vlera reale, i përcaktuar në një interval arbitrar $l$ të vijës reale. Nëse derivati i $f$ në çdo pikë të brendshme të intervalit $l$ ekziston dhe është zero, atëherë $f$ është konstante në brendësi të intervalit.

Teorema 2: Nëse $f'(x)=g'(x)$ për të gjitha $x$ në një interval $(a,b)$ të fushës së këtyre funksioneve, atëherë $f-g$ është konstante, dmth $f=g+c$ ku $c$ është a konstante në $(a,b)$.

Vërtetim: Le të jetë $F=f-g$, atëherë $F'=f'-g'=0$ në intervalin ( a, b ), kështu që teorema e mësipërme 1 tregon se $F=f-g$ është një konstante c ose $f=g+c$.

Teorema 3: Nëse $F$ është një integral i pacaktuar i $f$ në një interval $l$, atëherë integrali i pacaktuar më i përgjithshëm i $f$ në $l$ është $F(x)+c$ ku $c$ është një konstante.

Teorema e vlerës mesatare të Koshisë

Teorema e vlerës mesatare të Koshisë, e njohur gjithashtu si teorema e vlerës mesatare të zgjeruar, është një përgjithësim i teoremës së vlerës mesatare. Ai thotë: nëse funksionet $f$ dhe $g$ janë të dyja të vazhdueshme në intervalin e mbyllur $[a,b]$ dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur $(a,b)$, atëherë ka disa $c\in (a,b)$, të tilla që

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Koshisë

$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).$

Sigurisht, nëse $g(a)\neq g(b)$ dhe $g'(c)\neq 0$, kjo është e barabartë me:

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.$

Gjeometrikisht, kjo do të thotë se ka një tangjente në grafikun e kurbës

${\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}$

e cila është paralele me drejtëzën e përcaktuar nga pikat $(f(a),g(a))$ dhe $(f(b),g(b))$ . Megjithatë, teorema e Koshiut nuk pretendon ekzistencën e një tangjenteje të tillë në të gjitha rastet kur $(f(a),g(a))$ dhe $(f(b),g(b))$ janë pika të dallueshme, pasi mund të kënaqet vetëm për ndonjë vlerë $c$ me $f'(c)=g'(c)=0$, me fjalë të tjera një vlerë për të cilën kurba e përmendur është e palëvizshme ; në pika të tilla nuk ka gjasa të përcaktohet fare tangjenti i kurbës. Një shembull i kësaj situate është kurba e dhënë nga

$t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),$

e cila në intervalin $[-1,1]$ shkon nga pika $(-1,0)$ te $(1,0)$, megjithatë kurrë nuk ka një tangjente horizontale; megjithatë ajo ka një pikë të palëvizshme (në fakt një kulm ) në $t=0$ .

Teoremat e vlerës mesatare për integrale të përcaktuara

Teorema e parë e vlerës mesatare për integrale të përcaktuara

Gjeometrikisht: duke interpretuar $f(c)$ si lartësinë e një drejtkëndëshi dhe $b-a$ si gjerësi, ky drejtkëndësh ka të njëjtën sipërfaqe me rajonin poshtë kurbës nga a në b

Le të $f:[a,b]\to {\boldsymbol {R}}$ të jetë një funksion i vazhdueshëm. Atëherë ekziston c në $(a,b)$ e tillë që

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).$

Meqenëse vlera mesatare e $f$ në $[a,b]$ përcaktohet si

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

ne mund ta interpretojmë përfundimin pasi $f$ e arrin vlerën e saj mesatare në disa c në $(a,b)$.

Në përgjithësi, nëse $f:[a,b]\to {\boldsymbol {R}}$ është i vazhdueshëm dhe $g$ është një funksion i integrueshëm që nuk ndryshon shenjën në $[a,b]$, atëherë ekziston c në $(a,b)$ i tillë që

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Një analog probabilist i teoremës së vlerës mesatare

Le të jenë $X$ dhe $Y$ ndryshore të rastit jo negative të tilla që ${\boldsymbol {E}}[X]<{\boldsymbol {E}}[Y]<\infty$ dhe $X\leq _{st}Y$ (dmth $X$ është më i vogël se $Y$ në rendin e zakonshëm stokastik ). Pastaj ekziston një ndryshore e rastësishme absolutisht e vazhdueshme jo-negative $Z$ që ka funksion të densitetit të probabilitetit

$f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.$

Le të jetë $g$ një funksion i matshëm dhe i diferencueshëm i tillë që $E[g(X)],E[g(Y)]<\infty$, dhe le të jetë derivati i tij $g$′ i matshëm dhe i integrueshëm nga Riemann në intervalin $[x,y]$ për të gjithë $y\geq x\geq 0$. Atëherë, $\operatorname {E} [g(Z)]$ është e fundme dhe

${\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].$

Teorema e vlerës mesatare në ndryshore komplekse

Siç u përmend më lart, teorema nuk vlen për funksionet e diferencueshme me vlera komplekse. Në vend të kësaj, një përgjithësim i teoremës është deklaruar i tillë:

Le të $f:\Omega \to {\boldsymbol {C}}$ të jetë një funksion holomorfik në bashkësinë e hapur konveks Ω, dhe le të jenë a dhe b pika të dallueshme në Ω. Atëherë ekzistojnë pika u, v në brendësi të segmentit të drejtëzës nga a në b të tilla që

$\operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),$

$\operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).$