Teorema themelore e algjebrës

Teorema themelore e algjebrës, e quajtur edhe teorema e Dalamberit ose teorema d'Alembert–Gauss, thotë se çdo polinom jo- konstant me një ndryshore me koeficientë kompleksë ka të paktën një rrënjë komplekse. Këtu përfshihen polinomet me koeficientë realë, pasi çdo numër real është një numër kompleks me pjesën e tij imagjinare të barabartë me zero.

Në mënyrë të njëvlershme (sipas përkufizimit), teorema thotë se fusha e numrave kompleksë është e mbyllur algjebrikisht .

Teorema shprehet gjithashtu si më poshtë: çdo polinom jozero, me një ndryshore, me shkallë n me koeficientë kompleksë ka, të numëruar me shumësi, saktësisht n rrënjë komplekse. Njëvlershmëria e dy pohimeve mund të vërtetohet nëpërmjet përdorimit të pjestimeve polinomale të njëpasnjëshme.

Pavarësisht nga emri i saj, ajo nuk është themelore për algjebrën moderne ; u emërua kur algjebra ishte sinonim i teorisë së ekuacioneve .

Pohime të njëvlershme

Ekzistojnë disa formulime të njëvlershme të teoremës:

• Çdo polinom me një ndryshore i shkallës pozitive me koeficientë realë ka të paktën një rrënjë komplekse.
• Çdo polinom me një ndryshore i shkallës pozitive me koeficientë kompleksë ka të paktën një rrënjë komplekse.

  Kjo nënkupton menjëherë pohimin e mëparshëm, pasi numrat realë janë gjithashtu numra kompleksë. E anasjellta rezulton nga fakti se fitohet një polinom me koeficientë realë duke marrë prodhimin e një polinomi dhe të konjuguarit të tij kompleks (i marrë duke zëvendësuar çdo koeficient me të konjuguarin e tij kompleks). Një rrënjë e këtij prodhimi është ose një rrënjë e polinomit të dhënë, ose e të konjuguarit të tij; në rastin e fundit, konjugati i kësaj rrënjë është një rrënjë e polinomit të dhënë.

• Çdo polinom me një ndryshore i shkallës pozitive n me koeficientë kompleks mund të faktorizohet si $$c(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),$$ ku $c,r_{1},\ldots ,r_{n}$ janë numra kompleksë.

  Numrat n $r_{1},\ldots ,r_{n}$ janë rrënjët e polinomit. Nëse një rrënjë shfaqet në disa faktorë, ajo është një rrënjë e shumëfishtë dhe numri i shfaqjeve të saj është, sipas përkufizimit, shumësia e rrënjës.

  Vërtetimi se ky pohim rezulton nga ato të mëparshmet bëhet me rekursion në n : kur një rrënjë $r_{1}$ është gjetur, pjesëtimi polinomial me $x-r_{1}$ jep një polinom të shkallës $n-1$ rrënjët e të cilit janë rrënjët e tjera të polinomit të dhënë.