Këndi

Në gjeometrinë e rrafshit, një kënd është figura e formuar nga dy rreze, të quajtura anët e këndit, që ndajnë një pikë fundore të përbashkët, të quajtur kulmi i këndit. ^[1] Këndet e formuara nga dy rreze shtrihen në një plan, por ky plan nuk ka pse të jetë një plan Euklidian . Këndet janë formuar edhe nga kryqëzimi i dy planeve në Euklidian dhe hapësirat e tjera . Këto quhen kënde diellore . Këndet e formuara nga kryqëzimi i dy kthesave në një plan përcaktohen si këndi i përcaktuar nga rrezet tangjent në pikën e kryqëzimit. Deklarata të ngjashme mbajnë në hapësirë, për shembull, këndi sferik i formuar nga dy qarqe të shkëlqyera në një sferë është këndi diellor midis planeve të përcaktuar nga qarqet e mëdha.

Këndi përdoret gjithashtu për të caktuar masën e një këndi ose të një rrotullimi . Kjo masë është raporti i gjatësisë së një harku rrethor me rrezen e tij. Në rastin e një këndi gjeometrik, harku është i përqendruar në kulm dhe del i kufizuar nga palët. Në rastin e një rrotullimi, harku është përqendruar në qendër të rrotullimit dhe kufizohet nga çdo pikë tjetër dhe imazhi i tij nga rotacioni.

Këndi i fjalës vjen nga fjala latine angulus, që do të thotë "qoshe"; fjalët e tjera të ngjajshme janë greqisht ἀγκύλος (ankylos), që do të thotë "i shtrembër, i lakuar" dhe fjala angleze " kyçi i këmbës ". Të dy janë të lidhur me rrënjën Proto-Indo-Evropiane * ank-, që do të thotë "të përkulesh" ose "hark". ^[2]

Euklidi përcakton një kënd të rrafshit si prirje ndaj njëri-tjetrit, në një aeroplan, të dy linjave që takohen me njëra-tjetrën dhe nuk qëndrojnë drejt në lidhje me njëri-tjetrin. Sipas Proclus një kënd duhet të jetë ose një cilësi ose një sasi, ose një marrëdhënie. Koncepti i parë u përdor nga Eudemus, i cili e konsideronte një kënd si një devijim nga një vijë e drejtë ; i dyti nga Carpus i Antiokisë, i cili e vlerësoi atë si intervalin ose hapësirën midis vijave kryqëzuese; Euklidi adoptoi konceptin e tretë, megjithëse përkufizimet e tij për kënde të drejta, akute dhe të trashë janë sigurisht sasiore. ^[3]

Llojet e këndeve

Këndet individuale

Një kënd i barabartë me 0 ° ose jo i kthyer quhet kënd zero.
Këndet më të vogla se një kënd i drejtë (më pak se 90 °) quhen kende te ngushta ose kënde akute ("akute" që do të thotë "të mprehta").
Një kënd e barabartë me 1 ana (90 ° ose π / 2 radian) është quajtur një kënd të drejtë . Dy brinje që formojnë një kënd të drejtë thuhet se janë normale, ortogonale ose pingul .
Këndet më të mëdha se një kënd i drejtë dhe më të vogël se një kënd i drejtë (ndërmjet 90 ° dhe 180 °) quhen kende te gjera ose kënde të mbytura ("marrje" që do të thotë "i hapur").
Një kënd të barabartë tek 1 ana (180 ° ose radianë π quhet një kënd të drejtë.
Këndet më të mëdha se një kënd i drejtë, por më pak se 1 kthesë (midis 180 ° dhe 360 °) quhen kënde refleksiv .
Një kënd i barabartë me 1 kthesë (360 ° ose 2 π radianë) quhet një kënd i plotë, kënd i plotë, kënd i rrumbullakët ose një perigon .
Këndet që nuk janë kënde të drejta ose shumëfish i një këndi të drejtë quhen kënde të zhdrejta .

Emrat, intervalet dhe njësitë e matura tregohen në një tabelë më poshtë:

Kënd i drejtë

Këndet e mprehta (a), pa majë (b), dhe të drejta (c) Këndet akute dhe pa majë njihen gjithashtu si kënde të zhdrejta.

Kënd refleks

njësitë	intervalet
emër	zero	i mprehtë	kënd i drejtë	pa majë	i drejt	refleks	perigon
të kthyer	0	(0, 1	1	1 1	1	1 1)	1
radian	0	(0, 1 π	1 π	1 π π	π	( π, 2 π )	2 π
Gradat	0 °	(0, 90) °	90 °	(90, 180) °	180 °	(180, 360) °	360 °
gons	0 ^g	(0, 100) ^g	100 ^g	(100, 200) ^g	200 ^g	(200, 400) ^g	400 ^g

Pairsiftet e këndit të ekuivalencës

Këndet që kanë të njëjtën masë (d.m.th. të njëjtën madhësi) thuhet se janë të barabarta ose kongruente . Një kënd përcaktohet nga masa e tij dhe nuk varet nga gjatësia e anëve të këndit (p.sh. të gjitha këndet e drejta janë të barabarta në masë).
Dy kënde që ndajnë anët e terminalit, por ndryshojnë në madhësi nga një numër i plotë i një kthesë, quhen kënde coterminale .
Një kënd referencë është versioni akut i çdo kënd të përcaktuar nga përsëritur zbritur ose shtuar kënd të drejtë 1 nga ana tjetër, 180 °, ose radian π të rezultateve si e nevojshme, deri në përmasat e rezultatit është një kënd akut, një vlerë midis 0 dhe 1 / 4 ana tjetër, 90 °, ose π / 2 radian. Për shembull, një kënd prej 30 gradë ka një kënd referimi 30 gradë, dhe një kënd prej 150 gradë gjithashtu ka një kënd të referencës prej 30 gradë (180-150). Një kënd prej 750 gradë ka një kënd të referencës prej 30 gradë (750–720). ^[4]

Pairsiftet vertikale dhe ato këndore ngjitur

Këndet A dhe B janë një palë kënde vertikale; këndet C dhe D janë një palë kënde vertikale.

Kur dy drejtëza kryqëzohen në një pikë, formohen katër kënde. Në këndvështrim, këto kënde emërtohen sipas vendndodhjes së tyre në lidhje me njëri-tjetrin.

Një palë kënde përballë njëra-tjetrës, të formuara nga dy drejtëza prerese që formojnë një formë "X", quhen kënde vertikale , kënde të kundërta , kende te kunderta ne kulm ose kënde vertikalisht të kundërta . Ato janë shkurtuar si vert. OPP. ∠s ose K.K.K ^[5]

Barazia e këndeve vertikalisht të kundërt quhet teorema e këndit vertikal . Eudemus i Rodos ia atribuoi provën Talesit të Miletit.^[6]^[7] Propozimi tregoi se meqenëse të dy palët e këndeve vertikale janë plotësuese të të dy këndeve ngjitur, këndet vertikale janë të barabarta në masë. Sipas një shënimi historik, ^[7] kur Talesi vizitoi Egjiptin, ai vëzhgoi se sa herë që egjiptianët vizatonin dy linja kryqëzuese, ata do të matnin këndet vertikale për t'u siguruar që të ishin të barabarta. Talesi arriti në përfundimin se mund të vërtetohet se të gjitha këndet vertikale janë të barabarta nëse dikush pranon disa nocione të përgjithshme siç janë: të gjitha këndet e drejta janë të barabarta, të barabartët e shtuar te barabartë janë të barabartë, dhe të barabartët që zbriten nga barazitë janë të barabarta.

Në figurë, supozoni masën e Këndit A = x . Kur dy kënde ngjitur formojnë një vijë të drejtë, ato janë plotësuese. Prandaj, masa e Këndit C = 180 - x . Në mënyrë të ngjashme, masa e Këndit D = 180 - x . Të dyja Këndet C dhe Këndi D kanë masa të barabarta me 180 - x dhe janë kongruentë. Meqenëse Këndi B është plotësues i të dy Këndeve C dhe D, secila nga këto masa këndore mund të përdoret për të përcaktuar masën e Këndit B. Duke përdorur masën e Këndit C ose Këndit D, gjejmë masën e Këndit B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Prandaj, të dyja Këndet A dhe Këndi B kanë masa të barabarta me x dhe janë të barabarta në masë.

Këndet A dhe B janë ngjitur.

Kënde ngjitur ose bashkembeshtetur, shpesh të shkurtuar si adj.∠s, Janë kënde që ndajnë një kulm dhe buzë të përbashkët, por nuk ndajnë asnjë pikë të brendshme. Me fjalë të tjera, ato janë kënde që janë krah për krah, ose ngjitur, që ndajnë një "krah". Këndet e afërta të cilat përmblidhen në një kënd të drejtë ose kënd të plotë janë të veçantë dhe përkatësisht quhen kënde komplementare, suplementare dhe eksplementare (shiko "Kombinoni çifte këndi" më poshtë).

Një transversal është një linjë që kryqëzon një palë linja (shpesh paralele) dhe shoqërohet me kënde të brendshme alternative, kënde korresponduese, kënde të brendshme dhe kënde të jashtme . ^[8]

Ekzistojnë tre çifte të veçanta këndi që përfshijnë mbledhjen e këndeve:

Këndet plotësuese a dhe b ( b është plotësues i a, dhe a është plotësues i b ).

Kënde plotësuese janë palë kënd masa e të cilave shuma në një kënd të drejtë 1 ana tjetër, 90 °, ose π / 2 radian). Nëse dy këndet plotësuese janë ngjitur anët e tyre jo të përbashkëta formojnë një kënd të drejtë. Në gjeometrinë Euklidiane, dy këndet akute në një trekëndësh të drejtë janë plotësuese, sepse shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është 180 gradë, dhe vetë këndi i duhur llogarit nëntëdhjetë gradë.

Mbiemri komplementar vjen nga latinishtja complementum, i shoqëruar me foljen plotësuese, "për të mbushur". Një kënd akut është "i mbushur" nga plotësimi i tij për të formuar një kënd të duhur.

Dallimi midis një këndi dhe një këndi të drejtë quhet komplementim i këndit. ^[9]

Nëse këndet A dhe B janë plotësuese, marrëdhëniet e mëposhtme mbajnë:

{\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}

( Tangjentja e një këndi është e barabartë me kolangjentin e plotësuesit të saj dhe sekondari i saj është i barabartë me kosecanin e plotësuesit të tij). )

Parashtesa " bashkë- " në emrat e disa raporteve trigonometrike i referohet fjalës "plotësuese".

Këndet a dhe b janë kënde plotësuese .

Dy kënde që shuma në një kënd të drejtë 1 nga ana e tij, 180 °, ose radian π quhen kënde shtuese.

Nëse dy këndet plotësuese janë ngjitur (d.m.th. kanë një kulm të përbashkët dhe ndajnë vetëm njërën anë), anët e tyre jo të përbashkëta formojnë një vijë të drejtë.^[10] Kënde të tilla quhen kënde lineare të këndeve . Sidoqoftë, këndet shtesë nuk duhet të jenë në të njëjtën linjë, dhe mund të ndahen në hapësirë. Për shembull, këndet ngjitur të një paralelogrami janë plotësues, dhe këndet e kundërta të një katërkëndëshi ciklik (ai që vertikalët e të cilit bien të gjithë në një rreth të vetëm) janë plotësuese.

Nëse një pikë P është e jashtme në një rreth me qendër O, dhe nëse linjat e tangjentës nga P prekin rrethin në pikat T dhe Q, atëherë ∠TPQ dhe ∠TOQ janë plotësuese.

Sinuset e këndeve plotësuese janë të barabarta. Kosinuset dhe tangjentet e tyre (përveç nëse të papërcaktuara) janë të barabarta në madhësi, por kanë shenja të kundërta.

Në gjeometrinë Euklidiane, çdo shumë e dy këndeve në një trekëndësh është plotësuese e tretë, sepse shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është një kënd i drejtë.

Shuma e dy këndeve plotësuese është një kënd i plotë .

Dy kënde që përmblidhen në një kënd të plotë (1 kthesë, 360 °, ose 2 π radianë ) quhen kënde plotësuese ose kënde konjugative .
Dallimi midis një këndi dhe një këndi të plotë quhet përmbarim i këndit ose konjugimit të një këndi.

Kënde që lidhen me shumekendeshin

Këndet e brendshme dhe të jashtme.

Një kënd që është pjesë e një poligoni të thjeshtë quhet një kënd i brendshëm nëse shtrihet në pjesën e brendshme të atij poligoni të thjeshtë. Një shumëkëndësh i thjeshtë konkave ka të paktën një kënd të brendshëm që është një kënd refleksi.
Në gjeometri Euklidiane, masat e këndeve të brendshëm të një trekëndëshi shtoni deri në radian π 180 °, ose 1 nga ana e tij; masat e këndet e brendshme të një të thjeshtë konveks katërkëndësh shtoni deri në 2 radian π 360 °, ose 1 nga ana e tij. Në përgjithësi, masat e këndeve të brendshme të një poligoni të thjeshtë konveks me anët n shtojnë deri në ( n - 2) π radians, ose 180 ( n - 2) gradë, (2 n - 4) kënde të drejta, ose ( n / 2 - 1) kthehet.
Suplementi i një kënd të brendshëm është quajtur një kënd jashtme, që është, një kënd i brendshëm dhe një kënd i jashtm i formuar si një palë lineare të këndeve. Ekzistojnë dy kënde të jashtme në secilën kulm të shumëkëndëshit, secila përcaktohet duke zgjatur njërën nga dy anët e poligonit që takohen në kulm; këto dy kënde janë kënde vertikale dhe kështu janë të barabarta. Një kënd i jashtëm mat sasinë e rrotullimit që duhet të bëjë në një kulm për të gjetur poligonin.^[11]Nëse këndi përkatës i brendshëm është një kënd refleksi, këndi i jashtëm duhet të konsiderohet negativ . Edhe në një shumëkëndësh jo të thjeshtë mund të jetë e mundur të përcaktohet këndi i jashtëm, por dikush do të duhet të zgjedhë një orientim të rrafshit (ose sipërfaqes ) për të vendosur shenjën e masës së këndit të jashtëm.
Në gjeometrinë Euklidiane, shuma e këndeve të jashtme të një poligoni të thjeshtë konveks do të jetë një kthesë e plotë (360 °). Këndi i jashtëm këtu mund të quhet një kënd shtesë i jashtëm . Këndet e jashtme zakonisht përdoren në programet Turtle Logo kur vizatoni poligone të rregullt.
Në një trekëndësh, bisektorët e dy këndeve të jashtëm dhe bisektori i këndit tjetër të brendshëm janë njëkohësisht (takohen në një pikë të vetme).^[12]^{:p. 149}
Në një trekëndësh, tre pika kryqëzimi, secila prej një bisektori këndi të jashtëm me anën e zgjatur të kundërt, janë kolinare .^{:p. 149}
Në një trekëndësh, tre pikat e kryqëzimit, dy prej tyre midis një bisector këndi të brendshëm dhe anës së kundërt, dhe e treta midis bisektorit tjetër të këndit të jashtëm dhe anës së kundërt të zgjatur, janë kolinare.^[12]^{:p. 149}
Disa autorë përdorin emrin këndi i jashtm të një poligonini të thjeshtë për të thjesht do të thotë kënd explement i jashtm (jo shtesë!) I këndit të brendshëm.^[13] Kjo bie ndesh me përdorimin e mësipërm.

Kënde që lidhen me planin

Këndi midis dy planëve (si dy fytyrat ngjitur të një poliedri ) quhet një kënd diellor .^[9] Mund të përkufizohet si këndi akut midis dy linjave normale me planët.
Këndi midis një plan dhe një drejtëze intersektuese është i barabartë me nëntëdhjetë gradë minus këndin midis vijës kryqëzuese dhe vijës që kalon nëpër pikën e kryqëzimit dhe është normale në një plan.

Këndet matëse

Madhësia e një këndi gjeometrik zakonisht karakterizohet nga madhësia e rrotullimit më të vogël që harton njërën nga rrezet në tjetrën. Këndet që kanë të njëjtën madhësi thuhet se janë të barabarta ose kongruente ose në masë të barabartë .

Në disa kontekste, të tilla si identifikimi i një pike në një rreth ose përshkrimi i orientimit të një objekti në dy dimensione në lidhje me një orientim referencë, kënde që ndryshojnë nga një shumëfish i saktë i një kthesë të plotë janë në të vërtetë ekuivalente. Në kontekste të tjera, të tilla si identifikimi i një pike në një kurbë spirale ose përshkrimi i rrotullimit kumulativ të një objekti në dy dimensione në lidhje me një orientim reference, kënde që ndryshojnë nga një shumëfish jo-zero i një kthesë të plotë nuk janë ekuivalente.

Masa e këndit θ (në radians) është koeficienti i s dhe r .

Për të matur një kënd θ, tërhiqet një hark rrethor i përqendruar në kulmin e këndit, p.sh. me një palë busullash . Raporti i gjatësisë s të harkut nga rrezja r e rrethit është masa e këndit në radian .

Për të matur një kënd θ, tërhiqet një hark rrethor i përqendruar në kulmin e këndit, p.sh. me një palë busullash . Raporti i gjatësisë s të harkut nga rrezja r e rrethit është masa e këndit në radian.

\theta =k{\frac {s}{2\pi r}}.

Vlera e θ e përcaktuar në këtë mënyrë është e pavarur nga madhësia e rrethit: nëse gjatësia e rrezes është ndryshuar, atëherë gjatësia e harkut ndryshon në të njëjtën proporcion, kështu që raporti s / r është i pandryshuar. (Prova. Formula e mësipërme mund të rishkruhet si k = θr/s Një kthesë, për të cilën θ = n njësi, korrespondon me një hark të barabartë në gjatësi me perimetrin e rrethit, i cili është 2 π r, pra s = 2 $π$ r Zëvendësimi i n për θ dhe 2 π r për s në formulë, rezulton në k = nr/2πr = n/2π.) )

Postulat shtesë të këndit

Postulati shtesë i këndit thotë se nëse B është në brendësi të këndit AOC, atëherë

m\angle AOC=m\angle AOB+m\angle BOC

Masa e këndit AOC është shuma e masës së këndit AOB dhe masa e këndit BOC . Në këtë postulat nuk ka rëndësi në cilën njësi këndi matet për aq kohë sa secili kënd matet në të njëjtën njësi.

Njësitë

Njësitë e përdorura për të përfaqësuar këndet janë renditur më poshtë në rendin me madhësi në zbritje. Nga këto njësi, shkalla dhe rrezja është shumë më e zakonshme të përdoret. Këndet e shprehura në rrezatime janë pa dimensione për qëllimet e analizës dimensionale .

Shumica e njësive të matjes këndore përcaktohen të tilla që një kthesë (d.m.th një rreth i plotë) të jetë e barabartë me n njësi, për disa numra të tërë n . Dy përjashtime janë pjesa rrezatuese dhe ajo me diametër.

Kthimi ( n = 1): Kthesa, gjithashtu cikli, rrethi i plotë, revolucioni dhe rrotullimi, është lëvizje ose masë e plotë rrethore (për t'u kthyer në të njëjtën pikë) me rreth ose elips. Një kthesë është shkurtuar τ, cyc, rev, ose kalb në varësi të aplikimit, por në akronimin rpm (revolucionet në minutë), përdoret vetëm r . Një nga ana e njësive n është marrë me vendosjen k = 1/2π në formulën e mësipërme. Ekuivalentimi i 1 kthesës është 360 °, 2 π rad, 400 grad, dhe 4 kënde të drejta. Simboli τ mund të përdoret gjithashtu si një konstante matematikore për të përfaqësuar 2 π radianë. Përdoret në këtë mënyrë ( k = τ / 2π ) lejon që radiot të shprehen si pjesë e kthesës. Për shembull, gjysma e kthesës është τ / 2 = π .

Kuadranti (n = 4): Kuadranti është 1 e një kthesë, dmth një kënd të drejtë . Shtë njësia e përdorur në Elementet e Euklidit . 1 katror. = 90 ° = π / 2 rad = 1 rradha = 100 grad. Në gjermanisht simboli ^∟ është përdorur për të treguar një kuadrat.

Sextanti (n = 6): Sekstantit (kënd të trekëndëshit barabrinjës ) është 1 i një kthesë. Ishte njësia e përdorur nga babilonasit, ^[14] ^[15] dhe është veçanërisht e lehtë për t’u ndërtuar me sundues dhe kompas. Shkalla, minutë e harkut dhe e dyta e harkut janë nën-njësitë seksuale të njësisë babilonase. 1 Njësi babilonase = 60 ° = π / 3 rad ≈ 1.047197551 rad.

θ = s/r rad = 1 rad.

Radiani ( n= 2 π = 6,283 . . . ): Radiani është këndi i varur nga një hark i një rrethi që ka të njëjtën gjatësi me rrezen e rrethit. Rasti i radianit për formulën e dhënë më herët, një radian prej njësive n = 2 π merret duke vendosur k = 2π / 2 π = 1. Një kthesë është 2 π radianë, dhe një radian është 180 / π gradë, ose rreth 57.2958 gradë. Radiani është rad i shkurtuar, megjithëse ky simbol shpesh lihet në tekstet matematikore, ku supozohet se rrezatimet përveç nëse përcaktohet ndryshe. Kur përdoren rrezatimet, këndet konsiderohen si pa dimension. Radiani përdoret në pothuajse të gjithë punën matematikore përtej gjeometrisë së thjeshtë praktike, për shembull, për shkak të vetive të këndshme dhe "natyrale" që funksionet trigonometrike shfaqin kur argumentet e tyre janë në rrezatime. Radiani është njësia (e nxjerrë) e matjes këndore në sistemin SI .

Pozicioni i orës (n = 12): Një pozicion i orës është drejtimi relativ i një objekti të përshkruar duke përdorur analogjinë e një ore 12-orëshe . Dikush imagjinon një fytyrë me orë të shtrirë ose të drejtë ose të sheshtë përpara vetvetes, dhe identifikon shenjat e dymbëdhjetë orëve me drejtimet në të cilat tregojnë.

Këndi orës (n = 24): Kënd astronomike ora është 1 një kthesë. Meqenëse ky sistem është i përshtatshëm për të matur objektet që ciklin një herë në ditë (siç është pozicioni relativ i yjeve), njësitë seksuale janë quajtur minutë e kohës dhe e dyta e kohës . Këto janë të dallueshme nga, dhe 15 herë më të mëdha se, minutat dhe sekondat e harkut. 1 orë = 15 ° = π / 12 rad = 1 quad. = 1 rradha = 16 + 2/3 grad.

(Busull) pikë ose erë (n = 32): Pika, e përdorur në navigacion, është 1 të një kthesë. 1 pikë = 11/8 e një kënd të drejtë = 11.25 ° = 12.5 grad. Do pikë ndahet në katër pikë tremujore në mënyrë që 1 kthesë të barazohet me 128 pikë tremujore.

Hexacontade (n = 60): Hexacontade është një njësi prej 6 ° që përdori Eratosthenes, kështu që një kthesë e tërë u nda në 60 njësi.

Pechus (n = 144–180): Pechus ishte Babylonian njësi të barabartë në rreth 2 ° ose 2 + 1/2 °.

Shkalla binare (n = 256): Shkalla binar, i njohur gjithashtu si radian binar (ose Brad), është 1 prej një kthesë. Shkalla binare përdoret në llogaritjen në mënyrë që një kënd të përfaqësohet në mënyrë efikase në një bajt të vetëm (megjithëse me saktësi të kufizuar). Masa të tjera të kënd të përdorura në informatikë mund të bazohet në ndarjen e një kthesë krejt në 2 ⁿ barabarta pjesë për vlerat e tjera të n.
Shkalla (n = 360): Shkalla, e shënuar nga një rreth i vogël superscript (°), është 1/360 e një kthesë, kështu që një kthesë është 360 °. Rasti i gradave për formulën e dhënë më herët, një shkallë e njësive n = 360 ° merret duke vendosur k = 360° / 2 π . Një avantazh i kësaj njësie të vjetër seksagesimal është se shumë kënde të zakonshme në gjeometrinë e thjeshtë maten si një numër i tërë shkallësh. Fraksionet e një shkalle mund të shkruhen në një shënim normal dhjetor (p.sh. 3.5 ° për tre gradë e gjysmë), por nën-njësitë seksuale "minutë" dhe "të dytë" të sistemit "shkallë-minutë-sekondë" janë gjithashtu në përdorim, veçanërisht për koordinatat gjeografike dhe në astronomi dhe balistikë .

Pjesa e diametrit (n = 376.99 . . . ): Pjesa diameter (përdorur herë pas here në matematikë islame) është 1 radian. Një "pjesë me diametër" është afërsisht 0.95493 °. Ka rreth 376.991 pjesë të diametrit për kthesën.

Grad (n = 400): Grad, i quajtur edhe grade-klasa, gradian, ose gon, është 1 prej një kthesë, kështu që një kënd të drejtë është 100 grads. Shtë një njësi dhjetore e kuadratit. Një kilometër u përcaktua historikisht si një centi- gradë e harkut përgjatë një rrethi të madh të Tokës, kështu që kilometri është analogu dhjetor me kilometrin detar seksualimal . Shkalla përdoret kryesisht në Triangulacion .

Milliradian: Milliradian (mil ose mrad) është përcaktuar si një e mijta e një rrezeje, që do të thotë se një rrotullim i një kthesë përbëhet nga 2000π mil (ose afërsisht 6283.185 ... mil), dhe pothuajse të gjitha pamjet e fushëveprimit për armë zjarri janë kalibruar në këtë përkufizim . Për më tepër, ekzistojnë tre përkufizime të tjera të prejardhura të përdorura për artileri dhe navigacion të cilat janë afërsisht të barabarta me një miliradian. Sipas këtyre tre përkufizimeve të tjera, një kthesë përbën saktësisht 6000, 6300 ose 6400 milje, që është e barabartë me shtrirjen e intervalit nga 0.05625 në 0.06 gradë (3.375 në 3.6 minuta). Në krahasim, miliradani i vërtetë është afërsisht 0.05729578 ... gradë (3.43775 ... minuta). Një " NATO mil" është definuar si 1 e një rrethi. Ashtu si me miliradianin e vërtetë, secila nga përkufizimet e tjera shfrytëzon pronën miliale të subtensioneve, d.m.th që vlera e një miliradani përafërsisht është e barabartë me këndin e varur nga një gjerësi prej 1 metrash siç shihet nga 1 km larg 2π / 6400 = ,0009817 ... ≈ 1

Minuta e harkut (n = 21,600): Minuta e harkut (ose MOA, harkut, ose vetëm minutë) është 1/60 të një shkalle =1/ 21,600 kthehet. Tregohet nga një kryeministër i vetëm (′). Për shembull, 3 ° 30 ′ është i barabartë me 3 × 60 + 30 = 210 minuta ose 3 + 30 /60 = 3.5 gradë. Një format i përzier me fraksione dhjetore përdoret gjithashtu ndonjëherë, p.sh. 3 ° 5.72 ′ = 3 +5.72 / 60 gradë. Një milje detare u përcaktua historikisht si një minutë e harkut përgjatë një rrethi të madh të Tokës.

E dyta e harkut (n = 1,296,000): E dyta e harkut (ose harkut sekondar, ose vetëm e dyta) është 1/60 e një minutë të harkut dhe 1/3600 të një shkalle. Tregohet nga një kryeministër i dyfishtë (″). Për shembull, 3 ° 7 ′ 30 ″ është e barabartë me 3 + 7 / 60 + 30 / 3600 gradë, ose 3.125 gradë.

Milliarci i dyt (n = 1,296,000,000): mas
Microarcsecond (n = 1,296,000,000,000): µas

Kënde pozitive dhe negative

Megjithëse përkufizimi i matjes së një këndi nuk mbështet konceptin e një këndi negativ, është shpesh e dobishme të imponohet një konventë që lejon vlera këndore pozitive dhe negative të përfaqësojnë orientimet dhe / ose rrotullimet në drejtime të kundërta në lidhje me disa referenca.

Në një sistem koordinativ dy-dimensional Kartezian, një kënd përcaktohet në mënyrë tipike nga të dy anët e tij, me kulm në origjinë. Ana fillestare është në boshtin pozitiv x, ndërsa pala tjetër ose ana terminale përcaktohet nga masa nga ana fillestare në radian, gradë ose kthesë. Me kënde pozitive përfaqësojnë rotacionet në drejtim të pozitive y-aks dhe kënde negative përfaqësojnë rotacionet në drejtim të y negative -aks. Kur koordinatat Karteziane përfaqësohen nga pozicioni standard, i përcaktuar nga x -aksia drejt dhe y -aksia lart, rotacionet pozitive janë antiklloze dhe rrotullimet negative janë në drejtim të akrepave të orës .

Në shumë kontekste, një kënd i - θ është në mënyrë efektive ekuivalent me një kënd të "një kthese të plotë minus θ ". Për shembull, një orientim i përfaqësuar si −45 ° është në mënyrë efektive ekuivalente me një orientim të përfaqësuar si 360 ° - 45 ° ose 315 °. Megjithëse pozicioni përfundimtar është i njëjtë, një rotacion fizik (lëvizje) i °45 ° nuk është i njëjtë me një rotacion prej 315 ° (për shembull, rotacioni i një personi që mban një fshesë duke pushuar në një dysheme me pluhur do të linte vizualisht gjurmë të ndryshme të rajoneve të përfshira në dysheme)

Në gjeometrinë tre-dimensionale, "në drejtim të akrepave të orës" dhe "në drejtim anticlock" nuk kanë kuptim absolut, kështu që drejtimi i këndeve pozitive dhe negative duhet të përcaktohet në lidhje me disa referenca, që është zakonisht një vektor që kalon nëpër kulmin e këndit dhe pingul me aeroplanin në të cilat rrezet e këndit shtrihen.

Në lundrim, kushinetat ose azimuth maten në lidhje me veriun. Sipas kongresit, shikuar nga lart, këndet e mbajtjes janë pozitive, në drejtim të orës, kështu që një mbajtje prej 45 ° korrespondon me një orientim veri-lindje. Kushinetat negative nuk përdoren në lundrim, kështu që një orientim veri-perëndim korrespondon me një kushinetë prej 315 °.

Mënyra alternative për matjen e madhësisë së një këndi

Ekzistojnë disa alternativa për të matur madhësinë e një këndi me këndin e rrotullimit. Shkalla e një pjerrësi, ose gradient është e barabartë me tangjenten e këndit, ose nganjëherë (rrallë) sinusin . Një gradient shpesh shprehet si përqindje. Për vlera shumë të vogla (më pak se 5%), shkalla e pjerrësisë është afërsisht masa e këndit në radianë.

Në gjeometrinë racionale midis dy rreshtave përcaktohet si sheshi i sinusit të këndit ndërmjet vijave. Ndërsa sinusi i një këndi dhe sinusi i këndit plotësues të tij janë të njëjta, çdo kënd rrotullimi që harton njërën prej rreshtave në tjetrin çon në të njëjtën vlerë për përhapjen midis linjave.

Përafrime astronomike

Astronomët matin ndarjen këndore të objekteve në shkallë nga pika e tyre e vëzhgimit.

0.5 ° është afërsisht gjerësia e diellit ose hënës.
1 ° është afërsisht gjerësia e një gishti të vogël në gjatësinë e krahut.
10 ° është afërsisht gjerësia e një grushti të mbyllur në gjatësinë e krahut.
20 ° është përafërsisht gjerësia e një shuplakë dore në gjatësinë e krahut.

Këto matje varen qartë nga subjekti individual, dhe sa më sipër duhet të trajtohet si rregull i përafërt vetëm i përafrimeve të gishtit .

Këndet midis kthesave

Këndi midis dy kthesave në P përcaktohet si këndi midis tangentëve A dhe B në P

Këndi midis një rreshti dhe një kurbë (kënd i përzier) ose midis dy kthesave kryqëzuese (këndi i lakuar) përcaktohet të jetë këndi midis tangentëve në pikën e kryqëzimit. Emra të ndryshëm (tani rrallë, nëse ndonjëherë, përdoren) u janë dhënë raste të veçanta: - amficyrtic (Gr. ἀμφί , nga të dy anët, κυρτός, konveks) ose cissoidal (Gr. κισσός, dredhkë), biconvex; xistroidale ose sistroidale (Gr. ξυστρας, një mjet për scraping), konkavo-konveks; amfikelik (Gr. κοίλη, një zgavër) ose angulus lunularis, biconcave.^[16]

Këndet e biseksimit dhe copëzimit

Matematikanët e lashtë grek e dinin se si të copëtojnë një kënd (ta ndajnë atë në dy kënde të masës së barabartë) duke përdorur vetëm një busull dhe drejtues, por mund të trisektonin vetëm kënde të caktuara. Më 1837 Pierre Wantzel tregoi se për shumicën e këndeve kjo ndërtim nuk mund të kryhet.

Produkt me pika dhe përgjithësime

Në hapësirën Euklidiane, këndi θ ndërmjet dy vektorëve Euklidiane u dhe v lidhet me produktin e tyre dhe gjatësinë e tyre me formulë

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

Kjo formulë siguron një metodë të lehtë për të gjetur këndin midis dy planëve (ose sipërfaqeve të lakuara) nga vektorët e tyre normalë dhe midis linjave të pjerrëta nga ekuacionet e tyre të vektorit.

Produkt i brendshëm

Për të përcaktuar këndet në një hapësirë abstrakte të vërtetë produkti të brendshëm, ne e zëvendësojmë produktin e Euklidian dot ( · ) me produktin e brendshëm $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , d.m.th.

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|.

Në një hapësirë të brendshme komplekse të produktit, shprehja për kosinusin e mësipërm mund të japë vlera jo reale, kështu që zëvendësohet me

\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

ose, më shpesh, duke përdorur vlerën absolute, me

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=|\cos(\theta )|\ \left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|.

Përkufizimi i fundit injoron drejtimin e vektorëve dhe kështu përshkruan këndin midis nën-hapësirave një-dimensionale $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ dhe $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ të spikatur nga vektorët $\mathbf {u}$ dhe $\mathbf {v}$ korresponduese.

Këndet midis nën-hapësirave

Përkufizimi i këndit ndërmjet nën-hapësirave një-dimensionale $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ dhe $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ dhënë nga

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=|\cos(\theta )|\left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|

në një hapësirë Hilbert mund të shtrihet në hapësira të hapësirave të përmasave të fundme. Duke pasur parasysh dy nën-hapësira ${\mathcal {U}}$ , ${\mathcal {W}}$ me $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ , kjo çon në një përkufizim të $k$ kënde të quajtura kënde kanonike ose kryesore midis nënspaceve.

Këndet në gjeometrinë e Riemanniane

Në gjeometrinë e Riemannian, tensori metrikë përdoret për të përcaktuar këndin midis dy tangentëve . Kur U dhe V janë vektorë tangjentë dhe g _ij janë përbërësit e tenzorit metrikë G ,

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.

Kënd hiperbolik

Një kënd hiperbolik është një argument i një funksioni hiperbolik ashtu si këndi rrethor është argumenti i një funksioni rrethor . Krahasimi mund të vizualizohet si madhësia e hapjeve të një sektori hiperbolik dhe një sektori rrethor pasi zonat e këtyre sektorëve korrespondojnë me madhësitë e këndit në secilin rast. Për dallim nga këndi rrethor, këndi hiperbolik është i pakufizuar. Kur funksionet rrethore dhe hiperbolike shikohen si seri të pafundme në argumentin e tyre të këndit, ato rrethore janë thjesht forma seri alternative të funksioneve hiperbolike. Kjo gërshetim e dy llojeve të këndit dhe funksionit u shpjegua nga Leonhard Euler në hyrje në analizën e pafundësisë .

Këndet në gjeografi dhe astronomi

Në gjeografi, vendndodhja e çdo pike në Tokë mund të identifikohet duke përdorur një sistem koordinativ gjeografik . Ky sistem specifikon gjerësinë dhe gjatësinë e çdo lokacioni përsa i përket këndeve të varura në qendër të Tokës, duke përdorur ekuatorin dhe (zakonisht) meridianin e Greenwich si referenca.

Në astronomi, një pikë e dhënë në sferën qiellore ( d.m.th., pozicioni i dukshëm i një objekti astronomik) mund të identifikohet duke përdorur ndonjë prej disa sistemeve të koordinatave astronomike, ku referencat ndryshojnë sipas sistemit të veçantë. Astronomët matin ndarjen këndore të dy yjeve duke imagjinuar dy rreshta përmes qendrës së Tokës, secila duke ndërprerë një nga yjet. Këndi midis këtyre linjave mund të matet, dhe është ndarja këndore midis dy yjeve.

Në të dy gjeografinë dhe astronominë, një drejtim i shikimit mund të specifikohet për sa i përket një këndi vertikal siç është lartësia / lartësia në lidhje me horizontin, si dhe azimuth në lidhje me veriun .

Astronomët gjithashtu matin madhësinë e dukshme të objekteve si një kënd këndor . Për shembull, Hëna e plotë ka një diametër këndor prej afro 0,5 °, kur shihet nga Toka. Dikush mund të thotë, "Diametri i Hënës mposht një kënd gjysmë shkalle". Formula me kënd të vogël mund të përdoret për të kthyer një matje të tillë këndore në një raport distancë / madhësi.

Referime

^ Sidorov 2001
^ Slocum 2007
^ Chisholm 1911; Heiberg 1908
^ "Mathwords: Reference Angle". www.mathwords.com (në anglisht). Arkivuar nga origjinali më 23 tetor 2017. Marrë më 26 prill 2018.
^ Wong & Wong 2009, pp. 161–163
^ Euclid. The Elements (në anglisht). Proposition I:13.
^ ^a ^b Shute, Shirk & Porter 1960, ff. 25–27.
^ Jacobs 1974, f. 255.
^ ^a ^b Chisholm 1911
^ Jacobs 1974, f. 97.
^ Henderson & Taimina 2005, f. 104.
^ ^a ^b Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007.
^ D. Zwillinger, red. (1995), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (në anglisht), Boca Raton, FL: CRC Press, fq. 270 as cited in Eric W. Weisstein, Këndi nga MathWorld.
^ Jeans, James Hopwood (1947). The Growth of Physical Science. p. 7.
^ Murnaghan, Francis Dominic (1946). Analytic Geometry. p. 2.
^ Chisholm 1911; Heiberg 1908, p. 178

Linqe të jashtme

Ndërtimi i afërsisë së një këndi në shkallë dhjetore me teoremën e tretë përgjuese
Bisektorët e këndeve në një katërkëndësh (në anglisht)
Ndërtimi i një trekëndëshi nga bisektorët e këndit të tij (në anglisht)
Ndërtime të ndryshme këndore me busull dhe drejtues (në anglisht)
Demonstrim i animuar i Këndet plotësues. Me aplikimin interaktiv (në anglisht)
Demonstrim i animuar i Këndeve plotësuese. Me aplikimin interaktiv (në anglisht)
Faqet e përcaktimit të këndit me aplikime ndërvepruese që janë gjithashtu të dobishëm në një mjedis në klasë. Referenca e Hapur e Matematikës (në anglisht)

[1] Sidorov 2001

[2] Slocum 2007

[3] Chisholm 1911; Heiberg 1908

[4] "Mathwords: Reference Angle". www.mathwords.com (në anglisht). Arkivuar nga origjinali më 23 tetor 2017. Marrë më 26 prill 2018.

[tb-5] Wong & Wong 2009, pp. 161–163

[6] Euclid. The Elements (në anglisht). Proposition I:13.

[FOOTNOTEShuteShirkPorter196025–27-7] Shute, Shirk & Porter 1960, ff. 25–27.

[FOOTNOTEJacobs1974255-8] Jacobs 1974, f. 255.

[Chisholm_1911-9] Chisholm 1911

[FOOTNOTEJacobs197497-10] Jacobs 1974, f. 97.

[FOOTNOTEHendersonTaimina2005104-11] Henderson & Taimina 2005, f. 104.

[Johnson-12] Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007.

[13] D. Zwillinger, red. (1995), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (në anglisht), Boca Raton, FL: CRC Press, fq. 270 as cited in Eric W. Weisstein, Këndi nga MathWorld.

[Jeans_19472-14] Jeans, James Hopwood (1947). The Growth of Physical Science. p. 7.

[Murnaghan_19462-15] Murnaghan, Francis Dominic (1946). Analytic Geometry. p. 2.

[16] Chisholm 1911; Heiberg 1908, p. 178

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]