Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë , shpërndarja hi është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është shpërndarja e rrënjës katrore të shumës së katrorëve të një bashkësie ndryshoresh rasti të pavarura secila me një shpërndarje normale standarde, ose në mënyrë të njëvlerëshme, shpërndarja e largësisë Euklidiane të ndryshoreve të rastit nga origjina. Kështu, ajo lidhet me shpërndarjen hi-katror duke përshkruar shpërndarjen e rrënjëve katrore pozitive të një ndryshoreje që i bindet një shpërndarjeje hi-katrore.
Nëse
Z
1
,
…
,
Z
k
{\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}
k
{\displaystyle k}
me shpërndarje normale me mesatare 0 dhe devijim standard 1, pastaj statistika
Y
=
∑
i
=
1
k
Z
i
2
{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}
shpërndahet sipas shpërndarjes hi. Shpërndarja hi ka një parametër,
k
{\displaystyle k}
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
Shembujt më të njohur janë shpërndarja Rayleigh (shpërndarja hi me dy shkallë lirie ) dhe shpërndarja Maxwell–Boltzmann e shpejtësive molekulare në një gaz ideal (shpërndarja hi me tre shkallë lirie).
Redakto
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (pdf) i shpërndarjes hi është
f
(
x
;
k
)
=
{
x
k
−
1
e
−
x
2
/
2
2
k
/
2
−
1
Γ
(
k
2
)
,
x
≥
0
;
0
,
përndryshe
.
{\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{përndryshe}}.\end{cases}}}
ku
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
funksioni gama .
Redakto
Funksioni mbledhës i shpërndarjes jepet nga:
F
(
x
;
k
)
=
P
(
k
/
2
,
x
2
/
2
)
{\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}
ku
P
(
k
,
x
)
{\displaystyle P(k,x)}
Momentet e papërpunuara më pas jepen nga:
μ
j
=
∫
0
∞
f
(
x
;
k
)
x
j
d
x
=
2
j
/
2
Γ
(
1
2
(
k
+
j
)
)
Γ
(
1
2
k
)
{\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}\mathrm {d} x=2^{j/2}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+j)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}
ku
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ \Gamma (z)\ }
funksioni gama . Kështu, momentet e para të papërpunuara janë:
μ
1
=
2
Γ
(
1
2
(
k
+
1
)
)
Γ
(
1
2
k
)
{\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}
μ
2
=
k
,
{\displaystyle \mu _{2}=k\ ,}
μ
3
=
2
2
Γ
(
1
2
(
k
+
3
)
)
Γ
(
1
2
k
)
=
(
k
+
1
)
μ
1
,
{\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+3)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)\ \mu _{1}\ ,}
μ
4
=
(
k
)
(
k
+
2
)
,
{\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\ ,}
μ
5
=
4
2
Γ
(
1
2
(
k
+
5
)
)
Γ
(
1
2
k
)
=
(
k
+
1
)
(
k
+
3
)
μ
1
,
{\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k\!+\!5)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)(k+3)\ \mu _{1}\ ,}
μ
6
=
(
k
)
(
k
+
2
)
(
k
+
4
)
,
{\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\ ,}
Nga këto shprehje mund të nxjerrim marrëdhëniet e mëposhtme:
Mesatarja :
μ
=
2
Γ
(
1
2
(
k
+
1
)
)
Γ
(
1
2
k
)
,
{\displaystyle \mu ={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}\ ,}
k
−
1
2
{\displaystyle {\sqrt {k-{\tfrac {1}{2}}\ }}\ }
Varianca :
V
=
k
−
μ
2
,
{\displaystyle V=k-\mu ^{2}\ ,}
1
2
{\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ }
Shtrirja :
γ
1
=
μ
σ
3
(
1
−
2
σ
2
)
.
{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\ \sigma ^{3}\ }}\left(1-2\sigma ^{2}\right)~.}
Kurtoza e tepërt :
γ
2
=
2
σ
2
(
1
−
μ
σ
γ
1
−
σ
2
)
.
{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\left(1-\mu \ \sigma \ \gamma _{1}-\sigma ^{2}\right)~.}
Entropia jepet nga:
S
=
ln
(
Γ
(
k
/
2
)
)
+
1
2
(
k
−
ln
(
2
)
−
(
k
−
1
)
ψ
0
(
k
/
2
)
)
{\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}
ku
ψ
0
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{0}(z)}
funksioni poligama .
Gjejmë përafrimin e madh
n
=
k
+
1
{\displaystyle n=k+1}
n
{\displaystyle n}
Mesatarja është:
μ
=
2
Γ
(
n
/
2
)
Γ
(
(
n
−
1
)
/
2
)
{\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}
Ne përdorim formulën e dyfishimit të Lezhandrit për të shkruar:
2
n
−
2
Γ
(
(
n
−
1
)
/
2
)
⋅
Γ
(
n
/
2
)
=
π
Γ
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}
në mënyrë që:
μ
=
2
/
π
2
n
−
2
(
Γ
(
n
/
2
)
)
2
Γ
(
n
−
1
)
{\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}
Duke përdorur përafrimin e Stirlingut për funksionin gamma, marrim shprehjen e mëposhtme për mesataren:
μ
=
2
/
π
2
n
−
2
(
2
π
(
n
/
2
−
1
)
n
/
2
−
1
+
1
/
2
e
−
(
n
/
2
−
1
)
⋅
[
1
+
1
12
(
n
/
2
−
1
)
+
O
(
1
n
2
)
]
)
2
2
π
(
n
−
2
)
n
−
2
+
1
/
2
e
−
(
n
−
2
)
⋅
[
1
+
1
12
(
n
−
2
)
+
O
(
1
n
2
)
]
{\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}
=
(
n
−
2
)
1
/
2
⋅
[
1
+
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
=
n
−
1
(
1
−
1
n
−
1
)
1
/
2
⋅
[
1
+
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
{\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}
=
n
−
1
⋅
[
1
−
1
2
n
+
O
(
1
n
2
)
]
⋅
[
1
+
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
{\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}
=
n
−
1
⋅
[
1
−
1
4
n
+
O
(
1
n
2
)
]
{\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}
E kështu varianca është:
V
=
(
n
−
1
)
−
μ
2
=
(
n
−
1
)
⋅
1
2
n
⋅
[
1
+
O
(
1
n
)
]
{\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}
Nëse
X
∼
χ
k
{\displaystyle X\sim \chi _{k}}
X
2
∼
χ
k
2
{\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}
shpërndarja hi-katrore )
lim
k
→
∞
χ
k
−
μ
k
σ
k
→
d
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}\xrightarrow {d} \ N(0,1)\,}
Shpërndarja normale )Nëse
X
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim N(0,1)\,}
|
X
|
∼
χ
1
{\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}
Nëse
X
∼
χ
1
{\displaystyle X\sim \chi _{1}\,}
σ
X
∼
H
N
(
σ
)
{\displaystyle \sigma X\sim HN(\sigma )\,}
shpërndarje gjysmë normale ) për çdo
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0\,}
χ
2
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
1
)
{\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}
Shpërndarja Rayleigh )
χ
3
∼
M
a
x
w
e
l
l
(
1
)
{\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}
Shpërndarja Maxwell )
‖
N
i
=
1
,
…
,
k
(
0
,
1
)
‖
2
∼
χ
k
{\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}}
norma Euklidiane e një vektori standard normal të rastit të me
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
Shpërndarja chi është një rast i veçantë i shpërndarjes së përgjithësuar të gamës ose shpërndarjes Nakagami ose shpërndarjes joqendrore hi
Mesatarja e shpërndarjes hi (shkallëzuar me rrënjën katrore të
n
−
1
{\displaystyle n-1}
Shpërndarje të ndryshme hi dhe hi-katrore
Emri
Statistikat
shpërndarja hi-katrore
∑
i
=
1
k
(
X
i
−
μ
i
σ
i
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}
shpërndarja joqendrore hi-katrore
∑
i
=
1
k
(
X
i
σ
i
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}
shpërndarja hi
∑
i
=
1
k
(
X
i
−
μ
i
σ
i
)
2
{\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}
shpërndarja joqendrore hi
∑
i
=
1
k
(
X
i
σ
i
)
2
{\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}
![{\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ab2d5763ab73955d1da591a2c76909c453fb48)
![{\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3e1534e28ac6e9276477260c929f0fa2072a4e)
![{\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f137a4f4c36c6d1a3e6e133d9ea9c8cf4cc3cfa)
![{\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16110f5e6cee819cf7ce548062a398bcf57f7eac)
![{\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5610836c34d335011ebc02dc4ee6ec6753aac429)
