Shpërndarja
F
{\displaystyle F}
me
d
1
{\displaystyle d_{1}}
dhe
d
2
{\displaystyle d_{2}}
shkallë lirie është shpërndarja e
X
=
S
1
/
d
1
S
2
/
d
2
{\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}
ku
S
1
{\textstyle S_{1}}
dhe
S
2
{\textstyle S_{2}}
janë ndryshore të rastit të pavarura me shpërndarje hi-katrore me shkallë lirie përkatëse
d
1
{\textstyle d_{1}}
dhe
d
2
{\textstyle d_{2}}
.
Mund të tregohet se funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) për
X
{\displaystyle X}
jepet nga
f
(
x
;
d
1
,
d
2
)
=
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
=
1
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
(
d
1
d
2
)
d
1
/
2
x
d
1
/
2
−
1
(
1
+
d
1
d
2
x
)
−
(
d
1
+
d
2
)
/
2
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}}
për
x
>
0
{\displaystyle x>0}
real . Këtu
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
është funksioni beta . Në shumë zbatime, parametrat
d
1
{\displaystyle d_{1}}
dhe
d
2
{\displaystyle d_{2}}
janë numra të plotë pozitivë , por shpërndarja është e mirëpërcaktuar për vlera reale pozitive të këtyre parametrave.
Funksioni i shpërndarjes mbledhëse është
F
(
x
;
d
1
,
d
2
)
=
I
d
1
x
/
(
d
1
x
+
d
2
)
(
d
1
2
,
d
2
2
)
,
{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}
ku
I
{\displaystyle I}
është funksioni beta jo i plotë i rregulluar .
Pritshmëria, varianca dhe detaje të tjera rreth
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F(d_{1},d_{2})}
janë dhënë në kutinë anësore; për
d
2
>
8
{\displaystyle d_{2}>8}
, kurtoza e tepërt është
γ
2
=
12
d
1
(
5
d
2
−
22
)
(
d
1
+
d
2
−
2
)
+
(
d
2
−
4
)
(
d
2
−
2
)
2
d
1
(
d
2
−
6
)
(
d
2
−
8
)
(
d
1
+
d
2
−
2
)
.
{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}
Momenti k -të i një shpërndarjeje
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F(d_{1},d_{2})}
ekziston dhe është i fundëm vetëm kur
2
k
<
d
2
{\displaystyle 2k<d_{2}}
dhe është i barabartë me
μ
X
(
k
)
=
(
d
2
d
1
)
k
Γ
(
d
1
2
+
k
)
Γ
(
d
1
2
)
Γ
(
d
2
2
−
k
)
Γ
(
d
2
2
)
.
{\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}
[ 4]
Vetitë dhe shpërndarjet e lidhura
Redakto
Nëse
X
∼
χ
d
1
2
{\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}
dhe
Y
∼
χ
d
2
2
{\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}
( Shpërndarja hi-katror ) janë të pavarura, atëherë
X
/
d
1
Y
/
d
2
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
Nëse
X
k
∼
Γ
(
α
k
,
β
k
)
{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}
( Shpërndarja gama ) janë të pavarura, atëherë
α
2
β
1
X
1
α
1
β
2
X
2
∼
F
(
2
α
1
,
2
α
2
)
{\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}
Nëse
X
∼
Beta
(
d
1
/
2
,
d
2
/
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}
( Shpërndarja beta ) atëherë
d
2
X
d
1
(
1
−
X
)
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}
Në mënyrë të barabartë, nëse
X
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
, atëherë
d
1
X
/
d
2
1
+
d
1
X
/
d
2
∼
Beta
(
d
1
/
2
,
d
2
/
2
)
{\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}
.
Nëse
X
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
, atëherë
d
1
d
2
X
{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}
ka një shpërndarje beta kryesore :
d
1
d
2
X
∼
β
′
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}
.
Nëse
X
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
atëherë
Y
=
lim
d
2
→
∞
d
1
X
{\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}
ka shpërndarjen hi-katror
χ
d
1
2
{\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F(d_{1},d_{2})}
është e njëvlershme me shpërndarjen e shkallëzuar të Hotelling në T-katror
d
2
d
1
(
d
1
+
d
2
−
1
)
T
2
(
d
1
,
d
1
+
d
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}
.
Nëse
X
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
atëherë
X
−
1
∼
F
(
d
2
,
d
1
)
{\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}
.
Nëse
X
∼
t
(
n
)
{\displaystyle X\sim t_{(n)}}
- Shpërndarja t-së studentit - më pas:
X
2
∼
F
(
1
,
n
)
X
−
2
∼
F
(
n
,
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}
Shpërndarja F është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit 6
Nëse
X
{\displaystyle X}
dhe
Y
{\displaystyle Y}
janë të pavarura, me
X
,
Y
∼
{\displaystyle X,Y\sim }
Laplace( μ , b ) atëherë
|
X
−
μ
|
|
Y
−
μ
|
∼
F
(
2
,
2
)
{\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}
Nëse
X
∼
F
(
n
,
m
)
{\displaystyle X\sim F(n,m)}
atëherë
log
X
2
∼
FisherZ
(
n
,
m
)
{\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}
( Shpërndarja e Fisher's z )
Shpërndarja joqendrore <i id="mwAQI">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen
F
{\displaystyle F}
nëse
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
.
Shpërndarja e dyfishtë joqendrore <i id="mwAQc">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen
F
{\displaystyle F}
nëse
λ
1
=
λ
2
=
0
{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}
Nëse
Q
X
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}
është kuantili
p
{\displaystyle p}
për
X
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
dhe
Q
Y
(
1
−
p
)
{\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}
është kuantili
1
−
p
{\displaystyle 1-p}
për
Y
∼
F
(
d
2
,
d
1
)
{\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}
, atëherë
Q
X
(
p
)
=
1
Q
Y
(
1
−
p
)
.
{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}
Shpërndarja
F
{\displaystyle F}
është një shembull i shpërndarjeve të raporteve
W -shpërndarja [ 5] është një parametrizim unik i shpërndarjes
F
{\displaystyle F}
.
^ Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27) . Wiley. ISBN 0-471-58494-0 .
^ NIST (2006).
^ Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introduction to the Theory of Statistics (bot. Third). McGraw-Hill. fq. 246–249. ISBN 0-07-042864-6 .
^ Taboga, Marco. "The F distribution" .
^ Mahmoudi, Amin; Javed, Saad Ahmed (tetor 2022). "Probabilistic Approach to Multi-Stage Supplier Evaluation: Confidence Level Measurement in Ordinal Priority Approach" . Group Decision and Negotiation (në anglisht). 31 (5): 1051–1096. doi :10.1007/s10726-022-09790-1 . ISSN 0926-2644 . PMC 9409630 . PMID 36042813 .