Koeficienti

Në matematikë, një koeficient është një faktor shumëzues i përfshirë në një term të një polinomi, një serie ose çdo lloj shprehjeje tjetër. Mund të jetë një numër pa njësi, me ç'rast njihet si faktor numerik . Mund të jetë gjithashtu një konstante me njësi matëse, në të cilën njihet si shumëzues konstant . Në përgjithësi, koeficientët mund të jenë çdo shprehje (duke përfshirë ndryshoret si a, b dhe c ). Kur kombinimi i variablave dhe konstanteve nuk përfshihet domosdoshmërisht në një prodhim, ai mund të quhet një parametër . Për shembull, polinomi $2x^{2}-x+3$ ka koeficientët 2, −1 dhe 3, dhe fuqitë e ndryshores $x$ në polinom $ax^{2}+bx+c$ kanë parametra koeficienti $a$, $b$, dhe $c$ .

Një koeficient konstant , i njohur gjithashtu si term konstant ose thjesht konstante, është një madhësi ose e lidhur në mënyrë të heshtur me fuqinë zero të një ndryshoreje ose jo e bashkangjitur me ndryshore të tjera në një shprehje; për shembull, koeficientët konstante të shprehjeve të mësipërme janë numri 3 dhe parametri c, i përfshirë në 3 = c ⋅ x ⁰ . Koeficienti i bashkangjitur në shkallën më të lartë të ndryshores në një polinom të një ndryshore quhet koeficienti kryesor ; për shembull, në shprehjet e shembullit të mësipërm, koeficientët kryesorë janë përkatësisht 2 dhe a .

Terminologjia dhe përkufizimi

Në matematikë, një koeficient është një faktor shumëzues në disa terma të një polinomi, një serie ose ndonjë shprehjeje . Për shembull, në polinomin $$7x^{2}-3xy+1.5+y,$$ me ndryshore $x$ dhe $y$, dy termat e parë kanë koeficientët 7 dhe −3. Termi i tretë 1.5 është koeficienti konstant. Në termin përfundimtar, koeficienti është 1 dhe nuk shkruhet në mënyrë të qartë.

Çdo polinom në një ndryshore të vetme x mund të shkruhet si $$a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}$$ për disa numra të plotë jonegativ $k$, ku $a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}$ janë koeficientët. Kjo përfshin mundësinë që disa terma të kenë koeficientin 0; për shembull, në $x^{3}-2x+1$, koeficienti i $x^{2}$ është 0, dhe termi $0x^{2}$ nuk shfaqet në mënyrë eksplicite. Për më të mëdhenjtë $i$ të tilla që $a_{i}\neq 0$ (nëse ka), $a_{i}$ quhet koeficient prijës i polinomit. Për shembull, koeficienti kryesor i polinomit $$4x^{5}+x^{3}+2x^{2}$$ eshte 4.

Algjebër lineare

Në algjebër lineare, një sistem ekuacionesh lineare shpesh përfaqësohet nga matrica e koeficientëve të tij. Për shembull, sistemi i ekuacioneve $${\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},$$ matrica e koeficientëve të lidhur është ${\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.$ Matricat e koeficientëve përdoren në algoritme të tilla si eliminimi Gaussian dhe rregulli i Cramer-it për të gjetur zgjidhje për sistemin.

Hyrja kryesore (nganjëherë koeficienti kryesor ) i një rreshti në një matricë është hyrja e parë jozero në atë rresht. Kështu, për shembull, në matricë $${\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},$$ koeficienti kryesor i rreshtit të parë është 1; ajo e rreshtit të dytë është 2; ai i rreshtit të tretë është 4, ndërsa rreshti i fundit nuk ka koeficient kryesor.