Sistemi koordinativ
Sistemi koordinativ me vektorin

Vektorët janë madhësi që karakterizohen me një numër skalar, me drejtimin dhe me kahun e caktuar. Madhësitë si gjatësia, syprina, vëllimi, pesha, masa, temperatura, dendësia, puna, energjia etj. karakterizohen vetëm me numër (i cili shprehë raportin ndërmjet madhësisë dhe njësisë për matjen e saj).

Mirëpo, ekzistojnë edhe madhësi të tjera, si për shembull, forca, shpejtësia, nxitimi, translacioni, rotacioni etj., të cilat përveç numrit karakterizohen edhe me drejtimin dhe kahun. Madhësitë që karakterizohen vetëm me numër quhen madhësi skalare ose skalarë, ndërsa madhësitë që karakterizohen me numër, me drejtim dhe me kahun quhen madhësi vektoriale ose vektorë. Gjeometrikisht çdo madhësi vektoriale mund të paraqitet me një segment të orientuar i cili ka gjatësinë, drejtimin dhe pikën e fillimit (origjinën) të caktuar. Vija e drejtë tregon drejtimin e vektorit, gjatësia e vijës tregon vlerën ose intensitetin , maja e shigjetës tregon kahun, ndërsa pika a tregon pikën e zbatimit.

Segmenti i orientuar zakonisht përkufizohet si segmenti skajet e të cilit merren si dyshe e renditur të pikave dhe quhet segment i orientuar dhe shënohet me .[1] Madhësitë vektoriale paraqiten me një shigjetë mbi shkronjën përkatëse ose duke e theksuar më shumë madhësinë vektoriale.

Madhësitë skalare dhe vektorialeRedakto

Në përgjithësi, në mesin e madhësive, në rend të parë dallojmë ato madhësi të cilat janë të përcaktuara vetëm me vlerë numerike të tyre, me fjalë tjera, madhësi të cilat përcaktohen me një real, i cili paraqet marrëdhënien e një madhësie të tillë ndaj njësisë së zgjedhur.

Madhësitë papërcaktuara me një numër real (me numrin e tyre matës në lidhje me njësinë e zgjedhur) quhen madhësi skalare ose shkurt skalarë. Skalarët paraqiten në boshtin numerik me pika përkatëse dhe krahasohen ndërmjet vete duke krahasuar vlerat numerike të tyre. Dy skalarë janë të barabartë në qoftë se, në lidhje me njësinë e njëjtë, kanë vlera të njëjta numerike d.m.th., në qoftë se numrat matës të tyre janë të barabartë.

Vektorë të kundërtRedakto

Vektorët simbolikisht shënohen me  ,  , etj. Le të jetë   një segment i dhënë me gjatësi  , atëherë dihet se vektori   mund të paraqitet si një segment i orientuar në të cilin dallojmë pikën e fillimit   dhe pikën e mbarimit  . Vektorët   dhe   kanë kahun e kundërt dhe quhen vektorë të kundërt edhe nëse drejtimin dhe intensitetetin e kanë njejtë.

Zero vektorRedakto

Drejtëza e përcaktuar nga pikat   dhe   quhen bartës i vektorit   dhe shënohet  . Vektori tek i cili pika e fillimit përputhet me pikën e mbarimit quhet zero vektor, ky vektor ka gjatësinë e barabartë më zero dhe shenohet me  .

Vektorë njësieRedakto

Vektori me gjatësi 1 quhet vektor njësie ose ort. Dy vektorë janë të barabartë në qoftë se kanë drejtim në njëjtë, kahe të njëjta dhe vlera numerike të barabarta. Në qoftë se së paku njëea nga këto tri veti nuk plotësohet, atëherë themi se vektorët nuk janë të barabartë.

Radius vektorëRedakto

Vektorët me fillim në një pikë të fiksuar të hapësirës quhen vektorë të lidhur për një pikë (radius vektorë). Për shembull ekuacioni

 

ku me   kemi shënuar vektorin me fillim në një pikë të dhënë  , ndërsa pika e mbarimit është çfarëdo pikë  , paraqet bashkësinë e të gjitha pikave   me largësi nga pika  , të barabartë me 1; në rrafsh bashkësia e këtyre pikave paraqet rreth, ndërsa në hapësirë sferë. Prandaj

 

do të jetë ekuacioni i rrethit njësi, respektivisht ekuacioni i sferës njësi.

Vektorë kolinearëRedakto

Të gjithë vektorët të cilët shtrihën në një drejtëz të njëjtë quhen vektorë të lidhur për drejtëz ose vektorë kolinearë. Vektorët të cilët janë të lidhur për drejtëz të njëjtë, në qoftë se kanë intensitetin e barabartë, dhe kahe të njëjta, atëherë ata do të jenë të barabartë. Vektorët e një drejtëze të barabartë me vektorin   në drejtëz ë njëjtë formojnë një klasë ekuivalence, ndërsa vektori   quhet i lirë. Në veçanti, vektorët në boshtin numerik kanë kahe të njëjta me kahe të boshtit ose të kundërt me të.

Vlera algjebrike   e vektorit  , në boshtë të dhënë, është numri real   ose   varësisht nga fakti se a ka kahe të njëjta vektori   me boshtin numerik apo kahe të kundërta me të

 

ose

 

Vlera algjebrike e zero-vektori, d.m.th. e vektorit me intensitet zero është  . Le të jetë   një vektor i dhënë, atëherë vektorin - njësi me drejtim të njëjtë dhe kahe të njëjta sikurse vektori   e shënojmë ort   (ose, bie fjala,  ), prandaj për çfarëdo vektori   të ndryshëm nga zero - vektori, do të jetë:

 

ose

 

respektivisht

 

Vektor-njësie i boshtitRedakto

Drejtëza e orientuar ose boshti, siç dihet është i caktuar me drejtimin dhe kahun e vet e kjo do të thotë se është i caktuar me çfarëdo vektori të vet me kahe të njëjta. Zakonisht, për vektor të tillë në drejtëz mirret vektor-njësie i cili atëherë quhet vektor-njësie i boshtit ose ort i boshtit.

Në boshtin 1 (Figura lartë) le të jetë vektorët   dhe   me vektornjësinë  . Vektori   ka kahe të njëjta me boshtin   (d.m.th. kahe pozitive), ndërsa vektori   me kahe të kundërt, atëherë duke pasur parasysh relacionin   do të jetë:

 

dhe

 

Meqë vlerat algjebrike të këtyre vektorëve në boshtin   janë:

 

dhe

 

do të kemi

 

dhe

 

Në përgjithësi, në qoftë se me   shënojmë vlerën allgjebrike të vekorit   në boshtin   atëherë do të jetë:

 


Shembull: Le të jenë dhënë vektorët   dhe   në boshtin  

Qartëzi shihet se numri   është vlera algjebrike e vektorit   në boshtin  , ndërsa numri   do të jetë vlera algjebrike e vektorit   në boshtin të njëjtë.

Le të jetë në boshtin   i dhënë një vektor-njësie   me pikën e fillimit  

Vektor-poziteRedakto

Çdo pikë   e boshtit   është përcaktuar me vektorin   i cili quhet vektor-pozite i pikës   ndaj pikës  . Vlera algjebrike e vektorit   është abshisa   e pikës  ; në qoftë se kahu i vektorit   është i njëjtë me kahun e boshtit   atëherë   është numër real pozitiv, respektivisht, në qoftë se kahu i vektorit  është i kundërt me kahun e boshtit   atëherë   do të jetë numër real negativ. Në këtë mënyrë çdo pike   në boshtin   i përgjigjet vetëm një vektor   respektivisht vetëm një numër real   (vlera algjebrike e vektorit  ). Pikës   i përgjigjet zero-vektori respektivisht numri zero. Anasjelltas, çdo numri real   i përgjigjet në boshtin   vetëm një pikë   e tillë që të jetë

 

respektivisht

 

Numrit zero i përgjegjet pika  .

Le të jenë dhënë dy vektorë   dhe  . Në qoftë se ekziston numri real   i tillë që të plotësohet barazimi

 

atëherë vektorët   dhe   janë linearisht të varur ose kolinear. Në qoftë se numri   nuk ekziston atëherë vektorët   dhe   janë linearisht të pavarur ose jokolinear. Në qoftë se   është zero-vektor, atëherë  , prandaj është kolinear me çdo vektor  . Gjithmonë mund të zgjedhen   dhe   të tilla që të jetë

 

prandaj nga   rrjedh

 


Shembull: Le të jenë vektorët   dhe   linearisht të varur e po ashtu ndërmjet veti edhe ektorët   dhe  . Të tregohet se janë linearisht të varur edhe vektorët   dhe  .

Zgjidhje: Nga hipoteza se vektorët   dhe   janë linearisht të varur rrjedh se ekzistojnë numrat realë   dhe   (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nga zero) të tillë që të jetë:

 

Nga ana tjetër gjithashtu supozohet se vektorët   dhe   janë linearisht të varur, prandaj ekzistojnë gjithashtu numrat realë   dhe   (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nga zero) të tillë që të jetë:

 

Në qoftë se  , atëherë   prandaj nga   rrjedh se  , prandaj vektorët   dhe   janë linearisht të varur. Në mënyrë analoge përfundojmë në qoftë se  . Supozojmë tash se   dhe  . Atëherë do të jetë:

 
 

respektivisht (në qoftë se i mbledhim tejpërtej të dy barazimet)

 

ku   që do të thotë se vektorët   dhe   janë linearicht të varur.

Këndi ndërmjet dy vektorëveRedakto

Kënd i orientuarRedakto

Le të jenë vektorët   dhe   të tillë që   dhe   me pikë   të përbashkët. Le të jetë   vektori i parë, ndërsa   vektori i dytë, d.m.th. çifti i vektorëve është çifti i renditur.

Kënd ndërmjet vektorëve   dhe   është ai kënd për të cilin duhet rrotulluar vektorin e parë  , në rrafsh, të cilin e përcaktojnë vektorët   dhe  , rreth pikës 0, në mënyrë që drejtimi dhe kahu i tij të përputhen me drejtimin dhe kahun e vektorit  .

Është e qartë se rrotullimi i vektorit mund të bëhet në dy kahe: Në kahun i cili është i kundërt me kahun e rrotullimit ë akrepave të orës ose në kahun e rrotullimit të tyre. Rrotllimi i parë mirret (sipas marrëveshjes) si pozitiv, ndërsa ai i dyte negativ. Në këtë mënyrë fitohet këndi pozitiv, respektivisht negativ dhe quhet kënd i orientuar.

Thuhet se vektori   në rast të parë përshkruan këndin pozitiv, ndërsa në rastin e dytë kënd negativ. Simbolikisht shënohet   ose   e shpesherë edhe shkurt vetëm   ose  .

Në qoftë se vektori   rrotullohet, siç e përshkruam në sipër, pasi të përshkruajë këndin   respektivisht   atëherë me drejtim dhe kahe përputhet me vektorin  . Në të dy rastet vektori   mund të rrotullohet edhe më tutje deri sa të përputhet prapë me vektorin  , atëherë këndi të cilin e përshkruan ai është e qartë se do të jetë   respektivisht  . Një mënyrë e tille e rrotullimi e vektorit   mund të vazhdojë pa kufi. Pra, do të fitohen këndet

 

ku   është bashkësia e të gjithë numrave të plotë.

Pra, qartas po shihet se  , respektivisht   nuk është plotësisht i caktuar derisa nuk tregohet kahu u rrotullimit dhe numri i rrotullimeve të plota.

Gjithë atë që e cekëm në lidhje me këndin ndërmjet vektorëve   dhe   respektivisht këndin ndërmjet vektorëve   dhe   mund të thuhet edhe për këndin ndërmjet vektorëve   dhe  , respektivisht vektorëve   dhe   d.m.th. për   respektivisht  .

 

dhe

 

atëherë

Fizika

 

ku

 

Burimi i të dhënaveRedakto

  1. ^ Ismet Dehiri: Matematika I dhe II. Prishtinë, 1979