Masa (matematikë)

Në matematikë, koncepti i masës është një përgjithësim dhe zyrtarizim i masave gjeometrike ( gjatësia, sipërfaqja, vëllimi ) dhe nocioneve të tjera të zakonshme, si magnituda, masa dhe probabiliteti i ngjarjeve. Këto koncepte në dukje të dallueshme kanë shumë ngjashmëri dhe shpesh mund të trajtohen së bashku në një kontekst të vetëm matematik. Masat janë themelore në teorinë e probabilitetit, teorinë e integrimit, dhe mund të përgjithësohen për të supozuar vlera negative, si me ngarkesën elektrike . Përgjithësimet e gjera (të tilla si masat spektrale dhe masat me vlerë projeksioni ) të matjeve përdoren gjerësisht në fizikën kuantike dhe fizikë në përgjithësi.

Joformalisht, një masë ka vetinë të jetë monotone në kuptimin që nëse $A$ është një nënbashkësi e $B,$ masa e $A$ është më e vogël ose e barabartë me masën e $B.$ Për më tepër, masa e bashkësisë boshe kërkohet të jetë 0. Një shembull i thjeshtë është një vëllim (sa i madh një objekt zë një hapësirë) si masë.

Intuita pas këtij koncepti daton në Greqinë e lashtë, kur Arkimedi u përpoq të llogariste sipërfaqen e një rrethi . Por vetëm nga fundi i shekullit të 19-të dhe fillimi i shekullit të 20-të, teoria e matjeve u bë një degë e matematikës. Themelet e teorisë moderne të masës u hodhën në veprat e Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory dhe Maurice Fréchet, ndër të tjera.

E ç'është masa në matematikë?

Mbledhja e numërueshme e një mase $\mu$ : Masa e një bashkimi disjunktiv të numërueshëm është e njëjtë me shumën e të gjitha masave të çdo nënbashkësie.

Le $X$ të jetë një bashkësi dhe $\Sigma$ a $\sigma$ -algjebër mbi $X.$ Një funksion bashkësie $\mu$ nga $\Sigma$ për boshtin e zgjeruar të numrave realë quhet masë nëse ekzistojnë kushtet e mëposhtme:

• Jo-negativiteti : Për të gjithë $E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.$
• $\mu (\varnothing )=0.$
• Mbledhja e numërueshme (ose σ-Aditiviteti ): Për të gjitha koleksionet e numërueshme $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ të bashkësive disjunktive në çift në Σ, $$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$$

Nëse të paktën një bashkësi $E$ ka masë të fundme, atëherë kërkesa $\mu (\varnothing )=0$ plotësohet automatikisht për shkak të mbledhjes së numërueshme: $$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$$ dhe prandaj $\mu (\varnothing )=0.$

Nëse bie kushti i jonegativitetit, dhe $\mu$ merr më së shumti një nga vlerat e $\pm \infty ,$ pastaj $\mu$ quhet masë me shenjë .

Çifti $(X,\Sigma )$ quhet hapësirë e matshme, dhe anëtarët e $\Sigma$ quhen bashkësi të matshme .

Një treshe $(X,\Sigma ,\mu )$ quhet hapësirë e masës . Një masë probabiliteti është një masë me masën totale një - domethënë, $\mu (X)=1.$ Një hapësirë probabiliteti është një hapësirë matëse me një masë probabiliteti.

Instancat

Këtu janë renditur disa masa të rëndësishme.

• Masa e numërimit përcaktohet nga $\mu (S)$ = numri i elementeve në $S.$
• Masa e Lebegut në $\mathbb {R}$ është një masë e plotë e përkthimit të pandryshueshme në një σ -algjebër që përmban intervalet in $\mathbb {R}$ të tilla që $\mu ([0,1])=1$ ; dhe çdo masë tjetër me këto veti e shtrin masën e Lebegut.
• Masa e këndit rrethor është e pandryshueshme nën rrotullim, dhe masa e këndit hiperbolik është e pandryshueshme në hartën e shtrydhjes .
• Masa Haar për një grup topologjik lokalisht kompakt është një përgjithësim i masës së Lebegut (dhe gjithashtu i masës së numërimit dhe masës së këndit rrethor) dhe ka veti të ngjashme unike.
• Çdo (pseudo) shumëfish Riemannian $(M,g)$ ka një masë kanonike $\mu _{g}$ që në koordinatat vendore $x_{1},\ldots ,x_{n}$ duket si ${\sqrt {|\det g|}}d^{n}x$ ku $d^{n}x$ është masa e zakonshme e Lebegut.
• Masa e Hausdorffit është një përgjithësim i masës së Lebegut në bashkësi me dimension jo të plotë, në veçanti bashkësi fraktale.
• Çdo hapësirë probabiliteti krijon një masë që merr vlerën 1 në të gjithë hapësirën (dhe për rrjedhojë merr të gjitha vlerat e saj në intervalin e njësisë [0, 1]). Një masë e tillë quhet masë ose shpërndarje probabiliteti . Shihni listën e shpërndarjeve të probabilitetit për shembuj.
• Masa e Dirakut δ_a (krh. Funksioni delta e Dirakut ) jepet nga δ_a( S ) = χ_S(a), ku χ_S është funksioni tregues i $S.$ Masa e një grupi është 1 nëse përmban pikën $a$ dhe 0 ndryshe.