Shpërndarja Irwin–Hall

Në probabilitet dhe statistikë, shpërndarja Irwin–Hall, e emërtuar sipas Joseph Oscar Irwin dhe Philip Hall, është një shpërndarje probabiliteti për një ndryshore të rastit të përcaktuar si shuma e një numri ndryshoresh rasti të pavarura, secila prej të cilave ka një shpërndarje uniforme . Për këtë arsye njihet edhe si shpërndarja uniforme e shumës .

Shpërndarja Irwin–Hall

Probability density function Probability mass function for the distribution
Cumulative distribution function
Parametrat	n ∈ N0
Mbështetës	$x\in [0,n]$
FDGJ	${\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}$
FGSH	${\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n}$
Vlera e pritur	${\frac {n}{2}}$
Mediana	${\frac {n}{2}}$
Moda	${\begin{cases}{\text{çdo vlerë në }}[0,1]&{\text{për }}n=1\\{\frac {n}{2}}&{\text{përndryshe}}\end{cases}}$
Varianca	${\frac {n}{12}}$
Shtrirja	0
Kurtoza e tepërt	$-{\tfrac {6}{5n}}$
FGJM	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}$
FK	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}$

Kjo shpërndarje ndonjëherë ngatërrohet me shpërndarjen Bates, e cila është mesatarja (jo shuma ) e n ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme nga 0 në 1.

Përkufizimi

Shpërndarja Irwin–Hall është shpërndarja e vazhdueshme e probabilitetit për shumën e n ndryshoreve rasti të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike U<i id="mwIg">(</i> 0,<span typeof="mw:Entity" id="mwIw"> </span>1) :

$X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.$

Funksioni i dendësisë të probabilitetit (pdf) për $0\leq x\leq n$ jepet nga

$f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)_{+}^{n-1}$

Përafrimi i një shpërndarjeje normale

Me Teoremën Qendrore Limite, ndërsa n rritet, shpërndarja Irwin-Hall përafron gjithnjë e më shumë një shpërndarje normale me mesataren $\mu =n/2$ dhe variancë $\sigma ^{2}=n/12$ . Për të përafruar shpërndarjen standarde Normale $\phi (x)={\mathcal {N}}(\mu =0,\sigma ^{2}=1)$, shpërndarja Irwin–Hall mund të përqendrohet duke e zhvendosur atë me mesataren e saj prej n/2, dhe duke e shkallëzuar rezultatin me rrënjën katrore të variancës së saj:

$\phi (x){\overset {n\gg 0}{\approx }}{\sqrt {\frac {n}{12}}}f_{X}\left(x{\sqrt {\frac {n}{12}}}+{\frac {n}{2}};n\right)$