Funksioni i gabimit

  Në matematikë, funksioni i gabimit (i quajtur edhe funksioni i gabimit të Gausit ), i shënuar shpesh me erf, është një funksion kompleks i një ndryshoreje komplekse të përcaktuar si:

Funksioni i gabimit

$\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.$

Disa autorë përcaktojnë $\operatorname {erf}$ pa faktorin $2/{\sqrt {\pi }}$ . Ky integral jo-elementar është një funksion sigmoid që haset shpesh në probabilitet, statistikë dhe ekuacione diferenciale të pjesshme . Në shumë prej këtyre zbatimeve, argumenti i funksionit është një numër real. Nëse argumenti i funksionit është real, atëherë vlera e funksionit është gjithashtu reale.

Në statistika, për vlerat jonegative të $x$, funksioni i gabimit ka interpretimin e mëposhtëm: për një ndryshore të rastësishme $Y$ që shpërndahet normalisht me mesatare 0 dhe shmangie standarde ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , $\mathrm {erf} (x)$ është probabiliteti që $Y$të jetë në segmentin $[-x,x]$.

Dy funksione të lidhura ngushtë janë funksioni i gabimit plotësues ( erfc ) i përcaktuar si

$\operatorname {erfc} z=1-\operatorname {erf} z,$

dhe funksioni i gabimit imagjinar ( erfi ) i përcaktuar si

$\operatorname {erfi} z=-i\operatorname {erf} iz,$

ku i është njësia imagjinare .

Emri

Emri "funksioni i gabimit" dhe shkurtesa e tij erf u propozuan nga JWL Glaisher në 1871 për shkak të lidhjes së tij me "teorinë e probabilitetit, dhe veçanërisht teorinë e gabimeve ". Plotësi i funksionit të gabimit u diskutua gjithashtu nga Glaisher në një botim të veçantë në të njëjtin vit. Për "ligjin e lehtësirave" të gabimeve dendësia e të cilave jepet nga

$f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-cx^{2}}$

( shpërndarja normale ), Glaisher llogarit probabilitetin e një gabimi që shtrihet midis p dhe q si:

$\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}e^{-cx^{2}}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).$

Vizatimi i funksionit të gabimit Erf(z) në planin kompleks nga $-2-2i$ në $2+2i$ me ngjyra të krijuara me funksionin Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Zbatimet

Kur rezultatet e një serie matjesh përshkruhen nga një shpërndarje normale me shmangie standarde $\sigma$ dhe pritje matematike 0, atëherë $\mathrm {erf} ({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}})$është probabiliteti që gabimi i një matje të vetme të shtrihet mes $-a$ dhe $a$ për $a$ pozitive. Kjo është e dorës për shëmbull kur përcaktohet shkalla e gabimit të biteve në një sistem dixhital komunikimi.

Funksionet e gabimit dhe gabimit plotësues ndodhin, për shembull, në zgjidhjet e ekuacionit të nxehtësisë kur kushtet kufitare jepen nga funksioni i hapit Heaviside .

Funksioni i gabimit dhe përafrimet e tij mund të përdoren për të vlerësuar rezultate që qëndrojnë me probabilitet të lartë ose me probabilitet të ulët. Jepet një ndryshore e rastit $X{\texttt {~}}N(\mu ,\sigma )$ (një shpërndarje normale me mesatare μ dhe devijim standard σ ) dhe një konstante$L\leq \mu$ :

${\begin{aligned}\Pr[X\leq L]&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\\&\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\end{aligned}}$

ku A dhe B janë konstante numerike të caktuara. Nëse L është mjaftueshëm larg nga mesatarja, konkretisht $\mu -L\geq \sigma {\sqrt {\ln k}}$ atëherë:

$\Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}$

pra probabiliteti shkon në 0 kur k → ∞ .

Probabiliteti që $X$ të jetë në intervalin $[L_{a},L_{b}]$ mund të nxirret si

${\begin{aligned}\Pr[L_{a}\leq X\leq L_{b}]&=\int _{L_{a}}^{L_{b}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} {\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}-\operatorname {erf} {\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).\end{aligned}}$

Vetitë

 

Grafikët në rrafshin kompleks

I integrueshmi exp(−z²)

erf z

Vetia $\mathrm {erf} (-x)=-\mathrm {erf} (x)$ do të thotë që funksioni i gabimit është një funksion tek . Kjo rezulton drejtpërdrejt nga fakti se i integrueshmi $e^{-t^{2}}$ është një funksion çift (integrali i pacaktuar i një funksioni çift që është zero në origjinë është një funksion tek dhe anasjelltas).

Meqenëse funksioni i gabimit është një funksion i tërë që merr numrat realë në numra realë, për çdo numër kompleks $z$ :

$\operatorname {erf} {\overline {z}}={\overline {\operatorname {erf} z}}$

ku z është i konjuguari kompleks i $z$ .

I integrueshmi $f(z)=e^{-z^{2}}$ dhe $f(z)=\mathrm {erf} (z)$ janë paraqitur në planin kompleks z në figurat djathtas me ngjyrosjen e domenit .

Funksioni i gabimit në +∞ është saktësisht 1 (shih integralin Gaussian ). Në boshtin real, $\mathrm {erf} (z)$ i afrohet unitetit në z → +∞ dhe −1 në z → −∞ . Në boshtin imagjinar, tenton drejt ±i ∞ .

Seria e Tejlorit

Funksioni i gabimit është një funksion i tërë ; ai nuk ka pika dyshimi (përveç asaj në pafundësi) dhe zgjerimi i tij Tejlor konvergjon gjithmonë, por është i njohur në mënyrë të famshme "[...] për konvergjencën e tij të keqe nëse $x>1$ ."

Integrali përcaktues nuk mund të vlerësohet në formë të mbyllur për sa i përket funksioneve elementare (shih teoremën e Liouville ), por duke zgjeruar integrandin $e^{-z^{2}}$ në serinë e tij Meklauren dhe duke integruar term pas termi, fitohet seria Meklauren e funksionit të gabimit si:

${\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}$

që vlen për çdo numër kompleks z . Termat e emëruesit janë seria A007680 në OEIS .

Për llogaritjen iterative të serisë së mësipërme, formulimi alternativ i mëposhtëm mund të jetë i dobishëm:

${\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}\end{aligned}}$

Funksioni i gabimit imagjinar ka një seri shumë të ngjashme Meklauren, e cila është:

${\begin{aligned}\operatorname {erfi} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}$

që vlen për çdo numër kompleks z .

Derivati dhe integrali

Derivati i funksionit të gabimit rrjedh menjëherë nga përkufizimi i tij:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.$

Nga kjo, derivati i funksionit të gabimit imagjinar është gjithashtu i menjëhershëm:

${\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.$

Një antiderivativ i funksionit të gabimit, që arrihet nga integrimi me pjesë, është

$z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.$

Një antiderivativ i funksionit të gabimit imagjinar, që arrihet gjithashtu nga integrimi me pjesë, është

$z\operatorname {erfi} z-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.$

Derivatet e rendeve të larta jepen nga

$\operatorname {erf} ^{(k)}z={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1}}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots$

Tabela e vlerave

x	erf x	1 − erf x
0	0	1
0.02	0.022564575	0.977435425
0.04	0.045111106	0.954888894
0.06	0.067621594	0.932378406
0.08	0.090078126	0.909921874
0.1	0.112462916	0.887537084
0.2	0.222702589	0.777297411
0.3	0.328626759	0.671373241
0.4	0.428392355	0.571607645
0.5	0.520499878	0.479500122
0.6	0.603856091	0.396143909
0.7	0.677801194	0.322198806
0.8	0.742100965	0.257899035
0.9	0.796908212	0.203091788
1	0.842700793	0.157299207
1.1	0.880205070	0.119794930
1.2	0.910313978	0.089686022
1.3	0.934007945	0.065992055
1.4	0.952285120	0.047714880
1.5	0.966105146	0.033894854
1.6	0.976348383	0.023651617
1.7	0.983790459	0.016209541
1.8	0.989090502	0.010909498
1.9	0.992790429	0.007209571
2	0.995322265	0.004677735
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0.001862846
2.3	0.998856823	0.001143177
2.4	0.999311486	0.000688514
2.5	0.999593048	0.000406952
3	0.999977910	0.000022090
3.5	0.999999257	0.000000743