Shpërndarja Maxwell–Boltzmann

Në fizikë (veçanërisht në mekanikën statistikore ), shpërndarja Maxwell-Boltzmann, ose shpërndarja Maxwell(ian), është një shpërndarje e veçantë probabiliteti e emërtuar sipas James Clerk Maxwell dhe Ludwig Boltzmann .

Maxwell–Boltzmann

Probability density function
Cumulative distribution function
Parametrat	$a>0$
Mbështetës	$x\in (0;\infty )$
FDGJ	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {x^{2}}{a^{3}}}\,\exp \left({\frac {-x^{2}}{2a^{2}}}\right)$ (ku exp është funksioni eksponencial)
FGSH	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {x}{a}}\,\exp \left({\frac {-x^{2}}{2a^{2}}}\right)$ (ku erf është funksioni i gabimit)
Vlera e pritur	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
Moda	${\sqrt {2}}a$
Varianca	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
Shtrirja	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
Kurtoza e tepërt	$\gamma _{2}={\frac {4(-96+40\pi -3\pi ^{2})}{(3\pi -8)^{2}}}$
Entropia	$\ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}$

Fillimisht u përcaktua dhe u përdor për përshkrimin e shpejtësisë së grimcave në gazet ideale, ku grimcat lëvizin lirshëm brenda një ene të palëvizshme pa ndërvepruar me njëra-tjetrën, me përjashtim të përplasjeve shumë të shkurtra në të cilat shkëmbejnë energji dhe impuls me njëra-tjetrën ose me mjedisin e tyre termik. Termi "grimcë" në këtë kontekst u referohet vetëm grimcave të gazta ( atomeve ose molekulave ), dhe sistemi i grimcave supozohet se ka arritur ekuilibrin termodinamik . Energjitë e grimcave të tilla ndjekin atë që njihet si statistika Maxwell-Boltzmann, dhe shpërndarja statistikore e shpejtësive rrjedh duke barazuar energjitë e grimcave me energjinë kinetike.

Matematikisht, shpërndarja Maxwell-Boltzmann është shpërndarja chi me tre shkallë lirie (përbërësit e vektorit të shpejtësisë në hapësirën Euklidiane ), me një parametër shkallë që mat shpejtësinë në njësi të përpjesshme me rrënjën katrore të $T/m$ (raporti i temperaturës dhe masës së grimcave).

Shpërndarja Maxwell-Boltzmann është rezultat i teorisë kinetike të gazeve, e cila ofron një shpjegim të thjeshtuar të shumë vetive themelore të gazit, duke përfshirë shtypjen dhe difuzionin . Shpërndarja Maxwell-Boltzmann zbatohet në thelb për shpejtësitë e grimcave në tre dimensione, por rezulton se varet vetëm nga shpejtësia ( madhësia e shpejtësisë) të grimcave. Shpërndarja e probabilitetit të shpejtësisë së grimcave tregon se cilat shpejtësi janë më të mundshme: një grimcë e zgjedhur rastësisht do të ketë një shpejtësi të zgjedhur rastësisht nga shpërndarja dhe ka më shumë gjasa të jetë brenda një diapazoni shpejtësish sesa një tjetër. Teoria kinetike e gazeve zbatohet për gazin ideal klasik, i cili është një idealizim i gazeve reale. Në gazet reale, ka efekte të ndryshme (p.sh., ndërveprimet e van der Waals-it, rryma e vorbullës, kufijtë e shpejtësisë relativiste dhe ndërveprimet e shkëmbimit kuantik) që mund ta bëjnë shpërndarjen e tyre të shpejtësisë të ndryshme nga forma Maxwell-Boltzmann. Megjithatë, gazrat e rralluar në temperatura të zakonshme sillen pothuajse si një gaz ideal dhe shpërndarja e shpejtësisë Maxwell është një përafrim i shkëlqyer për gazra të tillë. Kjo është gjithashtu e vërtetë për plazmat ideale, të cilat janë gaze të jonizuara me dendësi mjaft të ulët.

Shpërndarja u përftua për herë të parë nga Maxwell në 1860 mbi baza heuristike . Boltzmann më vonë, në vitet 1870, kreu hetime të rëndësishme mbi origjinën fizike të kësaj shpërndarjeje. Shpërndarja mund të nxirret në bazë të faktit se maksimizon entropinë e sistemit. Një listë e derivacioneve janë:

1. Shpërndarja probabilitare me entropi maksimale në hapësirën fazore, me kufizimin e ruajtjes së energjisë mesatare $\langle H\rangle =E;$
2. Ansambli kanonik .

Funksioni i shpërndarjes

Për një sistem që përmban një numër të madh grimcash klasike identike jo-ndërvepruese, jorelativiste në baraspeshë termodinamike, fraksioni i grimcave brenda një elementi pambarimisht të vogël të hapësirës së shpejtësisë tredimensionale d 3 v, me qendër në një vektor shpejtësie ${\vec {v}}$ të përmasave $v$, jepet nga

$$f({\vec {v}})~d^{3}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,e^{\left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)}~d^{3}v,$$

ku:

• m është masa e grimcës;
• k është konstantja e Boltzmannit;
• T është temperatura termodinamike;
• $f({\vec {v}})$ është funksioni i shpërndarjes probabilitare, i normuar në mënyrë të tillë që ${\textstyle \int f({\vec {v}})\,d^{3}v}$ mbi të gjitha shpejtësitë është unitare.

Funksioni i dëndësisë së probabilitetit (fdp) të shpejtësisë të shpejtësive të disa gazeve fisnike në një temperaturë prej 298,15 K (25 °C). Boshti y është në s/m në mënyrë që sipërfaqja nën çdo seksion të kurbës (që përfaqëson probabilitetin që shpejtësia të jetë në atë diapazon) është pa dimension.

Funksioni i shpërndarjes Maksuelliane për grimcat që lëvizin vetëm në një drejtim, nëse ky drejtim është x, është

$$f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)~dv_{x},$$

e cila mund të merret duke integruar formën tredimensionale të dhënë më sipër mbi dhe v_z .

Duke njohur simetrinë e $f(v)$, mund të integrohet mbi kënd të ngurtë dhe të shkruhet një shpërndarje probabiliteti të shpejtësive si funksion

$$f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right).$$

Ky funksion i densitetit të probabilitetit jep probabilitetin, për njësi të shpejtësisë, për të gjetur grimcën me shpejtësi afër v . Ky ekuacion është thjesht shpërndarja Maxwell–Boltzmann (e dhënë në infobox) me parametrin e shpërndarjes ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ Shpërndarja Maxwell–Boltzmann është ekuivalente me shpërndarjen chi me tre shkallë lirie dhe parametri të shkallës ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$

Ekuacioni diferencial i zakonshëm më i thjeshtë i plotësuar nga shpërndarja është:

$${\begin{aligned}&0=kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT),\\[4pt]&f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m}{2kT}}\right);\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&0=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]&f(1)={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Simulimi i një gazi 2D që relaksohet drejt një shpërndarjeje të shpejtësisë Maxwell–Boltzmann

$$v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.$$

Shpejtësitë tipike

Shpërndarja Maxwell–Boltzmann që përkon me atmosferën diellore. Masat e grimcave janë një masë protonike, m p = 1,67 × 10 −27 kg ≈ 1 Da, dhe temperatura është temperatura efektive e fotosferës së Diellit, T = 5800 K. ${\tilde {V}}$, ${\bar {V}}$, dhe V_rms shënojnë përkatësisht shpejtësitë më të mundshme, mesatare dhe mesatare katrore. Vlerat e tyre janë ${\tilde {V}}$ ≈ 9.79, ${\bar {V}}$ ≈ 11.05, dhe V rms ≈ 12.00 km/s .

Shpejtësia mesatare $\langle v\rangle$, shpejtësia më e mundshme ( moda ) v_p, dhe shpejtësia mesatare e katrorit ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ mund të merret nga vetitë e shpërndarjes Maxwell.

Kjo funksionon mirë për gazet pothuajse ideale, monoatomike si heliumi, por edhe për gazrat molekularë si oksigjeni diatomik. Kjo është për shkak se pavarësisht kapacitetit më të madh të nxehtësisë (energjia më e madhe e brendshme në të njëjtën temperaturë) për shkak të numrit më të madh të shkallëve të lirisë, energjia e tyre kinetike përkthimore (dhe kështu shpejtësia e tyre) është e pandryshuar.

• Shpejtësia më e mundshme, v p, është shpejtësia që ka më shumë gjasa të zotërohet nga çdo molekulë (me të njëjtën masë m ) në sistem dhe korrespondon me vlerën maksimale ose mënyrën e f ( v ) . Për ta gjetur atë, ne llogarisim derivatin:
• ${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)=0$
• ${\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}$
• $${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)=0$$

Për azotin diatomik ( , përbërësi kryesor i ajrit ) në temperaturën e dhomës ( 300 ), kjo jep

$$v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.$$

• Shpejtësia mesatare është vlera e pritur e vendosjes së shpërndarjes së shpejtësisë ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ :
  $${\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$
• Shpejtësia mesatare katrore $\langle v^{2}\rangle$ është momenti i parë i rendit të dytë i shpërndarjes së shpejtësisë. "Shpejtësia mesatare katrore e rrënjës" $v_{\mathrm {rms} }$ është rrënja katrore e shpejtësisë mesatare katrore, që korrespondon me shpejtësinë e një grimce me energji mesatare kinetike, vendosja ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ :
  $${\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$

$$c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},$$

Në përmbledhje, shpejtësitë tipike lidhen si më poshtë:

$$c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,$$

Shpejtësia rrënjë e mesatares së katrorëve lidhet drejtpërdrejt me shpejtësinë e zërit c në gaz, nga

$${\begin{aligned}v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle &=\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}$$

ku ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$ është indeksi adiabatik, f është numri i shkallëve të lirisë së molekulës individuale të gazit. Për shembullin e mësipërm, azoti diatomik ( ajri i përafërt) në 300, $f=5$ dhe

$$f({\vec {v}})\equiv \left[{\frac {2\pi kT}{m}}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{kT}}\right).$$

vlera e vërtetë për ajrin mund të përafrohet duke përdorur peshën mesatare molare të ajrit ( 29 ), duke dhënë 347 në 300 (korrigjimet për lagështinë e ndryshueshme janë të rendit nga 0,1% deri në 0,6%).

Shpejtësia mesatare relative

$${\begin{aligned}v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle &=\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}$$

ku është shpërndarja tredimensionale e shpejtësisë

$$f({\vec {v}})\equiv \left[{\frac {2\pi kT}{m}}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{kT}}\right).$$

Integrali mund të zgjidhet lehtësisht duke ndryshuar në koordinata ${\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ dhe ${\vec {U}}={\tfrac {{\vec {v}}_{1}\,+\,{\vec {v}}_{2}}{2}}.$

Derivimi dhe shpërndarjet përkatëse

Statistikat e Maxwell–Boltzmann-it

Derivimi origjinal në 1860 nga James Clerk Maxwell ishte një argument i bazuar në përplasjet molekulare të teorisë kinetike të gazeve si dhe në simetri të caktuara në funksionin e shpërndarjes së shpejtësisë; Maxwell dha gjithashtu një argument të hershëm se këto përplasje molekulare sjellin një prirje drejt baraspeshës. Pas Maxwell-it, Ludwig Boltzmann në 1872 gjithashtu nxori shpërndarjen në baza mekanike dhe argumentoi se gazrat duhet të priren me kalimin e kohës drejt kësaj shpërndarjeje, për shkak të përplasjeve (shih teoremën H ). Ai më vonë (1877) nxori shpërndarjen përsëri nën kuadrin e termodinamikës statistikore . Derivimet në këtë seksion janë përgjatë linjave të derivimit të Boltzmann-it të vitit 1877, duke filluar me rezultatin e njohur si statistika Maxwell–Boltzmann (nga termodinamika statistikore). Statistikat e Maxwell–Boltzmann-it japin numrin mesatar të grimcave që gjenden në një mikrogjendje të caktuar me një grimcë. Sipas supozimeve të caktuara, logaritmi i fraksionit të grimcave në një mikrogjendje të caktuar është linear në raportin e energjisë së asaj gjendje me temperaturën e sistemit: ka konstante $k$ dhe $C$ e tillë që për të gjithë $i$ ,

$$-\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.$$

Supozimet e këtij ekuacioni janë se grimcat nuk ndërveprojnë dhe se ato janë klasike; kjo do të thotë se gjendja e secilës grimcë mund të konsiderohet e pavarur nga gjendjet e grimcave të tjera. Për më tepër, grimcat supozohen të jenë në baraspeshë termike.

Kjo lidhje mund të shkruhet si një ekuacion duke futur një faktor normalizues:Stampa:NumBlk${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {e^{\left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}}{\displaystyle \sum _{j}e^{\left(-{\tfrac {E_{j}}{kT}}\right)}}}$

ku:

• N_i është numri i pritur i grimcave në mikrogjëndjen njëgrimcore i,
• N është numri total i grimcave në sistem,
• E_i është energjia e mikrogjëndjes i,
• shuma mbi indeksin j merr në konsideratë të gjitha mikrogjendjet,
• T është temperatura e baraspeshës së sistemit,
• k është konstantja e Bolcmanit.

Emëruesi në ekuacionin ( 1 ) është një faktor normalizues në mënyrë që raportet $N_{i}:N$ mblidhen deri në njësi - me fjalë të tjera është një lloj funksioni particioni (për sistemin me një grimcë, jo funksioni i zakonshëm i ndarjes i të gjithë sistemit).

Për shkak se shpejtësia (vektor) dhe shpejtësia (vlerë absolute) janë të lidhura me energjinë, ekuacioni ( 1 ) mund të përdoret për të nxjerrë marrëdhëniet midis temperaturës dhe shpejtësisë së grimcave të gazit. Gjithçka që nevojitet është të zbulohet dendësia e mikrogjendjeve në energji, e cila përcaktohet duke ndarë hapësirën e momentit në rajone me madhësi të barabartë.

Shpërndarja për vektorin e momentit

Energjia potenciale merret zero, kështu që e gjithë energjia është në formën e energjisë kinetike. Marrëdhënia midis energjisë kinetike dhe momentit për grimcat masive jo- relativiste ështëStampa:NumBlk$E={\frac {p^{2}}{2m}}$

ku p² është katrori i vektorit të momentit p = [p_x, p_y, p_z]. Prandaj, ne mund ta rishkruajmë ekuacionin ( 1 ) si:Stampa:NumBlk${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left(-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right)$

ku:

• Z është funksioni i particionit, që i përkon numëruesit në (1);
• m është masa molekulare e gazit;
• T është temperatura termodinamike;
• k është konstantja e Bolcmanit.

Kjo shpërndarje e N_i : N është e përpjesshme me funksionin e dendësisë së probabilitetit f_p për gjetjen e një molekule me këto vlera të përbërësve të momentit, pra:Stampa:NumBlk$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)$

Konstantja normalizuese mund të përcaktohet duke njohur se probabiliteti që një molekulë të ketë një moment të caktuar duhet të jetë 1. Integrimi i eksponencialit në ( 4 ) mbi të gjitha p_x, p_y dhe p_z jep një faktor prej

$$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}}{\Bigr ]}^{3}$$

Kështu që funksioni i shpërndarjes së normalizuar është:Stampa:Equation box 1$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)$

Shpërndarja shihet të jetë prodhimi i tre ndryshoreve të pavarura të shpërndara normalisht $p_{x}$, $p_{y}$, dhe $p_{z}$, me variancë $mkT$ . Për më tepër, mund të shihet se madhësia e impulsit do të shpërndahet si një shpërndarje Maxwell-Boltzmann, me $a={\sqrt {mkT}}$ . Shpërndarja Maxwell-Boltzmann për impulsin (ose në mënyrë të barabartë për shpejtësitë) mund të merret më thelbësisht duke përdorur teoremën H në baraspeshë brenda kornizës së teorisë kinetike të gazeve .

Shpërndarja për energjinë

Shpërndarja e energjisë duket imponuarStampa:NumBlk$f_{E}(E)\,dE=f_{p}({\textbf {p}})\,d^{3}{\textbf {p}},$

ku $d^{3}{\textbf {p}}$ është vëllimi pafundësisht i vogël hapësinor fazor i impulsit që i përkon intervalit të energjisë dE. Përdorimi i simetrisë sferike të lidhjes së dispersionit energji-moment $E={\tfrac {|{\textbf {p}}|^{2}}{2m}},$ kjo mund të shprehet në terma dE siStampa:NumBlk$d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE$

Duke përdorur atëherë ( 8 ) në ( 7 ) dhe duke shprehur gjithçka në termat e energjisë E, marrim

$${\begin{aligned}f_{E}(E)dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[2pt]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)\,dE\end{aligned}}$$

dhe në fundStampa:Equation box 1$f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)$ Meqenëse energjia është e përpjesshme me shumën e katrorëve të tre përbërësve të impulsit të shpërndarë normalisht, kjo shpërndarje energjie mund të shkruhet në mënyrë të njëvlerëshme si një shpërndarje gama, duke përdorur një parametër të formës, $k_{\text{shape}}=3/2$ dhe një parametër shkallë, $\theta _{\text{scale}}=kT.$

Duke përdorur teoremën e ekuiparticionit, duke pasur parasysh se energjia shpërndahet në mënyrë të barabartë midis të tre shkallëve të lirisë në baraspeshë, ne gjithashtu mund të ndajmë $f_{E}(E)dE$ në një grup shpërndarjesh hi-katrore, ku energjia për shkallë lirie, ε shpërndahet si një shpërndarje chi-katrore me një shkallë lirie,

$$f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon kT}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)\,d\varepsilon$$

Në baraspeshë, kjo shpërndarje do të jetë e vërtetë për çdo numër shkallësh lirie. Për shembull, nëse grimcat janë dipole me masë të ngurtë me impuls dipoli fiks, ato do të kenë tre shkallë lirie përkthimore dhe dy shkallë lirie rrotulluese shtesë. Energjia në secilën shkallë lirie do të përshkruhet sipas shpërndarjes së mësipërme hi-katrore me një shkallë lirie, dhe energjia totale do të shpërndahet sipas një shpërndarje chi-katrore me pesë shkallë lirie. Kjo ka implikime në teorinë e nxehtësisë specifike të një gazi.

Shpërndarja për vektorin e shpejtësisë

Duke pranuar që densiteti i probabilitetit të shpejtësisë f_v është i përpjesshëm me funksionin e densitetit të probabilitetit të impulsit:

$$f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v$$

dhe duke përdorur p = mv marrimStampa:Equation box 1

$$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right)$$

që është shpërndarja e shpejtësisë Maxwell–Boltzmann. Probabiliteti për të gjetur një grimcë me shpejtësi në elementin pambarimisht të vogël [dv_x, dv_y, dv_z] rreth shpejtësisë v = [v_x, v_y, v_z] është

$$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$$

Ashtu si impulsi, kjo shpërndarje duket se është prodhimi i tre ndryshoreve të pavarura të shpërndara normalisht $v_{x}$, $v_{y}$, dhe $v_{z}$, por me variancë ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$ . Mund të shihet gjithashtu se shpërndarja e shpejtësisë Maxwell-Boltzmann për shpejtësinë vektoriale [v_x, v_y, v_z]është prodhimi i shpërndarjeve për secilin nga tre drejtimet:

$$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})$$

ku shpërndarja për një drejtim të vetëm jepet nga formula

$$f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2kT}}\right).$$

Çdo përbërës i vektorit të shpejtësisë ka një shpërndarje normale me mesataren $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ dhe shmangie standarde ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$, kështu që vektori ka një shpërndarje normale 3-dimensionale, një lloj i veçantë i shpërndarjes normale multivariate, me mesatare $\mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0}$ dhe kovariancë ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$, ku $I$ është matrica identitare 3 × 3 .

Shpërndarja për shpejtësinë

Shpërndarja Maxwell–Boltzmann për shpejtësinë vjen menjëherë nga shpërndarja e vektorit të shpejtësisë, më sipër. Vini re se shpejtësia është

$$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$$

dhe elementi i vëllimit në koordinata sferike

$$dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega$$

ku $\phi$ dhe $\theta$ janë këndet e koordinatave sferike të vektorit të shpejtësisë. Integrimi i funksionit të densitetit të probabilitetit të shpejtësisë mbi këndet e ngurta $d\Omega$ jep një faktor shtesë të $4\pi$ . Shpërndarja e shpejtësisë me zëvendësimin e shpejtësisë për shumën e katrorëve të përbërësve të vektorit:Stampa:Equation box 1

$$f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)$$

Në hapësirën n -dimensionale

Në hapësirën n -dimensionale, shpërndarja Maxwell–Boltzmann merr trajtën:

$$f(v)~d^{n}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {n}{2}}\,\exp \left(-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}\right)~d^{n}v$$

Shpërndarja e shpejtësisë bëhet:

$$f(v)~dv={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\times v^{n-1}~dv$$

Rezultati integral i mëposhtëm është i dobishëm:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)}{2}}\end{aligned}}$$

ku $\Gamma (z)$ është funksioni Gama . Ky rezultat mund të përdoret për të llogaritur momentet e funksionit të shpërndarjes së shpejtësisë:

$${\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\end{aligned}}$$

e cila është vetë shpejtësia mesatare ${\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

$${\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}$$

e cila jep shpejtësinë e rrënjës-mesatare-katrore ${\textstyle v_{\rm {rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nkT}{m}}}.}$

Derivati i funksionit të shpërndarjes së shpejtësisë:

$${\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0$$

Kjo jep shpejtësinë më të mundshme ( moda ) ${\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)kT}{m}}}.}$

Shiko gjithashtu

• Ekuacioni kuantik Boltzmann
• Statistikat e Maxwell–Boltzmann
• Shpërndarja Maxwell–Jüttner
• Shpërndarja Boltzmann
• Shpërndarja e Rayleigh
• Teoria kinetike e gazeve