Shpërndarja e ngritur e kosinusit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja e ngritur e kosinusit është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e mbështetur në intervalin $[\mu -s,\mu +s]$ . Funksioni i dendësisë së probabilitetit (PDF) është

Cumulative distribution function
Parametrat	$\mu \,$(real) $s>0\,$(real)
Mbështetës	$x\in [\mu -s,\mu +s]\,$
	${\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$
FGSH	${\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]$
Vlera e pritur	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
	$s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,$
Shtrirja	0
Kurtoza e tepërt	${\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0.59376\ldots \,$
FGJM	${\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}$
FK	${\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}$

$f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$

për $\mu -s\leq x\leq \mu +s$ dhe zero ndryshe. Funksioni mbledhës i shpërndarjes (CDF) është

$F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]$

për $\mu -s\leq x\leq \mu +s$ dhe zero për $x<\mu -s$ dhe unitetin për $x>\mu +s$ .

Momentet e shpërndarjes së ngritur të kosinusit janë disi të të ndërlikuara në rastin e përgjithshëm, por janë thjeshtuar ndjeshëm për shpërndarjen standarde të kosinusit të ngritur. Shpërndarja standarde e kosinusit të ngritur është vetëm shpërndarja e kosinusit të ngritur me $\mu =0$ dhe $s=1$ . Për shkak se shpërndarja standarde e kosinusit të ngritur është një funksion çift, momentet tek janë zero. Momentet çift jepen nga:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}$

ku $\,_{1}F_{2}$ është një funksion hipergjeometrik i përgjithësuar .