Wikipedia

Mekanika e Lagranzhit: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
[Redaktim i kontrolluar][Redaktim i kontrolluar]
← Redaktim më i vjetërNdryshimi më pas →
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
Adding 1 book for Wikipedia:Vërtetueshmëria (20211227)) #IABot (v2.0.8.5) (GreenC bot
Etiketa: Reverted
Rreshti 1:
{{NavigationiFizika
|Emri = Mekanika klasike
|Etiketë = <math>\mathbf{Fmathbf__L_CURLY__F} = \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d}}{__L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}(m \mathbf{v}mathbf__L_CURLY__v__R_CURLY__)</math><br /><small>[[Ligjet e Njutonit#Ligji idytë i Njutonit|Ligji i dytë i Njutonit]]</small>
|KyçItems = [[Historia e mekanikës klasike]]
|Temë1 = Degët
Rreshti 18:
|Temë5 = Shkencëtarët
|Items5 = [[Isaac Newton|Isak Njutoni]]{{·w}}[[Jeremiah Horrocks]]{{·w}}[[Leonhard Euler]]{{·w}}[[Jean le Rond d'Alembert]]{{·w}}[[Alexis Clairaut]]{{·w}}[[Joseph Louis Lagrange]]{{·w}}[[Pierre-Simon Laplace]]{{·w}}[[William Rowan Hamilton]]{{·w}}[[Siméon-Denis Poisson]]
|cTemë={__L_CURLY__{{cTemë}}}__R_CURLY__
}}
 
Rreshti 28:
Ekuacionet e lëvizjes në mekanikën e Lagranzhit quhen ''Ekuacionet e Lagranzhit'', gjithashtu ato njihen si ''[[Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit|Ekuacionet e Ojler–Lagranzhit]]''. Më poshtë, ne do të japim një derivim të ekuacioneve të Lagranzhit. Vine re se në këtë kontekst, në vend të U për energjinë potenciale përdore V, dhe T zëvendëson K për energjinë kinetike. Shikoni referencat për derivime më të detajuara ose më të përgjithshme.
 
Duke filluar me [[Parimi i D'Alembertit|principin e D'Alembertit]] për [[Puna virtuale|punën virtuale]] të forcave të aplikuara, <math>\mathbf{F}_imathbf__L_CURLY__F__R_CURLY___i</math>, dhe forcës [[inercia]]le në një sistem joinercial tre dimensional që konsiston prej ''n'' thërrmijash, lëvizja e së cilave është konsistonte me kufizimet që janë vënë mbi sistemin:<ref name="Torby1984">{{cite book |last=Torby |first=Bruce |title=Advanced Dynamics for Engineers |url=https://archive.org/details/advanceddynamics0000torb |series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |language=En |isbn=0-03-063366-4 |chapter=Energy Methods}}</ref>
 
:<math>\delta W = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n ( \mathbf {F__L_CURLY__F__R_CURLY_____L_CURLY__i}_{i} - m_i \mathbf{a}_imathbf__L_CURLY__a__R_CURLY___i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0</math>.
::<math>\delta W</math> është puna virtuale,
::<math>\delta \mathbf r_i</math> është zhvendosja virtuale e sistemit, konsistonte me kufizimet,
Rreshti 41:
Nga dy termat e mëposhtme :
 
:<math>\delta W = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n \mathbf {F__L_CURLY__F__R_CURLY_____L_CURLY__i}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n m_i \mathbf{a}_imathbf__L_CURLY__a__R_CURLY___i \cdot \delta \mathbf r_i = 0</math>.
 
Tani le të hipotezojmë se ekuacionet e mëposhtme të transformimit nga ''m'' [[Koordinatat e përgjithshme|koordinata të përgjithshme]] janë pavarura, <math>q_j</math>, hold:<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\mathbf{r}_1mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___1=\mathbf{r}_1mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___1(q_1, q_2, ..., q_m, t)</math>,
:<math>\mathbf{r}_2mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___2=\mathbf{r}_2mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___2(q_1, q_2, ..., q_m, t)</math>, ...
:<math>\mathbf{r}_nmathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___n=\mathbf{r}_nmathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___n(q_1, q_2, ..., q_m, t)</math>.
::<math>m</math> (pa subskript) tregon numrin përgjithshme të [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatave të përgjithshme]].
 
Një shprehje për [[zhvendosja virtuale|zhvendosjen virtuale]] (diferenciali), <math>\delta \mathbf{r}_imathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___i</math>, të sistemit
 
:<math>\delta \mathbf{r}_imathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___i = \sum_{jsum___L_CURLY__j=1}1__R_CURLY__^m \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r__L_CURLY__r__R_CURLY___i}_i} {__L_CURLY__\partial q_j} \delta q_j</math>.
::<math>j</math> është një numër që përdoret për të treguar (përmes subskriptit) një variabël që i korrespondon një [[Koordinatat e përgjithshme|koordinate të përgjithshme]].
 
Forcat e aplikuar mund të shprehen në koordinata të përgjithshme si [[Forcat e përgjithshme|forca të përgjithshme]], <math>Q_j</math>,<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>Q_j = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n \mathbf {F__L_CURLY__F__R_CURLY_____L_CURLY__i}_{i} \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r__L_CURLY__r__R_CURLY___i}_i} {__L_CURLY__\partial q_j}q_j__R_CURLY__</math>.
 
Duke kombinuar ekuacionet per <math>\delta W</math>, <math>\delta \mathbf{r}_imathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___i</math>, dhe <math>Q_j</math> ne marrim rezultatin e mëposhtëm pasi tërheqim shumën jashtë prodhimit skalar nga termi i dyte:<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\delta W = \sum_{jsum___L_CURLY__j=1}1__R_CURLY__^m Q_j \delta q_j - \sum_{jsum___L_CURLY__j=1}1__R_CURLY__^m \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n m_i \mathbf{a}_imathbf__L_CURLY__a__R_CURLY___i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r__L_CURLY__r__R_CURLY___i}_i} {__L_CURLY__\partial q_j} \delta q_j = 0</math>.
 
Duke zëvendësuar me rezultatin nga relacionet e energjisë kinetike në mënyrë që të ndyshojmë forcat inerciale në një funksion të energjisë kinetike ne marrim <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\delta W = \sum_{jsum___L_CURLY__j=1}1__R_CURLY__^m Q_j \delta q_j - \sum_{jsum___L_CURLY__j=1}1__R_CURLY__^m \left ( \frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} \right ) - \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} \right ) \delta q_j = 0</math>.
 
Në ekuacionin e mësipërm, <math>\delta q_j</math> është arbitrare, edhe pse, sipas përcaktimit ajo është konsistonte me kushtet. Pra relacioni është i vërtetë për çdo term:<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>Q_j = \frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} \right ) - \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j}q_j__R_CURLY__</math>.
 
=== Relacioni i energjisë kinetike ===
[[Energjia kinetike]], <math>T</math>, për një sistem thërrmijash përcaktohet nga <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>T = \frac {1__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n m_i \mathbf {v}_i__L_CURLY__v__R_CURLY___i \cdot \mathbf {v}_i__L_CURLY__v__R_CURLY___i</math>.
 
Derivati pjesor i <math>T</math> në lidhje me [[derivati kohor|derivatin kohor]] të koordinatave të përgjithshme, <math>\dot{q}_jdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j</math>, është <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n m_i \mathbf {v}_i__L_CURLY__v__R_CURLY___i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {v__L_CURLY__v__R_CURLY___i}_i} {__L_CURLY__\partial \dot{q}_j}dot__L_CURLY__q__R_CURLY___j__R_CURLY__</math>.
 
Rezultati i mëparshëm është paksa i vështirë për tu parë. Si rezultat i [[rregullit të prodhimit]], derivati i një [[prodhimi skalar]] të përgjithshëm.
<math>\frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} ( \mathbf{f}mathbf__L_CURLY__f__R_CURLY__(x) \cdot \mathbf{g}mathbf__L_CURLY__g__R_CURLY__(x) )</math> eshte <math>\mathbf{f}mathbf__L_CURLY__f__R_CURLY__(x) \cdot \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \mathbf{g}mathbf__L_CURLY__g__R_CURLY__(x) + \mathbf{g}mathbf__L_CURLY__g__R_CURLY__(x) \cdot \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \mathbf{f}mathbf__L_CURLY__f__R_CURLY__(x)</math> Ky rezultat i përgjithshëm mund të shikohet duke kaluar në një [[Sistemi koordinativ Kartezian|sistem koordinativ Kartezian]], meqenëse prodhimi skalar atje është vetëm një shumë term-pas-termi , si dhe gjithashtu nga fakti që derivati i shumës është shuma e derivateve. Në rastin tonë , '''f''' dhe '''g''' janë të barabarta me '''v''', i cili është shkaku pse faktori një e dyta zhduket.
 
Sipas [[Rregulli i diferencimit zinxhir|rregullit të diferencimit zinxhir]] si dhe ekuacioneve të transformimit të dhëna më lart <math>\mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__</math>, derivati i saj kohor, <math>\mathbf{v}mathbf__L_CURLY__v__R_CURLY__</math>, eshte:<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\mathbf{v}_imathbf__L_CURLY__v__R_CURLY___i = \sum_{jsum___L_CURLY__j=1}1__R_CURLY__^m \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf{r}_i}{mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} \dot{q}_jdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j + \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf{r}_i}{mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial t}t__R_CURLY__</math>.
 
Së bashku me, përcaktimin e <math>\mathbf v_i</math> si dhe diferencialin e përgjithshëm, <math>d \mathbf {r}_i__L_CURLY__r__R_CURLY___i</math>, na sugjerojnë që <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {v}_i}{__L_CURLY__v__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} = \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j}q_j__R_CURLY__</math>.
 
[Duhet të kujtoni që : <math> \frac {__L_CURLY__\partial} {__L_CURLY__\partial {__L_CURLY__\dot{q}_kdot__L_CURLY__q__R_CURLY___k}} {A}{__L_CURLY__A__R_CURLY____L_CURLY__\dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___k}_k} = A </math>, si dhe është më e lehtë të shikosh rezultatin nëqoftëse zëvendësoni sabskriptet <math>j</math> me disa sabskripte të tjera <math>k</math>. Gjithashtu mbani mënd që në këtë shumë, ekziston vetëm një <math> {__L_CURLY__\dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___k}_k} </math>. ]
 
Duke zëvendësuar këtë relacion prapë tek shprehja për derivatin pjesor të <math>T</math> jep<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n m_i \mathbf v_i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j}q_j__R_CURLY__</math>.
 
Po të marrim derivatin kohor kemi <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} \right ) = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n \left [ m_i \mathbf a_i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} + m_i \mathbf {v}_i__L_CURLY__v__R_CURLY___i \cdot \frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} \right ) \right ]</math>.
 
Duke përdorur rregullin zinxhir <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} \right ) = \sum_{ksum___L_CURLY__k=1}1__R_CURLY__^m \frac {__L_CURLY__\partial^2 \mathbf r_i}{r_i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j \partial q_k} \dot{q_kdot__L_CURLY__q_k} + \frac {__L_CURLY__\partial^2 \mathbf r_i}{r_i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j \partial t}t__R_CURLY__</math>.
 
Nga shprehja për <math>\mathbf v_i</math>, ne shikojmë se <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} \right ) = \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {v}_i}{__L_CURLY__v__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j}q_j__R_CURLY__</math>.
 
Kjo lejon thjeshtësimin e termit të fundit ,<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} \right ) = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n \left [ m_i \mathbf a_i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} + m_i \mathbf {v}_i__L_CURLY__v__R_CURLY___i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {v}_i}{__L_CURLY__v__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} \right ]</math>.
 
Derivati pjesor i <math>T</math> në lidhje me koordinatat e përgjithshme , <math>q_j</math>, është <ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n m_i \mathbf {v}_i__L_CURLY__v__R_CURLY___i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {v__L_CURLY__v__R_CURLY___i}_i} {__L_CURLY__\partial q_j}q_j__R_CURLY__</math>.
 
[Rezultati i fundit mund të merret duke bërë një diferencim pjesor mbi përcaktimin e energjisë kinetike të dhënë nga ekuacioni i parë.] Dy ekuacionet e fundit mund të kombinohen për të dhënë për focat inerciale ne terma të energjisë kinetike:<ref name="Torby1984"/>
 
:<math>\frac {d}{d__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__d t} \left ( \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q__R_CURLY___j}_j} \right ) - \frac {__L_CURLY__\partial T}{T__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j} = \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n m_i \mathbf a_i \cdot \frac {__L_CURLY__\partial \mathbf {r}_i}{__L_CURLY__r__R_CURLY___i__R_CURLY____L_CURLY__\partial q_j}q_j__R_CURLY__</math>
 
== Ekuacionet e vjetra të Lagranzhit ==
Konsideroni një thërrmijë të vetme me [[masa|masë]] ''m'' dhe [[Pozicioni|vektor pozicioni]] <math>\mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__</math>, e cila lëviz nën veprimin e një [[Forca|force]] të aplikuar, <math>\mathbf{F}mathbf__L_CURLY__F__R_CURLY__</math>, e cila mund të shprehet si [[gradienti]] i një funksioni skalar të energjisë potenciale <math>V (\mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__,t)</math>:
 
:<math>\mathbf{Fmathbf__L_CURLY__F} = - \mathbf{mathbf__L_CURLY__\nabla} V.</math>
 
Një forcë e tillë është e pavarur nga derivate të rendit të tretë ose më të larta <math>\bold{r}bold__L_CURLY__r__R_CURLY__</math>, kështu që [[Ligjet e Njutonit|ligji i dytë i Njutonit]] formon një bashkësi [[Ekuacione diferenciale ordinere|ekuacionesh diferenciale ordinere]] të rendit të tretë. Pra, lëvizja e thërrmijës mund të përshkruhet në mënyrë komplete nga 6 variabla të pavarura, të cilat njihen si ''gradat e lirisë''. Një set variablash është <math>\{ \mathbf{r}_jmathbf__L_CURLY__r__R_CURLY___j, \dot{dot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}}_j | j = 1, 2, 3\}__R_CURLY__</math>, këto janë komponentet karteziane të <math>\mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__</math> dhe derivatet e tyre kohore, në një çast kohor (i.e. pozicioni (x,y,z) dhe shpejtësia <math>(v_x,v_y,v_z)</math>).
 
Më përgjithësisht, ne mund të punojmë në një bashkësi [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatash të përgjithshme]], <math>q_j</math>, dhe derivatet e tyre kohore, [[Koordinatat e përgjithshme#Shpejtësitë e përgjithshme dhe energjia kinetike|shpejtësitë e përgjithshme]], <math>\dot{q_j}dot__L_CURLY__q_j__R_CURLY__</math>. Vektori i pozicionit, <math>\mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__</math>, lidhet me koordinatat e përgjithshme me anë të ''ekuacioneve të transformimit'':
 
:<math>\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = \mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__(q_i , q_j , q_k, t).</math>
 
Për shembull, për një [[Lavjerrësi i thjeshtë|lavjerrës të thjeshtë]] me gjatësi ''l'', një zgjedhje logjike për koordinatat e përgjithshme është këndi i lavjerrësit nga vertikalja , θ, për të cilin ekuacionet e transformimit janë
 
:<math>\mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__(\theta, \dot{dot__L_CURLY__\theta} , t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)</math>.
 
Termi "[[Koordinatat e përgjithshme|koordinata të përgjithshme]]" ka mbetur nga periudha kur [[Sistemi koordinativ kartezian|koordinatat karteziane]] ishin të vetmet sisteme koordinativ.
 
Konsideroni një zhvendosje arbitrare <math>\delta \mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__</math> të thërrmijës. [[Puna mekanike|puna]] e bërë nga nga forca e aplikuar <math>\mathbf{F}mathbf__L_CURLY__F__R_CURLY__</math> është <math>W = \mathbf{Fmathbf__L_CURLY__F} \cdot \delta \mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__</math>. Duke përdorur ligjin e dytë të Njutonit, kemi:
 
:<math>\begin__L_CURLY__matrix__R_CURLY__
:<math>\begin{matrix}
\mathbf{Fmathbf__L_CURLY__F} \cdot \delta \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = m\ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__.
\end{matrix}end__L_CURLY__matrix__R_CURLY__</math>
 
Meqë puna është një madhësi fizikë skalare, ne duhet ta rishkruajmë këtë ekuacion në terma të koordinatave të përgjithshme dhe shpejtësive. Në anën e majte,
 
:<math>
\begin__L_CURLY__matrix__R_CURLY__
\begin{matrix}
\mathbf{Fmathbf__L_CURLY__F} \cdot \mathbf{mathbf__L_CURLY__\delta} \mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__
& = & - \mathbf{mathbf__L_CURLY__\nabla} V \cdot \displaystyle\sum_i {__L_CURLY__\partial \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\
& = & - \displaystyle\sum_{isum___L_CURLY__i,j} {__L_CURLY__\partial V \over \partial r_j} {__L_CURLY__\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\
& = & - \displaystyle\sum_i {__L_CURLY__\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\
\end__L_CURLY__matrix__R_CURLY__
\end{matrix}
</math>
 
Në anën e djathtë, duke bërë një ndryshim koordinatash, marrim :
 
<math>m \ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = m \sum_{isum___L_CURLY__i,j} \ddot{r_iddot__L_CURLY__r_i} {__L_CURLY__\partial r_i \over \partial q_j} \delta q_j </math>
 
Duke bërë një rirregullim të shprehjes kemi :
 
<math>m \ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = m \sum_j \left[ \sum_i \ddot{r_iddot__L_CURLY__r_i} {__L_CURLY__\partial r_i \over \partial q_j} \right] \delta q_j </math>
 
Tani, aplikojmë teknikën e integrimit me pjesë në "lidhje" me t :
 
<math>m \ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[ {__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t} \left( \dot{r_idot__L_CURLY__r_i} {__L_CURLY__\partial r_i \over \partial q_j} \right) - \dot{r_idot__L_CURLY__r_i} {__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}\left( {__L_CURLY__\partial r_i \over \partial q_j} \right) \right] \right] \delta q_j </math>
 
Duke njohur faktin që <math>{__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}{__L_CURLY__\partial r_j \over \partial q_i} = {__L_CURLY__\partial \dot{r_jdot__L_CURLY__r_j} \over \partial q_i}q_i__R_CURLY__</math> dhe <math>{__L_CURLY__\partial r_j \over \partial q_i} = {__L_CURLY__\partial \dot{r_jdot__L_CURLY__r_j} \over \partial \dot{q_idot__L_CURLY__q_i}}</math>, marrim:
 
<math>m \ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[ {__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t} \left( \dot{r_idot__L_CURLY__r_i} {__L_CURLY__\partial \dot{r_idot__L_CURLY__r_i} \over \partial \dot{q_jdot__L_CURLY__q_j}} \right) - \dot{r_idot__L_CURLY__r_i} {__L_CURLY__\partial \dot{r_idot__L_CURLY__r_i} \over \partial q_j} \right] \right] \delta q_j </math>
 
Tani, duke ndryshuar rendin e diferencimit, marrim :
 
<math>m \ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[ {__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t} {__L_CURLY__\partial \over \partial \dot{q_jdot__L_CURLY__q_j}} \left( \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} \dot{r_i}dot__L_CURLY__r_i__R_CURLY__^2 \right) - {__L_CURLY__\partial \over \partial q_j} \left( \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} \dot{r_i}dot__L_CURLY__r_i__R_CURLY__^2 \right) \right] \right] \delta q_j </math>
 
Me në fund, pasi ndryshojmë rendin e shumimit kemi :
 
<math>m \ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = \sum_j \left[ {__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t} {__L_CURLY__\partial \over \partial \dot{q_jdot__L_CURLY__q_j}} \left( \sum_i \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} m \dot{r_i}dot__L_CURLY__r_i__R_CURLY__^2 \right) - {__L_CURLY__\partial \over \partial q_j} \left( \sum_i \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} m \dot{r_i}dot__L_CURLY__r_i__R_CURLY__^2 \right) \right] \delta q_j </math>
 
E cila është ekuivalente me :
 
:<math>
m \ddot{ddot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \cdot \delta \mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__
= \sum_i \left[{__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}t}{__L_CURLY__\partial T \over \partial \dot{q_idot__L_CURLY__q_i}}-{__L_CURLY__\partial T \over \partial q_i}q_i__R_CURLY__\right]\delta q_i
</math>
 
ku <math>T=\frac{1}{2}mfrac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2__R_CURLY__m\dot{dot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}}\cdot\dot{dot__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}}</math> është energjia kinetike e thërrmijës. Ekuacioni i punës tani është i formës
:<math>
\sum_i \left[{__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}t}{__L_CURLY__\partial{T}partial__L_CURLY__T__R_CURLY__\over \partial{partial__L_CURLY__\dot{q_idot__L_CURLY__q_i}}}-{__L_CURLY__\partial{partial__L_CURLY__(T-V)}__R_CURLY__\over \partial q_i}q_i__R_CURLY__\right]
\delta q_i = 0.
</math>
Rreshti 195:
 
:<math>
\left[ {__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}t}{__L_CURLY__\partial{T}partial__L_CURLY__T__R_CURLY__\over \partial{partial__L_CURLY__\dot{q_idot__L_CURLY__q_i}}}-{__L_CURLY__\partial{partial__L_CURLY__(T-V)}__R_CURLY__\over \partial q_i}q_i__R_CURLY__\right] = 0
</math>
 
Rreshti 201:
 
:<math>
__L_CURLY__\mathrm__L_CURLY__d}\over \mathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}__L_CURLY__\partial__L_CURLY__V__R_CURLY__\over \partial__L_CURLY__\dot__L_CURLY__q_i}}} = 0.
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{V}\over \partial{\dot{q_i}}} = 0.
</math>
 
Rreshti 207:
 
:<math>
{__L_CURLY__\partial{partial__L_CURLY__\mathcal{Lmathcal__L_CURLY__L}}\over \partial q_i} = {__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \over \mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}t}{__L_CURLY__\partial{partial__L_CURLY__\mathcal{Lmathcal__L_CURLY__L}}\over \partial{partial__L_CURLY__\dot{q_idot__L_CURLY__q_i}}}.
</math>
 
Rreshti 221:
=== Rënia e lirë e një pikë lëndore ===
Konsideroni një pikë lëndore me mase ''m'' që kryen rënie të lirë nga prehja. Nga graviteti një forcë ''F = m g'' ushtrohet mbi masën (duke marrë parasysh se ''g'' është konstante). Po të zëvendësojmë forcën në ligjin e dytë të Njutonit, gjejmë <math>\ddot x = g</math> prej nga zgjidhja është
:<math>x(t) = \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} g t^2</math>
 
(nëqoftëse zgjedhim origjinën në pikën fillestare). Ky rezultat mund të derivohet edhe nga formalizmi i Lagranzhit. Le të jetë ''x'' koordinata , e cila është ''0'' në pikën fillestare. Energjia kinetike është <math>T = \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} m v^2</math> ndërsa ajo potenciale është <math>V = - m g x</math>, pra
:<math>\mathcal{Lmathcal__L_CURLY__L} = T - V = \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} m \dot{x}dot__L_CURLY__x__R_CURLY__^2 + m g x</math>.
Tani kemi
:<math>0 = \frac{frac__L_CURLY__\partial \mathcal{Lmathcal__L_CURLY__L}}{__L_CURLY__\partial x} - \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d}}{__L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t} \frac{frac__L_CURLY__\partial \mathcal{Lmathcal__L_CURLY__L}}{__L_CURLY__\partial \dot x} = m g - m \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \dot x}{x__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} t} </math>
e cila mund të rishkruhet si <math>\ddot x = g</math>, kjo jep të njëjtin rezultat si më parë.
 
=== Lavjerrësi në një platformë lëvizëse ===
Konsideroni një lavjerrës me masë ''m'' dhe gjatësi ''l'', i cili është i varur në një suport me masë ''M'' e cila mund të lëvizë përgjatë një vijë në drejtimin e ''x''. Le të jetë ''x'' koordinata përgjatë vijës së suportit, dhe le të japim pozicionin e lavjerrësit me anë të një këndi ''θ'' të matur nga vertikalja. Energjia kinetike mund të tregohet që është
:<math>T = \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} M \dot{x}dot__L_CURLY__x__R_CURLY__^2 + \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} m \left( \dot{x}_dot__L_CURLY__x__R_CURLY___\mathrm{pend}mathrm__L_CURLY__pend__R_CURLY__^2 + \dot{y}_dot__L_CURLY__y__R_CURLY___\mathrm{pend}mathrm__L_CURLY__pend__R_CURLY__^2 \right) = \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} M \dot{x}dot__L_CURLY__x__R_CURLY__^2 + \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} m \left[ \left( \dot x + l \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right], </math>
Ndërsa ajo [[energjia potenciale]] e sistemit është
:<math> V = m g \operatorname{y}_operatorname__L_CURLY__y__R_CURLY___\mathrm{pendmathrm__L_CURLY__pend} = - m g l \cos \theta . </math>
 
[[Skeda:pendulumWithMovableSupport.svg|thumb|right|Skeç i situatës me përcaktimin e koordinatave (kliko që ta zmadhosh)]]
Tani po të bëjme diferencimin për koordinatën e suportit ''x''
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d}}{__L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t} \left[ (M + m) \dot x + m l \dot\theta \cos\theta \right] = 0, </math>
pra:
:<math> (M + m) \ddot x + m l \ddot\theta\cos\theta-m l \dot\theta ^2 \sin\theta = 0 </math>
Tregon prezencën e një konstanteje të lëvizjes. Variabla tjetër jep
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d}}{__L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}\left[ m( l^2 \dot\theta + \dot x l \cos\theta ) \right] + m (\dot x l \dot \theta + g l) \sin\theta = 0</math>;
pra
:<math>\ddot\theta + \frac{frac__L_CURLY__\ddot xx__R_CURLY____L_CURLY__l}{l} \cos\theta + \frac{gfrac__L_CURLY__g__R_CURLY____L_CURLY__l}{l} \sin\theta = 0 </math>.
Këto ekuacione mund të duken shumë të komplikuara, por për ti gjetur ato me metodën e Njutonit ne duhet qe të identifikojmë të gjitha forcat, gjë e cila jo vetëm është e vështirë por le edhe shteg për gabime. Duke konsideruar rastet limit (<math>\ddot x \to 0</math> duhet të japë ekuacionet e lëvizjes për një lavjerrës, <math>\ddot\theta \to 0</math> duhet të japë ekuacionet për lavjerrësin në një sistem që me nxitim konstant.) Korrektësia e këtij sistemi mund të verifikohet.
 
== Principi i Hamiltonit ==
{{main|Principi i Hamiltonit}}
Veprimi, jepet nga <math>\mathcal{S}mathcal__L_CURLY__S__R_CURLY__</math>, ky është integrali kohor i funksionit Lagranzhian:
:<math>\mathcal{Smathcal__L_CURLY__S} = \int \mathcal{L}mathcal__L_CURLY__L__R_CURLY__\,\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t.</math>
 
Le të jenë ''q<sub>0</sub>'' dhe ''q<sub>1</sub>'' koordinatat në kohët fillestare dhe përfundimtare respektivisht, pra ''t<sub>0</sub>'' dhe ''t<sub>1</sub>''. Duke përdorur [[analiza e variacionit|analizën e variacionit]], mund të tregohet se ekuacionet e Lagranzhit janë ekuivalente me ''[[Principi i Hamiltonit|principin e Hamiltonit]]'':
Rreshti 257:
Fjala ''stacionare'', do të thotë që veprimi nuk ndyshon në rend të parë për deformime infinitezimale të trajektores, me pikat kufitare (''q<sub>0</sub>'', ''t<sub>0</sub>'') dhe (''q<sub>1</sub>'',''t<sub>1</sub>'') të fiksuara. Principi i Hamiltonit mund të shkruhet si:
 
:<math>\delta \mathcal{Smathcal__L_CURLY__S} = 0. \,\!</math>
 
Pra,në vend që të mendojmë për thërrmijat e nxituara si grimca që u përgjigjen forcave që aplikohen mbi to, ne mund të mendojmë mbi to si grimca që marrin trajektoren ku veprimi është stacionar.
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/wiki/Mekanika_e_Lagranzhit"