Shpërndarja e Bernulit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja e Bernulit, e quajtur sipas matematikanit zviceran Jakob Bernuli, është shpërndarja diskrete e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme që merr vlerën 1 me probabilitet. $p$ dhe vlerën 0 me probabilitet $q=1-p$ . Në mënyrë joformale, mund të mendohet si një model për grupin e rezultateve të mundshme të çdo eksperimenti që shtron një pyetje po-jo . Pyetje të tilla çojnë në rezultate me vlerë buleane : një bit i vetëm, vlera e të cilit është sukses (një) me probabilitet p dhe dështim (zero) me probabilitet q . Mund të përdoret për të përfaqësuar një hedhje monedhe, ku 1 dhe 0 do të përfaqësonin përkatësisht "kokën" dhe "pilin", dhe p do të ishte probabiliteti i rënies së monedhës kokë ose anasjelltas ku 1 do të përfaqësonte pilin dhe p do të ishte probabiliteti i pilit). Në veçanti, monedhat e padrejta do të kishin $p\neq 1/2.$

Shpërndarja e Bernulit

Probability mass function Tre shembuj të shpërndarjes së Bernulit:   $P(x=0)=0{.}2$ and $P(x=1)=0{.}8$   $P(x=0)=0{.}8$ and $P(x=1)=0{.}2$   $P(x=0)=0{.}5$ and $P(x=1)=0{.}5$
Parametrat	$0\leq p\leq 1$ $q=1-p$
Mbështetës	$k\in \{0,1\}$
FMGJ	${\begin{cases}q=1-p&{\text{if }}k=0\\p&{\text{if }}k=1\end{cases}}$
FGSH	${\begin{cases}0&{\text{if }}k<0\\1-p&{\text{if }}0\leq k<1\\1&{\text{if }}k\geq 1\end{cases}}$
Vlera e pritur	$p$
Mediana	${\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}$
Moda	${\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}$
Varianca	$p(1-p)=pq$
DMA	${\frac {1}{2}}$
Shtrirja	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Kurtoza e tepërt	${\frac {1-6pq}{pq}}$
Entropia	$-q\ln q-p\ln p$
FGJM	$q+pe^{t}$
FK	$q+pe^{it}$
FGJGJ	$q+pz$
Informacione për Fisher	${\frac {1}{pq}}$

Shpërndarja e Bernulit është një rast i veçantë i shpërndarjes binomiale ku kryhet një provë e vetme (pra n do të ishte 1 për një shpërndarje të tillë binomiale).

Vetitë

Nëse $X$ është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Bernuli, atëherë:

$\Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.$

Funksioni i masës së probabilitetit $f$ i kësaj shpërndarjeje, mbi rezultatet e mundshme k, është

$f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}$

Ky sistem mund të shprehet edhe si

$f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}$

Kurtoza shkon në pafundësi për vlera të larta dhe të ulëta të $p,$ por për $p=1/2$ shpërndarjet me dy pika duke përfshirë shpërndarjen Bernuli kanë një kurtozë të tepërt më të ulët se çdo shpërndarje tjetër probabiliteti, përkatësisht −2.

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale të $p$ bazuar në një kampion të rastësishëm është mesatarja e kampionit .

Mesatarja

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme Bernoulli $X$ është

$\operatorname {E} [X]=p$

Kjo për faktin se për një ndryshore të rastësishme me shpërndarje Bernuli $X$ me $\Pr(X=1)=p$ dhe $\Pr(X=0)=q$ ne gjejme

$\operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.$

Varianca

Varianca (Dispersioni) i një ndryshore të rastit $X$ me shpërndarje Bernuli është

$\operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)$

Së pari gjejmë

$\operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]$

$\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq$

Me këtë rezultat është e lehtë të vërtetohet se, për çdo shpërndarje Bernuli me një vlerë parametri p , varianca e saj do të ketë një vlerë brenda $[0,1/4]$ .

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X_{1},\dots ,X_{n}$ janë ndryshore rasti të pavarura, të shpërndara identikisht ( iid ), të gjitha provat e Bernulit me probabilitet suksesi p, atëherë shuma e tyre ndjek një shpërndarjeje binomiale me parametra n dhe p :

  $\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)$ ( shpërndarja binomiale ).

Shpërndarja e Bernulit është thjesht $\operatorname {B} (1,p)$, shkruar edhe si ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• Shpërndarja kategorike është përgjithësimi i shpërndarjes Bernuli për ndryshore me çdo numër konstant vlerash diskrete.
• Shpërndarja Beta është e konjuguar pararendëse e shpërndarjes Bernuli.
• Shpërndarja gjeometrike modelon numrin e provave të pavarura dhe identike të Bernulit të nevojshme për të arritur një sukses.
• Nëse ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, atëherë ${\textstyle 2Y-1}$ ka një shpërndarje Rademacher .