Shpërndarja e Laplasit

Laplas
	Probability density function
	Cumulative distribution function
Parametrat	shkalla (real); shkalla (real)
FDGJ
FGSH
Kuantili
Vlera e pritur
Mediana
Moda
Varianca
Shtrirja
Kurtoza e tepërt
Entropia

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë , shpërndarja e Laplasit është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e cila e merr emrin nga Pierre-Simon Laplace . Nganjëherë quhet edhe shpërndarja eksponenciale e dyfishtë, sepse mund të mendohet si dy shpërndarje eksponenciale (me një parametër shtesë të vendndodhjes) të bashkuara së bashku përgjatë abshisës, megjithëse termi ndonjëherë përdoret gjithashtu për t'iu referuar shpërndarjes Gumbel . Ndryshesa midis dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara identikisht me ligj eksponencial, ndjek një shpërndarje Laplas, siç është një lëvizje Browniane e vlerësuar në një kohë të rastësishme të shpërndarë në mënyrë eksponenciale. Rritjet e lëvizjes Laplas ose një procesi variance gama të vlerësuar mbi shkallën kohore gjithashtu kanë një shpërndarje Laplace.

Përkufizimet

Funksioni i densitetit të probabilitetit

Një ndryshore e rastit ndjek një shpërndarje ${\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ nëse funksioni i densitetit të probabilitetit të saj është:

f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!

Këtu, $\mu$ është një parametër i vendndodhjes dhe $b>0$ , i cili nganjëherë quhet "diversitet", është një parametër i shkallës . Nëse $\mu =0$ dhe $b=1$ , gjysmëdrejtëza pozitive është saktësisht një shpërndarje eksponenciale e shkallëzuar me 1/2.

Funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes Laplas të kujton shpërndarjen normale ; megjithatë, ndërsa shpërndarja normale shprehet me ndryshesën në katror nga mesatarja $\mu$ , dendësia e Laplasit shprehet në terma të ndryshimit absolut nga mesatarja. Rrjedhimisht, shpërndarja Laplace ka bishta më të trashë se shpërndarja normale.

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Shpërndarja Laplas është e lehtë për t'u integruar (nëse dallohen dy raste simetrike) për shkak të përdorimit të funksionit të vlerës absolute . Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është si më poshtë:

{\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë jepet nga

F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).

Vetitë

Momentet

\mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}.

Shpërndarjet e ndërlidhura

Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë $kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)$ .
Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ atëherë $bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$ .
Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$ atëherë $\left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)$ (shpërndarja eksponenciale).
Nëse $X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ atëherë $X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$ ．
Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë $\left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})$ .
Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë $X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)$ (shpërndarja normale e përgjithësuar).
Nëse $X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)$ (shpërndarja normale) atëherë $X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ dhe $(X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ .
Nëse $X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë ${\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)$ (shpërndarja hi katror).
Nëse $X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë ${\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)$ . (shpërndarja F)
Nëse $X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)$ (shpërndarja e njëtrajtshme) atëherë $\log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ .
Nëse $X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ dhe $Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)$ (shpërndarja Bernuli) e pavarur nga $X$ , atëherë $X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$ .
Nëse $X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ dhe $Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )$ e pavarur nga $X$ , atëherë $\lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ ．
Nëse $X$ ka një shpërndarje Rademacher dhe $Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ atëherë $XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$ .
Nëse $V\sim {\textrm {Exponential}}(1)$ dhe $Z\sim N(0,1)$ e pavarur nga $V$ , atëherë $X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)$ .
Nëse $X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)$ (shpërndarja gjeometrike e qëndrueshme) atëherë $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )$ .
Nëse $X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})$ me $Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)$ (shpërndarja Rayleigh ) atëherë $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ . Vereni së nëse $Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)$ , atëherë $Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})$ me ${\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}$ , e cila është e barabartë me ${\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))$ .
Dhënë një numër i plotë $n\geq 1$ , Nëse $X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)$ (shpërndarja gamma, duke përdorur karakterizimin $k,\theta$ ), atëherë $\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ (pjestueshmëria e pafundme)^[1]
Nëse X ka një shpërndarje Laplasi, atëherë Y = e^X ka një shpërndarje log Laplasi; anasjelltas, Nëse X ka një shpërndarje log Laplasi, atëherë logaritmi i saj ka një shpërndarje Laplasi.

Lidhja me shpërndarjen eksponenciale

Një ndryshore e rastit Laplas mund të përfaqësohet si ndryshesë e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura dhe identikisht të shpërndara ( iid ). ^[1] Një mënyrë për ta treguar këtë është duke përdorur qasjen e funksionit karakteristik . Për çdo grup të ndryshoreve të rastit të vazhdueshme të pavarura, për çdo kombinim linear të këtyre ndryshoreve, funksioni i tij karakteristik (i cili përcakton në mënyrë unike shpërndarjen) mund të merret duke shumëzuar funksionet karakteristike përkatëse.

Konsideroni dy ndryshore të rastit iid $X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ . Funksionet karakteristike për $X,-Y$ janë përkatësisht:

{\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}

Në shumëzimin e këtyre funksioneve karakteristike (e njëvlerëshme me funksionin karakteristik të shumës së ndryshoreve të rastit $X+(-Y)$ ), rezultati është

{\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.

Ky është i njëjtë me funksionin karakteristik për $Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$ , që është

{\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.

Inferenca statistikore

Dhënë $n$ zgjedhje të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ , vlerësuesi i përgjasisë maksimale (MLE) të $\mu$ është mesatarja e mostrës, ^[2]

{\hat {\mu }}=\mathrm {med} (x).

Vlerësuesi MLE i $b$ është shmangia absolute mesatare nga mesorja,

{\hat {b}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.

Ndodhia dhe aplikimet

Shpërndarja e Laplasit është përdorur në njohjen e të folurit për të modeluar pararendësit në koeficientët DFT ^[3] dhe në ngjeshjen e imazhit JPEG për të modeluar koeficientët AC ^[4] të krijuar nga një DCT .

Shtimi i zhurmës së nxjerrë nga një shpërndarje e Laplasit, me parametrin e shkallëzimit të përshtatshëm për ndjeshmërinë e një funksioni, në daljen e një query të bazës së të dhënave statistikore është mjeti më i zakonshëm për të siguruar privatësi diferenciale në bazat e të dhënave statistikore.

Shpërndarja e Laplasit e përshtatur në reshjet maksimale njëditore ^[5]

Në analizën e regresit, vlerësimi i devijimeve absolute më të pakta lind si vlerësimi i përgjasisë maksimale nëse gabimet kanë një shpërndarje Laplasi.
Rregullimi Lasso mund të mendohet si një regresion Bejesi me një pararendës Laplasi për koeficientët. ^[6]
Në hidrologji shpërndarja e Laplasit zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu, e bërë me CumFreq, ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Laplas me reshjet maksimale vjetore të renditura njëditore, duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e grafikuara si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
Shpërndarja e Laplasit ka aplikime në financa. Për shembull, SG Kou zhvilloi një model për çmimet e instrumenteve financiare duke përfshirë një shpërndarje Laplasi (në disa raste një shpërndarje asimetrike Laplasi ) për të adresuar problemet e shtrembërimit, kurtozës dhe buzëqeshjes së paqëndrueshmërisë që ndodh shpesh kur përdoret një shpërndarje normale për çmimin e këtyre instrumenteve. ^[7] ^[8]

Historia

Kjo shpërndarje shpesh përmendet si "ligji i parë i gabimeve të Laplasit". Ai e botoi atë në 1774, duke modeluar frekuencën e një gabimi si një funksion eksponencial të madhësisë së tij mbasi shenja e tij shpërfillej. Laplasi më vonë do ta zëvendësonte këtë model me "ligjin e tij të dytë të gabimeve", bazuar në shpërndarjen normale, pas zbulimit të teoremës qëndrore limite. ^[9] ^[10]

Keynes botoi një punim në 1911 bazuar në tezën e tij të mëparshme ku ai tregoi se shpërndarja e Laplasit minimizonte devijimin absolut nga mesatarja. ^[11]

^ ^a ^b Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). The Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to Communications, Economics, Engineering and Finance. Birkhauser. fq. 23 (Proposition 2.2.2, Equation 2.2.8). ISBN 9780817641665. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Kotz" defined multiple times with different content
^ Robert M. Norton (maj 1984). "The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator". The American Statistician. American Statistical Association. 38 (2): 135–136. doi:10.2307/2683252. JSTOR 2683252. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Eltoft, T.; Taesu Kim; Te-Won Lee (2006). "On the multivariate Laplace distribution" (PDF). IEEE Signal Processing Letters. 13 (5): 300–303. doi:10.1109/LSP.2006.870353. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2013-06-06. Marrë më 2012-07-04. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Minguillon, J.; Pujol, J. (2001). "JPEG standard uniform quantization error modeling with applications to sequential and progressive operation modes" (PDF). Journal of Electronic Imaging. 10 (2): 475–485. doi:10.1117/1.1344592. {{cite journal}}: |hdl-access= ka nevojë për |hdl= (Ndihmë!); Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ CumFreq for probability distribution fitting
^ Pardo, Scott (2020). Statistical Analysis of Empirical Data Methods for Applied Sciences. Springer. fq. 58. ISBN 978-3-030-43327-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Kou, S.G. (8 gusht 2002). "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing". Management Science. 48 (8): 1086–1101. doi:10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR 822677. Marrë më 2022-03-01. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Chen, Jian (2018). General Equilibrium Option Pricing Method: Theoretical and Empirical Study. Springer. fq. 70. ISBN 9789811074288. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Laplace, P-S. (1774).
^ Wilson, Edwin Bidwell (1923). "First and Second Laws of Error". Journal of the American Statistical Association. Informa UK Limited. 18 (143): 841–851. doi:10.1080/01621459.1923.10502116. ISSN 0162-1459. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Keynes, J. M. (1911). "The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them". Journal of the Royal Statistical Society. JSTOR. 74 (3): 322–331. doi:10.2307/2340444. ISSN 0952-8385. JSTOR 2340444. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Kotz-1] Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). The Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to Communications, Economics, Engineering and Finance. Birkhauser. fq. 23 (Proposition 2.2.2, Equation 2.2.8). ISBN 9780817641665. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Kotz" defined multiple times with different content

[2] Robert M. Norton (maj 1984). "The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator". The American Statistician. American Statistical Association. 38 (2): 135–136. doi:10.2307/2683252. JSTOR 2683252. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] Eltoft, T.; Taesu Kim; Te-Won Lee (2006). "On the multivariate Laplace distribution" (PDF). IEEE Signal Processing Letters. 13 (5): 300–303. doi:10.1109/LSP.2006.870353. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2013-06-06. Marrë më 2012-07-04. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[4] Minguillon, J.; Pujol, J. (2001). "JPEG standard uniform quantization error modeling with applications to sequential and progressive operation modes" (PDF). Journal of Electronic Imaging. 10 (2): 475–485. doi:10.1117/1.1344592. {{cite journal}}: |hdl-access= ka nevojë për |hdl= (Ndihmë!); Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[5] CumFreq for probability distribution fitting

[6] Pardo, Scott (2020). Statistical Analysis of Empirical Data Methods for Applied Sciences. Springer. fq. 58. ISBN 978-3-030-43327-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[7] Kou, S.G. (8 gusht 2002). "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing". Management Science. 48 (8): 1086–1101. doi:10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR 822677. Marrë më 2022-03-01. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[8] Chen, Jian (2018). General Equilibrium Option Pricing Method: Theoretical and Empirical Study. Springer. fq. 70. ISBN 9789811074288. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Laplace1774-9] Laplace, P-S. (1774).

[Wilson1923-10] Wilson, Edwin Bidwell (1923). "First and Second Laws of Error". Journal of the American Statistical Association. Informa UK Limited. 18 (143): 841–851. doi:10.1080/01621459.1923.10502116. ISSN 0162-1459. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Keynes1911-11] Keynes, J. M. (1911). "The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them". Journal of the Royal Statistical Society. JSTOR. 74 (3): 322–331. doi:10.2307/2340444. ISSN 0952-8385. JSTOR 2340444. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]