Shpërndarja e Bates

Në statistikën e biznesit dhe teorinë e probabilitetit, shpërndarja e Bates, e quajtur sipas Grace Bates, është një shpërndarje probabiliteti e mesatares së një numri ndryshoresh rasti statistikisht të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin e njësisë . Kjo shpërndarje lidhet me shpërndarjen uniforme, trekëndore dhe normale Gausiane, dhe ka zbatime në inxhinierinë e transmetimit për përmirësimin e sinjalit. Shpërndarja Bates ndonjëherë ngatërrohet me shpërndarjen Irwin–Hall, e cila është shpërndarja e shumës (jo mesatares ) e n variablave të rastësishme të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme nga 0 në 1. Kështu, të dy shpërndarjet janë thjesht versione të njëra-tjetrës pasi ato ndryshojnë vetëm në shkallë.

Përkufizimi

Shpërndarja Bates është shpërndarja e vazhdueshme e probabilitetit të mesatares, X, të n ndryshoreve të rastit të pavarura, të shpërndara në mënyrë të njëtrajtshme në intervalin njësi, U _k :

$X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.$

Ekuacioni që përcakton funksionin e dendësisë së probabilitetit të një ndryshore rasti të shpërndarjes Bates X është

$f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)$

për x në intervalin (0,1), dhe zero diku tjetër. Këtu sgn( nx − k ) tregon funksionin e shenjës :

$\operatorname {sgn}(nx-k)={\begin{cases}-1&nx<k\\0&nx=k\\1&nx>k.\end{cases}}$

Në përgjithësi, mesatarja e n ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin [ a, b ]

$X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b).$

do të kishte funksionin e densitetit të probabilitetit (PDF) prej

$g(x;n,a,b)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ for }}a\leq x\leq b$

Pritja matematike e një ndryshore rasti X me ligj Bejtsi është:

$E[X]={\frac {a+b}{2}}$

Nga ana tjetër varianca merret si:

$D[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12n}}$

Zgjerime dhe zbatime

Me disa modifikime, shpërndarja Bates përfshin shpërndarjen uniformë, trekëndëshe dhe, duke marrë kufirin kur n shkon në pafundësi, gjithashtu shpërndarjen normale gausiane .

Shpërndarja e studentit ofron një shtrirje natyrale të shpërndarjes normale gausiane për modelimin e të dhënave të bishtit të gjatë . Një shpërndarje Bates që është përgjithësuar siç u tha më parë përmbush të njëjtin qëllim për të dhënat e shkurtra .

Shpërndarja Bates ka një aplikim për formimin e rrezeve dhe sintezën e modeleve në fushën e inxhinierisë elektrike. U zbulua se shpërndarja rrit gjerësinë e rrezes së lobit kryesor, duke përfaqësuar një rritje në sinjalin e modelit të rrezatimit në një drejtim të vetëm, ndërsa njëkohësisht redukton nivelet, zakonisht të padëshirueshme, të lobit anësor .