Lemniskata e Bernulit

Në gjeometri, lemniskata e Bernulit është një kurbë e rrafshët e përcaktuar nga dy pika të dhëna F₁ dhe F₂, të njohura si vatra, në largësi 2c nga njëra tjetra si vendndodhja e pikave P të tilla që PF₁·PF₂ = c² . Kurba ka një formë të ngjashme me numrin 8 dhe me simbolin ∞ . Emri i saj vjen nga lemniscatus, që latinisht do të thotë "të zbukuruar me shirita të varur". Është një rast i veçantë i ovalit Cassini dhe është një kurbë racionale algjebrike e shkallës 4.

Një lemniskatë e Bernulit dhe dy vatrat e tij $F_{1}$ dhe $F_{2}$

Lemniskata e Bernulit është kurba e pedalit të një hiperbole drejtkëndore

Spiralet sinusoidale $r^{n}=-1^{n}\cos(n\theta ),\theta =\pi /2$ në koordinata polare dhe të njëvlershmet në koordinata drejtkëndore

Kjp lemniskatë u përshkrua për herë të parë në 1694 nga Jakob Bernoulli si një modifikim i një elipsi, i cili është vendndodhja e pikave për të cilat shuma e largësive në secilën prej dy pikave vatrore fikse është një konstante . Një ovale Cassini, përkundrazi, është vendndodhja e pikave për të cilat prodhimi i këtyre largësive është konstant. Në rastin kur kurba kalon përmes pikës në mes të vatrave, ovali është një lemniskatë e Bernulit.

Ekuacionet

Ekuacionet mund të shprehen në terma të largësisë vatrore c ose gjysmës së gjerësisë a të një lemniskate. Këta parametra lidhen si $a=c{\sqrt {2}}$.

• Ekuacioni i saj kartezian është (deri në përkthim dhe rrotullim):

  ${\begin{aligned}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}&=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\\&=2c^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\end{aligned}}$

• Si një ekuacion parametrik :

  $x={\frac {a\cos t}{1+\sin ^{2}t}};\qquad y={\frac {a\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}}$

• Një parametrizim racional:

  $x=a{\frac {t+t^{3}}{1+t^{4}}};\qquad y=a{\frac {t-t^{3}}{1+t^{4}}}$

• Në koordinata polare :

  $r^{2}=a^{2}\cos 2\theta$

• Ekuacioni i saj në planin kompleks është:

  $|z-c||z+c|=c^{2}$

• Në koordinatat bipolare me dy qendra :

  $rr'=c^{2}$

• Në koordinatat racionale polare :

  $Q=2s-1$

Gjatësia e harkut dhe funksionet eliptike

Sinusi dhe kosinusi i leminiskatës lidhin gjatësinë e harkut të një harku të leminiskatës me largësinë e një pike fundore nga origjina.

Përcaktimi i gjatësisë së harkut të harqeve të leminiskatës çon në integrale eliptike, siç u zbulua në shekullin e XVIII. Rreth vitit 1800, funksionet eliptike që përmbysin ato integrale u studiuan nga CF Gauss (kryesisht i pabotuar në atë kohë, por aludime në shënimet e tij Disquisitiones Arithmeticae ).

Përdorimi i integralit eliptik

$\operatorname {arcsl} x{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}$

formula e gjatësisë së harkut L mund të jepet si

${\begin{aligned}L&=4{\sqrt {2}}\,c\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=4{\sqrt {2}}\,c\,\operatorname {arcsl} 1\\[6pt]&={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}\,c={\frac {2\pi }{\operatorname {M} (1,1/{\sqrt {2}})}}c\approx 7{.}416\cdot c\end{aligned}}$

ku $\Gamma$ është funksioni gama dhe $\operatorname {M}$ është mesatarja aritmetike-gjeometrike .

Këndet

Duke pasur parasysh dy pika të dallueshme ${\rm {A}}$ dhe ${\rm {B}}$, le të jetë ${\rm {M}}$ mesi i ${\rm {AB}}$ . Pastaj leminiskata e diametrit ${\rm {AB}}$ mund të përkufizohet edhe si bashkësia e pikave ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {M}}$, së bashku me vendndodhjen e pikave ${\rm {P}}$ sikurse $|{\widehat {\rm {APM}}}-{\widehat {\rm {BPM}}}|$ është një kënd i drejtë (krh. Teorema e Talesit dhe e anasjellta e saj).

lidhja ndërmjet këndeve në leminiskatën e Bernulit

Veti të tjera

Përmbysja e hiperbolës jep një leminiskatë

• Lemniskata është simetrike me vijën që lidh vatrat e saj F₁ dhe F₂ dhe gjithashtu me përgjysmuesin pingul të segmentit të drejtëzës F₁F₂.
• Lemniskata është simetrike me pikën e mesit të segmentit të drejtëzës F₁F₂.
• Zona e mbyllur nga lemniskata është a² = 2c².
• Lemniskata është e anasjellta rrethore e një hiperbole dhe anasjelltas.
• Dy tangjentet në pikën e mesit O janë pingul dhe secila prej tyre formon një kënd prej $\pi /4$ me linjën që lidh F₁ dhe F₂ .
• Kurbatura në $(x,y)$ është ${\frac {3}{a^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$. Kurbatura maksimale që arrihet në $(\pm a,0)$ është $3/a$.