|
== Pohimi ==
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion ''q'' i një argumenti [[Numri real|real]] ''t'' i cili është një pikë stacionare e [[funksionali (matematikë)|funksionalit]]
:<math>\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t</math>
ku :
* ''q'' është funksioni që duhet gjetur :
* :<math>\begin{align}begin__L_CURLY__align__R_CURLY__
q \colon [a, b] \subset \mathbb{Rmathbb__L_CURLY__R} & \to X \\
t & \mapsto x = q(t)
\end{align}end__L_CURLY__align__R_CURLY__</math>
:i tille qe ''q'' është i diferencueshëm, ''q''(''a'') = ''x''<sub>''a''</sub>, dhe ''q''(''b'') = ''x''<sub>''b''</sub>;
* ''q''′ është derivati i ''q'':
*: <math>\begin{align}begin__L_CURLY__align__R_CURLY__
q' \colon [a, b] & \to TX \\
t & \mapsto v = q'(t)
\end{align}end__L_CURLY__align__R_CURLY__</math>
:''TX'' ështe [[tufa e tangjenteve]] të ''X'' (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në ''X'') ;
* ''L'' është një funksion real [[derivati pjesor|derivatet pjesore]] të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :
*: <math>\begin{align}begin__L_CURLY__align__R_CURLY__
L \colon [a, b] \times X \times TX & \to \mathbb{Rmathbb__L_CURLY__R} \\
(t, x, v) & \mapsto L(t, x, v).
\end{align}end__L_CURLY__align__R_CURLY__</math>
Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një [[ekuacion diferencial i zakonshem]]
:<math>L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d}}{__L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.</math>
ku ''L''<sub>''x''</sub> dhe ''L''<sub>''v''</sub> tregojnë derivatet pjesore te ''L'' ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.
Nëqoftëse përmasat e hapësirës ''X'' janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial L(t,q(t),q'(t))}{__R_CURLY____L_CURLY__\partial x_i}x_i__R_CURLY__-\frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d}}{__L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}\frac{frac__L_CURLY__\partial L(t,q(t),q'(t))}{__R_CURLY____L_CURLY__\partial v_i} = 0
\quad \text{fortext__L_CURLY__for } i = 1, \dots, n.</math>
== Prova ==
Tani duam që të llogaritim [[derivatin e përgjithshëm]] te ''J'' në lidhje me ''ε''
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} J}{J__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__F}F}{__L_CURLY__\mathrm{d}mathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__\epsilon}epsilon__R_CURLY__(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. </math>
Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që
: <math>\frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__F}F}{__L_CURLY__\mathrm{d}mathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__\epsilon} = \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial x}x__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial x}{x__R_CURLY____L_CURLY__\partial \varepsilon} + \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial g_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\partial \varepsilon} + \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g'_\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial g'_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon'}__R_CURLY__. </math>
Kështu që
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} J}{J__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx. </math>
Kur ''ε'' = 0 ne kemi ''g''<sub>''ε''</sub> = ''f'' dhe meqenëse ''f'' është një vlere ekstreme del që ''J<nowiki>'</nowiki>''(0) = 0, pra.
: <math> J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} + \eta'(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \,\right]\,dx = 0.</math>
Hapi tjetër i rëndësishme është [[integrimi me pjesë]] mbi termin e dyte, i cili jep
: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} - \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \right]_a^b. </math>
Duke zbatuar kondiatat kufitare tek ''η'', ne marrim
: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} - \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!</math>
Duke zbatuar [[Lemen themelore të analizës së variacionit]] tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit
: <math> 0 = \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} - \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'}__R_CURLY__. </math>
== Provë alternative ==
tek <math>C^1([a, b])</math> me kondita kufitare <math>y(a) = A</math> edhe <math>y(b) = B</math>, ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale <math>n</math> segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.
Tani pjesëtojmë intervalin <math>[a, b]</math> në <math>n + 1</math> segmente të njëjta me pika kufitare <math>t_0 = a, t_1, t_2, \ldots, t_n, t_{nt___L_CURLY__n + 1} = b</math> dhe le të jetë <math>\Delta t = t_k - t_{kt___L_CURLY__k - 1}1__R_CURLY__</math>. Në vend ten je funksoni të lëmuar <math>y(t)</math> marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse <math>(t_0, y_0),\ldots,(t_{nt___L_CURLY__n + 1}1__R_CURLY__, y_{ny___L_CURLY__n + 1}1__R_CURLY__)</math>, ku <math>y_0 = A</math> dhe <math>y_{ny___L_CURLY__n + 1} = B</math>. Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i <math>n</math> variablave të dhëna nga
:<math>J(y_1, \ldots, y_n) = \sum^n_{kn___L_CURLY__k = 0}F0__R_CURLY__F\left(t_k, y_k, \frac{y_{kfrac__L_CURLY__y___L_CURLY__k + 1} - y_k}{y_k__R_CURLY____L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\right)\Delta t.</math>
Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret <math>t_0,\ldots,t_{nt___L_CURLY__n + 1}1__R_CURLY__</math> që i korrespondojnë e pikave ku
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial J(y_1,\ldots,y_n)}{__R_CURLY____L_CURLY__\partial y_m} = 0.</math>
Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial J}{J__R_CURLY____L_CURLY__\partial y_m} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{mfrac__L_CURLY__y___L_CURLY__m + 1} - y_m}{y_m__R_CURLY____L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\right)\Delta t + F_{yF___L_CURLY__y'}__R_CURLY__\left(t_{mt___L_CURLY__m - 1}1__R_CURLY__, y_{my___L_CURLY__m - 1}1__R_CURLY__, \frac{y_mfrac__L_CURLY__y_m - y_{my___L_CURLY__m - 1}}{__L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\right) - F_{yF___L_CURLY__y'}__R_CURLY__\left(t_m, y_m, \frac{y_{mfrac__L_CURLY__y___L_CURLY__m + 1} - y_m}{y_m__R_CURLY____L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\right).</math>
Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me <math>\Delta t</math> marrim
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial y_m \Delta t} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{mfrac__L_CURLY__y___L_CURLY__m + 1} - y_m}{y_m__R_CURLY____L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\right) - \frac{1}{frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\left[F_{yF___L_CURLY__y'}__R_CURLY__\left(t_m, y_m, \frac{y_{mfrac__L_CURLY__y___L_CURLY__m + 1} - y_m}{y_m__R_CURLY____L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\right) - F_{yF___L_CURLY__y'}__R_CURLY__\left(t_{mt___L_CURLY__m - 1}1__R_CURLY__, y_{my___L_CURLY__m - 1}1__R_CURLY__, \frac{y_mfrac__L_CURLY__y_m - y_{my___L_CURLY__m - 1}}{__L_CURLY__\Delta t}t__R_CURLY__\right)\right],</math>
dhe duke marrë limitin kur <math>\Delta t \to 0</math> te anës së djathtë të shprehjes marrim
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\delta J}{J__R_CURLY____L_CURLY__\delta y} = F_y - \frac{d}{dt}F_{yfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dt__R_CURLY__F___L_CURLY__y'}__R_CURLY__.</math>
Termi <math>\frac{frac__L_CURLY__\delta J}{J__R_CURLY____L_CURLY__\delta y}y__R_CURLY__</math> tregon '''derivatin variacional''' të funksionalit <math>J</math>, si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.
:{__L_CURLY__| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler-Lagranzhit
|-
Nqs <math>f</math> extremizon koston e funksionalit sipas konditave kufitare, atëhere cdo perturbim i <math>f</math> që ruan vlerat kufitare duhet ose të rritë vlerën e <math>J</math> (nqs <math>f</math> është një minimizues) ose të zvogëlojë <math>J</math> (nqs <math>f</math> është një maksimizues).
Le <math>g_{g___L_CURLY__\epsilon} (x) = f (x) + \epsilon \eta (x)</math> të jetë një perturbim i <math>f</math>, ku <math>\eta (x)</math> është një funksion i diferencueshëm që kënaq barazimin <math>\eta (a) = \eta (b) = 0</math>. Atëhere përcaktojmë
: <math> J_\varepsilon(x) = \int_a^b F(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!</math>
Tani llogaritim [[derivatin e plotë]] të ''J'' në lidhje me ''ε'' ose [[variacionin e parë]] të ''J''.
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} J_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \varepsilon} = \frac{frac__L_CURLY__\mathrm d}{d__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__\int_a^b F(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx = \int_a^b \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__F}F}{__L_CURLY__\mathrm{d}mathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__\epsilon}epsilon__R_CURLY__(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx </math>
Nga derivati i plotë dell se
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\mathrm d}{d__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon} = \frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial \varepsilon} + \sum_i \frac{frac__L_CURLY__\mathrm d g_i}{g_i__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_i} </math>
:<math>
\frac{frac__L_CURLY__\mathrm d F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__=\frac{frac__L_CURLY__\mathrm d x}{x__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial x}x__R_CURLY__+\frac{frac__L_CURLY__\mathrm d g_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\epsilon}epsilon__R_CURLY__+\frac{frac__L_CURLY__\mathrm d g'_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g'_\epsilon}epsilon__R_CURLY__
</math>
: <math>\frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__F}F}{__L_CURLY__\mathrm{d}mathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__\varepsilon} = \eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon'}__R_CURLY__. </math>
Pra
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} J_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d} \varepsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx. </math>
Kur ''ε'' = 0 we have ''g''<sub>''ε''</sub> = ''f'' dhe meqënëse ''f'' është një vlerë ekstremumi del që <math>\frac{frac__L_CURLY__\mathrm d J_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__(0) = 0</math>, i.e.
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\mathrm d J_\varepsilon}{varepsilon__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm d\varepsilon}varepsilon__R_CURLY__(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} + \eta'(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \,\right]\,dx = 0.</math>
Hapi tjetër është përdorimi i [[Integrimi me pjesë|integrimit me pjesë]] tek termi i dytë i cili jep
: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} - \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \right]_a^b. </math>
Duke përdorur konditat kufitare në ''η'', marrim
: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} - \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!</math>
Duke zbatuar [[lemën themelore të analizës së variacionit]] marrim ekuacionin e Ojler–Lagranzhit
: <math> 0 = \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} - \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dx}{dx} \frac{frac__L_CURLY__\partial F}{F__R_CURLY____L_CURLY__\partial f'}__R_CURLY__. </math>
|__R_CURLY__
|}
== Shembuj ==
Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [''a'', ''b''], i tillë që ''f'' (''a'') = ''c'' dhe ''f'' (''b'') = ''d'', [[Gjatësia e harkut|gjatësia]] e [[grafi i funksionit|grafit]] të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të ''f'' është :
:<math> \ell (f) = \int_{a}int___L_CURLY__a__R_CURLY__^{b__L_CURLY__b} \sqrt{1sqrt__L_CURLY__1+f'(x)^2}2__R_CURLY__\,\mathrm{d}xmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__x,</math>
Ku integrandi i funksionit është {{nowrap|1=''L''(''x'', ''y'', ''y''′) = {{1 + ''y''′<sup>2</sup>}}}} i vlerësuar tek {{nowrap|1=(''x'', ''y'', ''y''′) = (''x'', ''f''(''x''), ''f''′(''x''))}}.
Derivatet pjesore të ''L'' janë :
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial L(x, y, y')}{__R_CURLY____L_CURLY__\partial y'} = \frac{yfrac__L_CURLY__y'}{__R_CURLY____L_CURLY__\sqrt{1sqrt__L_CURLY__1 + y'^2}} \quad \text{andtext__L_CURLY__and} \quad
\frac{frac__L_CURLY__\partial L(x, y, y')}{__R_CURLY____L_CURLY__\partial y} = 0.</math>
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim
:<math> \frac{frac__L_CURLY__\mathrm{dmathrm__L_CURLY__d}}{__L_CURLY__\mathrm{d}xmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__x} \frac{ffrac__L_CURLY__f'(x)}{__R_CURLY____L_CURLY__\sqrt{1sqrt__L_CURLY__1 + f'(x)^2}} = 0 \Rightarrow \frac{ffrac__L_CURLY__f'(x)}{__R_CURLY____L_CURLY__\sqrt{1sqrt__L_CURLY__1 + f'(x)^2}} = \text{constanttext__L_CURLY__constant} \Rightarrow f'(x) = \text{constanttext__L_CURLY__constant:}__R_CURLY__</math>
Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një [[Vija|vije të drejtë]].
Për trë gjetur ekuacionet e lrëvizjes prër njrë sistem duhet trë ndjekim krëto hapa:
* Nga energjia kinetike <math>T</math>, dhe energjia potencialey <math>V</math>, llogaritni funksionin Lagranzhian <math>L = T - V</math>.
* Llogarit <math>\frac{frac__L_CURLY__\partial L}{L__R_CURLY____L_CURLY__\partial q}q__R_CURLY__</math>.
* Llogarit <math>\frac{frac__L_CURLY__\partial L}{L__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q}}</math> dhe nga ajo , <math>\frac{d}{dt}frac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dt__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial L}{L__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q}}</math>. Eshtë e rëndësishme që <math>\dot{q}dot__L_CURLY__q__R_CURLY__</math> të trajtohet si një variabël komplete dhe jo si një derivat.
* Barazoni <math>\frac{frac__L_CURLY__\partial L}{L__R_CURLY____L_CURLY__\partial q} = \frac{d}{dt}frac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dt__R_CURLY__\frac{frac__L_CURLY__\partial L}{L__R_CURLY____L_CURLY__\partial \dot{qdot__L_CURLY__q}}</math>. Ky është ekuacioni i Ojler–Lagranzhit.
* Zgjidhni ekuacionin diferencial e marrë në hapin e mëlartëm. Pas kësaj, <math>\dot{q}dot__L_CURLY__q__R_CURLY__</math> trajtohet "normalisht". Vini re se mënyra e mëlartme mund të japi një ekuacion ose një sistem ekuacionesh.
=== Thërrmijat në një fushë konservative ===
Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë [[Forca konservative|konservative]] (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që [[Veprimi (fizikë)#Veprimi (funksionali)|veprimi]] të jetë stacionar, nga [[principi i Hamiltonit]]. Veprimi për këtë system është
:<math>S = \int_{t_0}int___L_CURLY__t_0__R_CURLY__^{t_1__L_CURLY__t_1} L(t, \mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__(t), \mathbf{mathbf__L_CURLY__\dot{xdot__L_CURLY__x}}(t))\,\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t</math>
Ku '''x'''(''t'') është pozicioni i thërrmijës në kohën ''t''. Pika mbi variablat njihen si [[simbolika e Njutonit]] për derivatin kohor : pra '''ẋ'''(''t'') është shpejtësia e thërrmijës, '''v'''(''t''). Në ekuacionin më lart ''L'' është [[Funksioni i Lagranzhit]] ([[energjia kinetike]] minus [[Energjia potenciale|energjinë potenciale]]) :
:<math>L(t, \mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__, \mathbf{v}mathbf__L_CURLY__v__R_CURLY__) = \frac{1}{2}mfrac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2__R_CURLY__m \sum_{isum___L_CURLY__i=1} ^{3__L_CURLY__3} v_i^2 - U(\mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__),</math>
ku :
* ''m'' është [[masa (fizikë)|masa]] e thërrmijës ([[Konservimi i masës|e cila është konstante]] në fizikën klasike) ;
Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mësipërm, marrim :
:<math>\frac{frac__L_CURLY__\partial L(t,\mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__,\mathbf{v}mathbf__L_CURLY__v__R_CURLY__)}{__L_CURLY__\partial x_i} = -\frac{frac__L_CURLY__\partial U(\mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__)}{__L_CURLY__\partial x_i} = F_i (\mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__)\quad \text{andtext__L_CURLY__and} \quad
\frac{frac__L_CURLY__\partial L(t,\mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__,\mathbf{v}mathbf__L_CURLY__v__R_CURLY__)}{__L_CURLY__\partial v_i} = m v_i = p_i,</math>
Ku forca '''F''' = −∇''U'' (negativja e [[gradientit]] të potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe '''p''' është [[impulsi]] (vrulli).
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,
:<math>F_i(\mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__(t)) = \frac{frac__L_CURLY__\mathrm d}{d__R_CURLY____L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t} m \dot{x}_idot__L_CURLY__x__R_CURLY___i(t) = m \ddot{x}_iddot__L_CURLY__x__R_CURLY___i(t),</math>
Të cilat mund të zgjidhen në një interval [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>], po të kemi vlerat kufitare ''x''<sub>''i''</sub>(''t''<sub>0</sub>) dhe ''x''<sub>''i''</sub>(''t''<sub>1</sub>).
Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën
:<math>\mathbf{F}mathbf__L_CURLY__F__R_CURLY__(\mathbf{x}mathbf__L_CURLY__x__R_CURLY__(t)) = m\mathbf{mathbf__L_CURLY__\ddot x}x__R_CURLY__(t)</math>
Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),
:<math> \mathbf{Fmathbf__L_CURLY__F} = \frac {__L_CURLY__\mathrm{d}mathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__\mathbf{pmathbf__L_CURLY__p}} {__L_CURLY__\mathrm{d}tmathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__t}</math>
Nga e cila marrim [[Ligjet e Njutonit|ligjin e dytë të Njutonit]].
== Teoria e fushës ==
Teoritë e fushës, si [[teoria klasike e fushës]] ashtu edhe [[teoria kuantike e fushës]], merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,
::<math> \partial_\mu \left( \frac{frac__L_CURLY__\partial \mathcal{Lmathcal__L_CURLY__L}}{__L_CURLY__\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{frac__L_CURLY__\partial \mathcal{Lmathcal__L_CURLY__L}}{__L_CURLY__\partial \psi} = 0. \,</math>
:ku
:<math>\psi \,</math> është fusha, dhe
:<math>\partial\,</math> është një operator diferencial:
::<math>\partial_\mu = \left(\frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__c}{c} \frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial t}t__R_CURLY__, \frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial x}x__R_CURLY__, \frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial y}y__R_CURLY__, \frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial z} \right). \,</math>
'''Vini re''' : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si [[fusha e Dirakut]], fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.
== Për funksionet me shumë ndryshore ==
Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me ''n'' ndryshore. Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë
: <math> S = \int_{int___L_CURLY__\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}f___L_CURLY__x_1__R_CURLY__, \dots , f_{x_n}f___L_CURLY__x_n__R_CURLY__)\, \mathrm{d}mathrm__L_CURLY__d__R_CURLY__\Omega \,\!</math>
Merr një ekstremum vetëm nese ''f'' e plotëson [[Ekuacioni diferencial pjesor|ekuacionin diferencial pjesor]]
: <math> \frac{frac__L_CURLY__\partial L}{L__R_CURLY____L_CURLY__\partial f} - \sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^{n__L_CURLY__n} \frac{frac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial x_i} \frac{frac__L_CURLY__\partial L}{L__R_CURLY____L_CURLY__\partial f_{x_if___L_CURLY__x_i}} = 0. \,\!</math>
Kur ''n'' = 2 dhe ''L'' është [[funksionali i energjisë]], kjo con tek një problem i tipit te [[sipërfaqes minimale]].
| 