Masa e Lebegut

Në teorinë e masës, një degë e matematikës, masa e Lebegut, e quajtur sipas matematikanit francez Henri Lebesgue, është mënyra standarde e caktimit të një mase për nënbashkësitë e hapësirave n Euklidiane me dimensione më të larta . Për dimensione më të ulëta n = 1, 2 ose 3, ajo përkon me masën standarde të gjatësisë, sipërfaqes ose vëllimit . Në përgjithësi, quhet edhe vëllimi n -dimensional, n -volumi, hipervolumi ose thjesht vëllimi . Përdoret gjatë analizës reale, në veçanti për të përcaktuar integrimin sipas Lebegut. Bashkësive që mund t'u caktohet një masë Lebesgue quhen të matshme sipas Lebegut ; masa e bashkësisë së matshme sipas Lebegut A shënohet këtu me λ(A).

Henri Lebegu e përshkroi këtë masë në vitin 1901, i cili, një vit më pas, u pasua nga përshkrimi i tij i integralit të Lebegut . Të dyja u botuan si pjesë e disertacionit të tij në 1902.

Përkufizimi

Për çdo interval $I=[a,b]$, ose $I=(a,b)$, në komplet $\mathbb {R}$ të numrave realë, le $\ell (I)=b-a$ tregojnë gjatësinë e saj. Për çdo nëngrup $E\subseteq \mathbb {R}$, masa e jashtme Lebesgue $\lambda ^{\!*\!}(E)$ përkufizohet si një infimum

$\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ është një varg i intervaleve të hapura }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.$

Përkufizimi i mësipërm mund të përgjithësohet në dimensione më të larta si më poshtë. Për çdo kuboid drejtkëndor $C$ që është një produkt kartezian $C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}$ të intervaleve të hapura, le $\operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})$ (produkt me numër real) tregojnë vëllimin e tij. Për çdo nëngrup $E\subseteq \mathbb {R^{n}}$ ,

$\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ është një varg i prodhimeve të intervaleve të hapura }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.$

Disa komplete $E$ plotësoni kriterin Carathéodory, i cili kërkon që për çdo $A\subseteq \mathbb {R}$ ,

$\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).$

Kompletet $E$ që plotësojnë kriterin Carathéodory thuhet se janë të matshme sipas Lebegut, me masën e tij të Lebegut që përcaktohet si masa e jashtme e Lebesgue: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$ . Kompleti i të gjithave të tilla $E$ formon një <i id="mwTw">σ</i> -algjebër .

Një grup $E$ që nuk plotëson kriterin Carathéodory nuk është i matshëm sipas Lebegut. ZFC vërteton se bashkësi të pamatshme ekzistojnë; një shembull janë bashkësitë Vitali .