Shpërndarja hi katror

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hi-katrore (gjithashtu hi-katror ose $\chi ^{2}$ -shpërndarja ) me $k$ shkallë lirie është shpërndarja e një shume të katrorëve të $k$ ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale. Shpërndarja hi katror është një rast i veçantë i shpërndarjes gama dhe është një nga shpërndarjet më të përdorura të probabilitetit në statistikat konkluzive, veçanërisht në testimin e hipotezave dhe në ndërtimin e intervaleve të besimit . Kjo shpërndarje quhet nganjëherë shpërndarja qendrore hi-katrore, një rast i veçantë i shpërndarjes më të përgjithshme joqendrore hi-katrore .

Hi katror

Probability density function
Cumulative distribution function
Simboli	$\chi ^{2}(k)\;$ ose $\chi _{k}^{2}\!$
Parametrat	$k\in \mathbb {N} ^{*}~~$ (e njohur edhe si "shkallë lirie")
Mbështetës	$x\in (0,+\infty )\;$ nëse $k=1$, përndryshe $x\in [0,+\infty )\;$
FDGJ	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
FGSH	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
Vlera e pritur	$k$
Mediana	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
Moda	$\max(k-2,0)\;$
Varianca	$2k\;$
Shtrirja	${\sqrt {8/k}}\,$
Kurtoza e tepërt	${\frac {12}{k}}$
Entropia	${\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}$
FGJM	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ për }}t<{\frac {1}{2}}\;$
FK	$(1-2it)^{-k/2}$
FGJGJ	$(1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ për }}0<t<{\sqrt {e}}\;$

Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja themelore është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të dukurive natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

Përkufizimet

Nëse $Z_{1},Z_{2},...,Z_{k}$ janë ndryshore rasti normale standarde të pavarura, atëherë shuma e katrorëve të tyre,

$Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},$

shpërndahet sipas shpërndarjes hi-katrore me $k$ shkallë lirie. Kjo zakonisht shënohet si

$Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{ose}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.$

Shpërndarja hi-katrore ka një parametër: një numër i plotë pozitiv $k$ që specifikon numrin e shkallëve të lirisë (numrin e ndryshoreve të rastit që mblidhen).

Paraqitje

Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja e saj është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të fenomeneve natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

• Testi hi-katror i pavarësisë në tabelat e kontigjencës
• Testi hi-katror i përshtatshmërisë së të dhënave të vëzhguara me shpërndarjet hipotetike
• Testi i raportit të përgjasisë për modelet e folezuara
• Testi log-rank në analizën e mbijetesës
• Testi Cochran–Mantel–Haenszel për tabelat e shtresuara të kontigjencës
• Testi Wald
• Testi i rezultateve

Është gjithashtu një përbërës i përkufizimit të shpërndarjes t dhe shpërndarjes F të përdorur në testet t, analizën e variancës dhe analizën e regresionit.

Supozoni se $Z$ është një ndryshore e rastit e kampionuar nga shpërndarja normale standarde, ku mesatarja është $0$ dhe varianca është $1$ : $Z\sim N(0,1)$ . Tani, merrni parasysh ndryshoren e rastit $Q=Z^{2}$ . Shpërndarja e ndryshores së rastit $Q$ është një shembull i një shpërndarjeje hi-katrore: $\ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}$ . Nënshkrimi 1 tregon se kjo shpërndarje e veçantë hi-katrore është ndërtuar nga vetëm 1 shpërndarje normale standarde. Një shpërndarje hi-katrore e ndërtuar duke ngritur në katror një shpërndarje normale standarde të vetme thuhet se ka 1 shkallë lirie. Kështu, ndërsa madhësia e kampionit për një test hipoteze rritet, shpërndarja e statistikave të testit i afrohet një shpërndarjeje normale. Ashtu si vlerat ekstreme të shpërndarjes normale kanë probabilitet të ulët (dhe japin vlera të vogla p), vlerat ekstreme të shpërndarjes hi-katrore kanë probabilitet të ulët.

Një arsye shtesë që shpërndarja hi-katrore përdoret gjerësisht është se ajo shfaqet si shpërndarja e kampionit të madh të testeve të raportit të përgjithësuar të përgjasisë (LRT). LRT-të kanë disa veti të dëshirueshme; në veçanti, LRT-të e thjeshta zakonisht ofrojnë fuqinë më të lartë për të refuzuar hipotezën zero ( lema Neyman–Pearson ) dhe kjo çon gjithashtu në vetitë optimale të LRT-ve të përgjithësuara. Megjithatë, përafrimet normale dhe hi-katrore janë të vlefshme vetëm në mënyrë asimptotike. Për këtë arsye, është e preferueshme të përdoret shpërndarja t në vend të përafrimit normal ose përafrimit hi-katror për një madhësi të vogël kampioni. Në mënyrë të ngjashme, në analizat e tabelave të kontigjencës, përafrimi sipas hi-katror do të jetë i dobët për një madhësi të vogël kampioni dhe preferohet të përdoret testi i saktë i Fisher-it . Ramsey tregon se testi i saktë binomial është gjithmonë më i fuqishëm se përafrimi normal.

Lancaster tregon lidhjet midis shpërndarjeve binomiale, normale dhe hi-katrore, si më poshtë. De Moivre dhe Laplace vërtetuan se një shpërndarje binomiale mund të përafrohet me një shpërndarje normale. Konkretisht ata treguan normalitetin asimptotik të ndryshores së rastit

$\chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}$

ku $m$ është numri i vëzhguar i sukseseve në $N$ prova, ku është probabiliteti i suksesit $p$, dhe $q=1-p$ .

Ngritja në katror e të dyja anëve të ekuacionit jep

$\chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}$

Duke përdorur $N=Np+N(1-p)$, $N=m+(N-m)$, dhe $q=1-p$, ky ekuacion mund të rishkruhet si

$\chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \over Nq}$

Shprehja në të djathtë është e formës që Karl Pearson do ta përgjithësonte në formën

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}$

$\chi ^{2}$ = Statistika e testit kumulativ të Pearson-it, e cila në mënyrë asimptotike i afrohet a $\chi ^{2}$ shpërndarja;

$O_{i}$ = numri i vëzhgimeve të llojit $i$ ;

$E_{i}=Np_{i}$ = frekuenca e pritur (teorike) e tipit $i$, e pohuar nga hipoteza zero se thyesa e tipit $i$ në popullatë është $p_{i}$ ;

dhe $n$ = numri i qelizave në tabelë.

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni i dendësisë së probabilitetit (FDP) i shpërndarjes hi-katrore është

$f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{përndryshe}}.\end{cases}}$

ku ${\textstyle \Gamma (k/2)}$ tregon funksionin gama, i cili ka vlera të formës së mbyllur për numrin e plotë <span about="#mwt180" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;k&quot;}}" id="7" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="k" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;"></span> .

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Chernoff i kufizuar për FMP dhe bishtin (1-FMP) të një ndryshoreje të rastit hi-katrore me dhjetë shkallë lirie ( $k=10$ )

Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është:

$F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),$

ku $\gamma (s,t)$ është funksioni më i ulët i gama jo i plotë dhe ${\textstyle P(s,t)}$ është funksioni gama i rregulluar .

Në një rast të veçantë të $k=2$ Ky funksion ka formën e thjeshtë:

$F(x;\,2)=1-e^{-x/2}$

Vetitë

Teorema e Koçranit

Nëse $Z_{1},...,Z_{n}$ janë n.r të pavarura të shpërndara në mënyrë identike (iid), standarde normale, atëherë $\sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}$ ku ${\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.$

Mbledhja

Nga përkufizimi i shpërndarjes hi-katrore rezulton se shuma e ndryshoreve të pavarura hi-katrore është gjithashtu e shpërndarë sipas ligjit hi-katror. Konkretisht, nëse $X_{i},i={\overline {1,n}}$ janë ndryshore të pavarura hi-katror me $k_{i}$, $i={\overline {1,n}}$ shkallët e lirisë, përkatësisht, atëherë $Y=X_{1}+\cdots +X_{n}$ është hii-katror i shpërndarë me $k_{1}+\cdots +k_{n}$ shkallë lirie.

Mesatarja e kampionit

Mesatarja e kampionit së $n$ iid ndryshoreve hi-katror me $k$ shkallë lirie shpërndahet sipas një shpërndarjeje gama me formë $\alpha$ dhe shkallë $\theta$ parametrat:

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{ku }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)$

Në mënyrë asimptotike, duke pasur parasysh se për një parametër shkallë $\alpha$ duke shkuar në pafundësi, një shpërndarje Gama konvergjon drejt një shpërndarjeje normale me pritje $\mu =\alpha \cdot \theta$ dhe variancë $\sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}$, mesatarja e kampionit konvergjon drejt:

${\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)$

Përqendrimi

Shpërndarja hi-katrore shfaq përqendrim të fortë rreth mesatares së saj. Kufijtë standardë të Laurent-Massart janë:

$\operatorname {P} (X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq \exp(-x)$

$\operatorname {P} (k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq \exp(-x)$

Vetitë asimptotike

Formula e përafërt për mesataren (nga transformimi Wilson–Hilferty) krahasuar me kuantilin numerik (lart); dhe dallimi (blu) dhe ndryshimi relativ (e kuqe) ndërmjet sasisë numerike dhe formulës së përafërt (poshtë). Për shpërndarjen hi-katror, vetëm numrat e plotë pozitiv të shkallëve të lirisë (qarqet) kanë kuptim.

Nga teoremën qëndrore limite, meqenëse shpërndarja hi-katrore është shuma e $k$ variabla të rastit të pavarura me mesatare dhe variancë të fundme, ajo konvergjon në një shpërndarje normale për të mëdha $k$ . Për shumë qëllime praktike, për $k>50$ shpërndarja është mjaft e afërt me një shpërndarje normale, kështu që ndryshimi është i papërfillshëm. Konkretisht, nëse $X\sim \chi ^{2}(k)$, atëherë si $k$ priret drejt pafundësisë, shpërndarja e $(X-k)/{\sqrt {2k}}$ priret drejt një shpërndarje normale standarde. Megjithatë, konvergjenca është e ngadaltë siç është edhe anësia ${\sqrt {8/k}}$ dhe kurtoza e tepërt është $12/k$ .

Shpërndarja e kampionit të $\ln(\chi ^{2})$ konvergjon në normalitet shumë më shpejt se shpërndarja e kampionit të $\chi ^{2}$, pasi transformimi logaritmik heq shumë nga asimetria.

Funksionet e tjera të shpërndarjes hi-katror konvergjojnë më shpejt në një shpërndarje normale. Disa shembuj janë:

• Nëse $X\sim \chi ^{2}(k)$ atëherë ${\sqrt {2X}}$ shpërndahet përafërsisht normalisht me mesatare ${\sqrt {2k-1}}$ dhe variancë njësi (1922, nga RA Fisher, shih (18.23), f. 426 i Johnson.
• Nëse $X\sim \chi ^{2}(k)$ atëherë ${\sqrt[{3}]{X/k}}$ shpërndahet përafërsisht normalisht me mesatare $1-{\frac {2}{9k}}$ dhe variancë ${\frac {2}{9k}}.$ Ky njihet si transformimi Wilson–Hilferty, shih (18.24), f. 426 i Johnson.
  • Ky transformim normalizues çon drejtpërdrejt në përafrimin mesatar të përdorur zakonisht $k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$duke u kthyer prapa nga mesatarja, e cila është edhe mediana, e shpërndarjes normale.

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Kur $k\to \infty$, $(\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,$ ( shpërndarje normale )
• $\chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$ ( Shpërndarja joqendrore hi-katrore me parametër joqëndror $\lambda =0$ )
• Nëse $Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})$ atëherë $X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y$ ka shpërndarje hi-katror $\chi _{\nu _{1}}^{2}$

• Si një rast i veçantë, nëse $Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,$ atëherë $X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,$ ka shpërndarje hi-katror $\chi _{1}^{2}$

• $\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}$ ( Norma në katror e k ndryshoreve të rastit standarde të shpërndara normalisht është një shpërndarje hi-katrore me k shkallë lirie )
• Nëse $X\sim \chi _{\nu }^{2}\,$ dhe $c>0\,$, atëherë $cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,$ . ( shpërndarja gama )
• Nëse $X\sim \chi _{k}^{2}$ atëherë ${\sqrt {X}}\sim \chi _{k}$ ( shpërndarja hi )
• Nëse $X\sim \chi _{2}^{2}$, atëherë $X\sim \operatorname {Exp} (1/2)$ është një shpërndarje eksponenciale .
• Nëse $X\sim \chi _{2k}^{2}$, atëherë $X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)$ është një shpërndarje Erlang .
• Nëse $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$, atëherë $2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}$
• Nëse $X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,$ ( Shpërndarja Rayleigh ) atëherë $X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,$
• Nëse $X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,$ ( Shpërndarja Maxwell ) atëherë $X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,$
• Nëse $X\sim \chi _{\nu }^{2}$ atëherë ${\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,$ ( Shpërndarja inverse-hi-katrore )
• Shpërndarja hi-katrore është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit III
• Nëse $X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,$ dhe $Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,$ janë të pavarur atëherë ${\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,$ ( shpërndarja beta )
• Nëse $X\sim \operatorname {U} (0,1)\,$ ( shpërndarje uniforme ) atëherë $-2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,$
• Nëse $X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,$ atëherë $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,$
• Nëse $X_{i}$ ndjek shpërndarjen normale të përgjithësuar (lloji 1) me parametra $\mu ,\alpha ,\beta$ atëherë $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,$
• Shpërndarja hi-katrore është një transformim i shpërndarjes Pareto
• Shpërndarja e studentit është një transformim i shpërndarjes hi-katrore
• Shpërndarja e studentit mund të merret nga shpërndarja hi-katror dhe shpërndarja normale
• Shpërndarja joqendrore beta mund të merret si një transformim i shpërndarjes hi-katror dhe shpërndarjes joqendrore hi-katrore
• Shpërndarja joqendrore t mund të merret nga shpërndarja normale dhe shpërndarja hi-katrore

Një ndryshore hi-katror me $k$ shkallët lirie përkufizohet si shuma e katrorëve të $k$ ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale.

Shpërndarja hi-katrore është gjithashtu e lidhur natyrshëm me shpërndarjet e tjera që dalin nga shpërndarja gausiane. Veçanërisht,

• $Y$ është i shpërndarë sipas F, $Y\sim F(k_{1},k_{2})$ nëse $Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}$, ku $X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}$ dhe $X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}$ janë statistikisht të pavarura.
• Nëse $X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}$ dhe $X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}$ janë statistikisht të pavarura atëherë $X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}$ . Nëse $X_{1}$ dhe $X_{2}$ nuk janë të pavarura atëherë $X_{1}+X_{2}$ nuk shpërndahet sipas hi-katror.

Metodat llogaritëse

Shkallët e lirisë (shl)	$\chi ^{2}$ vlera
1	0,004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0,58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
p -vlera (probabiliteti)	0,95	0,90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001