Wikipedia

Sistemi koordinativ polar: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
[Redaktim i kontrolluar][Redaktim i kontrolluar]
← Redaktim më i vjetërNdryshimi më pas →
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
Adding 2 books for Wikipedia:Vërtetueshmëria (20220827)) #IABot (v2.0.9) (GreenC bot
Etiketa: Reverted
Rreshti 34:
 
të dyja koordinatat Karteziane ''x'' dhe ''y'' mund të konvertohen në koordinata polare ''r'' me anë të ekuacioneve
:<math>r = \sqrt{ysqrt__L_CURLY__y^2 + x^2} \quad</math> (si tek [[teorema e Pitagorës]]), dhe
:<math>\theta =
\begin__L_CURLY__cases__R_CURLY__
\begin{cases}
0 & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\
\arcsin(\frac{y}{r}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__r__R_CURLY__) & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x \geq 0 \\
-\arcsin(\frac{y}{r}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__r__R_CURLY__) + \pi & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x < 0\\
\end{cases}end__L_CURLY__cases__R_CURLY__</math>
 
Të gjitha këto formula marrin parasysh se poli është origjina Karteziane (0,0), boshtii polar është boshti i abshisave ''x', dhe se drejtimin e boshtit i boshtit të ordinatave ''y'' ka azimut +π/2 rad = +90° (në vend se -π/ 2). Funksioni arcsin është inversi i funksionit [[funksionet trigonometrike|sinus]] , e cila jep kënde në intervalin [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°].
Rreshti 46:
Formula për θ më sipër jep një kënd në intervalin [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°). Për të marrë θ në intervalin [0, 2π) direkt, mund të përdorim
:<math>\theta =
\begin__L_CURLY__cases__R_CURLY__
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__x__R_CURLY__) & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__x__R_CURLY__) + 2\pi & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x > 0 \mbox{ and } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__x__R_CURLY__) + \pi & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x < 0\\
\frac{frac__L_CURLY__\pipi__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
\frac{3frac__L_CURLY__3\pipi__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}end__L_CURLY__cases__R_CURLY__</math>
Funskioni <math>\arctan</math> është inversi i funksionit [[Funksioni trigonometrik|tangjent]] , i cili jep një kënd ne intervalin (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°).
 
Për te marre ''θ'' ne intervalin (−π, π], mund te përdorim <ref>{{cite book|author1=Bruce Follett Torrence|author2=Eve Torrence|title=The Student's Introduction to Mathematica|url=https://archive.org/details/studentsintroduc0000torr|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521594618}}</ref>
:<math>\theta =
\begin__L_CURLY__cases__R_CURLY__
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__x__R_CURLY__) & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__x__R_CURLY__) + \pi & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}frac__L_CURLY__y__R_CURLY____L_CURLY__x__R_CURLY__) - \pi & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{frac__L_CURLY__\pipi__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{frac__L_CURLY__\pipi__R_CURLY____L_CURLY__2}{2} & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{ifmbox__L_CURLY__if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}end__L_CURLY__cases__R_CURLY__</math>
 
Shume gjuhe programimi kane një funksion i cili llogarit koordinatën këndore korrekte θ po te kemi ''x'' dhe ''y'', pa bere analizene e mëlartme. Për shembull, ky funksion thirret nga [[atan2|<code>atan2</code>]](''y'',''x'') ne [[C (gjuhe programimi)|gjuhen e programimit C]], dhe ([[atan2|<code>atan</code>]] ''y'' ''x'') ne [[Lisp]]. Ne te dyja rastet, rezultati është ne radian ne intervalin (−π, π].
Rreshti 93:
:<math>\theta = \varphi \,</math>,
ku φ është këndi i ngritjes të vijës; pra, {{nowrap|φ {{=}} arctan ''m''}} ku ''m'' është [[pjerrësia]] e vijës në sistemin koordinativ Kartezian. Vijat jo-radiale që kryqëzohen me vijrën radiale {{nowrap|θ {{=}} φ}} [[pingul]] tek pika (''r<sub>0</sub>'', φ) kanë ekuacionin
<math>r(\theta) = {r_0}__L_CURLY__r_0__R_CURLY__\sec(\theta-\varphi). \,</math>
 
== Trëndafili polar ==
Rreshti 112:
Një prerje konike me një vatër në njërin pol dhe tjetrën diku në një rreze që fillon nga 0° (në mënyrë që [[gjysëm-boshti madhor|boshti madhor]] i konikut shtrihet përgjatë boshtit polar) jepet nga :
 
: <math>r = { \ell\over {1__L_CURLY__1 + e \cos \theta}}</math>
 
ku ''e'' është [[ekscentriteti (matematikë)|ekscentriteti]] dhe <math>\ell</math> është [[semi-latus rectum]] (distanca pingule nga vatra tek boshti madhor i kurbës). Nëqoftëse {{nowrap|''e'' > 1}}, ky ekaucion përcakton një [[Hiperbola|hyperbolë]]; nëqoftëse {{nowrap|''e'' {{=}} 1}}, ai përcakton një [[parabola|parabolë]]; dhe nëqoftëse {{nowrap|''e'' < 1}}, ai përcakton një [[elipsi|elips]]. Rsti special i {{nowrap|''e'' {{=}} 0}} rastit të lartëm rezulton në një rreth me rreze <math>\ell</math>.
Rreshti 125:
:<math>z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)</math>
si dhe
: <math>z = re^{i__L_CURLY__i\theta} \,</math>
ku ''e'' është [[e (konstante matematike)|numri i Ojlerit]], të cilat janë ekuivalente siç tregohet nga [[formula e Ojlerit]].<ref>{{cite book| last = Smith| first = Julius O.| title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)| accessdate = 2006-09-22| year = 2003| publisher = W3K Publishing| isbn = 0-9745607-0-7| chapter = Euler's Identity| chapter-url = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html| archive-date = 15 shtator 2006| archive-url = https://web.archive.org/web/20060915004724/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html| url-status = dead}}</ref> (Vini re se kjo formulë, si të gjitha ato që përfshijnë eksponente këndesh, merr parasysh që këndi θ është shprehur në radian.) Në mënyrë që të konvertojmë midis formës polare dhe karteziane të një numri kompleks, formula e konvertimit [[#Konvertimi midis koordinatave polare dhe Karteziane|më lart]] mund të përdoret.
 
Rreshti 131:
 
* Shumëzimi:
:: <math>r_0 e^{i__L_CURLY__i\theta_0} \cdot r_1 e^{i__L_CURLY__i\theta_1}theta_1__R_CURLY__=r_0 r_1 e^{i__L_CURLY__i(\theta_0 + \theta_1)} \,</math>
* Pjestimi:
:: <math>\frac{r_0frac__L_CURLY__r_0 e^{i__L_CURLY__i\theta_0}}{r_1__L_CURLY__r_1 e^{i__L_CURLY__i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}efrac__L_CURLY__r_0__R_CURLY____L_CURLY__r_1__R_CURLY__e^{i__L_CURLY__i(\theta_0 - \theta_1)} \,</math>
* Ngritja në eksponent ([[Forumala e De Moivre]]):
:: <math>(re^{i__L_CURLY__i\theta}theta__R_CURLY__)^n=r^ne^{in__L_CURLY__in\theta} \,</math>
 
== Analiza ==
Rreshti 145:
 
Po të përdorim {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' cos(''θ'')}} dhe {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' sin(''θ'')}}, ne mund të derivojmë një relacion midis derivateteve në koordinata polare dhe Karteziane. Për një funksion të dhënë , ''u''(''x'',''y''), del se
:<math>r \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial r} = r \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial x}x__R_CURLY__\tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial x}{x__R_CURLY____L_CURLY__\partial r} + r \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial y}y__R_CURLY__\tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial y}{y__R_CURLY____L_CURLY__\partial r}r__R_CURLY__,</math>
:<math>\tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta} = \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial x}x__R_CURLY__\tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial x}{x__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta} + \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial y}y__R_CURLY__\tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial y}{y__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta}theta__R_CURLY__,</math>
ose
:<math>r \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial r} = r \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial x} \cos(\theta) + r \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial y} \sin(\theta) = x \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial x} + y \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial y}y__R_CURLY__,</math>
:<math>\tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta} = - \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial x} r \sin(\theta) + \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial y} r \cos(\theta) = -y \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial x} + x \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial u}{u__R_CURLY____L_CURLY__\partial y}y__R_CURLY__.</math>
 
Nga kjo marrim formulën e mëposhtme:
 
:<math>r \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial r}r__R_CURLY__= x \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial x} + y \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial y} \,</math>
:<math>\tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta} = -y \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial x} + x \tfrac{tfrac__L_CURLY__\partial}{partial__R_CURLY____L_CURLY__\partial y} .</math>
 
Për të gjetur pjerrësinë Karteziane të një vije tangjente me kurbën polare ''r''(θ) në çdo pikë të dhënë, kurba jepet si një sistem [[ekuacionesh parametrike]].
Rreshti 161:
 
[[Derivati|Duke diferencuar]] të dyja ekuacionet në lidhje me θ marrim
:<math>\frac{dx}{dfrac__L_CURLY__dx__R_CURLY____L_CURLY__d\theta}theta__R_CURLY__=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,</math>
:<math>\frac{dy}{dfrac__L_CURLY__dy__R_CURLY____L_CURLY__d\theta}theta__R_CURLY__=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta. \,</math>
 
Po të pjesëtojmë ekuacionin e dytë me të parin marrim pjerrësinë Karteziane të vijës tangjente me kurbën tek pika {{nowrap|(''r'', ''r''(θ))}}:
:<math>\frac{dy}{dx}frac__L_CURLY__dy__R_CURLY____L_CURLY__dx__R_CURLY__=\frac{rfrac__L_CURLY__r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{rtheta__R_CURLY____L_CURLY__r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}theta__R_CURLY__.</math>
 
=== Analiza integrale ===
Rreshti 179:
 
Ky rezultat mund të gjendet si më poshtë. Së pari, intervali {{nowrap|[''a'', ''b'']}} është i ndarë në ''n'' nën-intervale, ku ''n'' është një numër i plotë pozitiv arbitrar. Kështu Δθ, gjatësia e çdo nën-intervali, është e barabartë me {{nowrap|''b'' − ''a''}} (kohëzgjatja e përgjithshme e intervalit), e ndarë sipas ''n'', numri i nën-intervaleve . Për çdo nën-interval ''i''= 1, 2, ...,''n'', le θ<sub>''i''</sub> të jetë pika e mesit e nën-intervalit, tani le të ndërtojmë një sektor [[rrethor]] me qendër në pole, rreze ''r''(θ<sub>''i''</sub>),,kënd qendrore Δθ dhe gjatësi harku ''r''(θ<sub>''i''</sub>)Δθ.. Zona e secilit sektor të ndërtuar është e barabartë me
:<math>\left[r(\theta_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{frac__L_CURLY__\Delta \theta}{2theta__R_CURLY____L_CURLY__2\pi} = \frac{1}{2}frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__2__R_CURLY__\left[r(\theta_i)\right]^2 \Delta \theta.</math>
Kështu, zona e përgjithshme e të gjithë sektorëve është
:<math>\sum_{isum___L_CURLY__i=1}1__R_CURLY__^n \tfrac12r(\theta_i)^2\,\Delta\theta.</math>
 
Ndërsa numri i nën-intervaleve ''n'' rritet, përafrimi i zonës vazhdon të përmirësohet. Në kufirin kur {{nowrap|''n'' → ∞}}, shuma bëhet [[Shuma e Rieman|shuma Rimaniane]] për integralin e mëlartëm.
Rreshti 190:
Duke përdorur [[Sistemi koordinativ kartezian|koordinatat Karteziane]], një element infinitezimal i sipërfaqes mund të llogaritet si ''dA'' = ''dx'' ''dy''. [[Integrimi me zëvendësim|Rregulli i zëvendësimit]] për integrale të shumëfishta pohon se, kur përdorim koordinata të tjera, [[përcaktori Jakobian]] i formulës së konvertimit të koordinatave duhet të merret në konsidertaë:
 
: <math>J = \det\frac{frac__L_CURLY__\partial(x,y)}{__R_CURLY____L_CURLY__\partial(r,\theta)}__R_CURLY__
=\begin__L_CURLY__vmatrix__R_CURLY__
=\begin{vmatrix}
\frac{frac__L_CURLY__\partial x}{x__R_CURLY____L_CURLY__\partial r} & \frac{frac__L_CURLY__\partial x}{x__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta} \\
\frac{frac__L_CURLY__\partial y}{y__R_CURLY____L_CURLY__\partial r} & \frac{frac__L_CURLY__\partial y}{y__R_CURLY____L_CURLY__\partial \theta}theta__R_CURLY__
\end__L_CURLY__vmatrix__R_CURLY__
\end{vmatrix}
=\begin__L_CURLY__vmatrix__R_CURLY__
=\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta
\end__L_CURLY__vmatrix__R_CURLY__
\end{vmatrix}
=r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.</math>
 
Rreshti 205:
 
Tani , një funksion që është i dhënë në koordinata polare mund të integrohet si më poshtë:
:<math>\iint_R f(r,\theta) \, dA = \int_a^b \int_0^{r__L_CURLY__r(\theta)} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta.</math>
Këtu , ''R'' është i njëjti rajon si më lartë, pra, rjoni i rrethuar nga kurba ''r''(θ) dhe rrezet θ = ''a'' dhe θ = ''b''.
 
Formula për sipërfaqen e ''R'' e përmendur më lart gjendet duke marrë ''f'' identikisht të barabartë me 1. Një zbatim interesant i këtij rezultati jep [[Integrali Gausian|integralin Gausian]]
:<math> \int_{int___L_CURLY__-\infty}infty__R_CURLY__^\infty e^{__L_CURLY__-x^2} \, dx = \sqrt\pi.</math>
 
=== Analiza vektoriale ===
 
[[Analiza vektoriale]] mund të zbatohet gjithashtu mbi koordinatat polare. Për lëvizjen në një plan , le të jetë <math>\mathbf{r}mathbf__L_CURLY__r__R_CURLY__</math> vektori i pozicionit {{nowrap|(''r''cos(θ), ''r''sin(θ))}}, ku ''r'' dhe θ kanë varësi kohore ''t''.
 
Le të përcaktojmë vektorët njësi
:<math>\hat{hat__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}}=(\cos(\theta),\sin(\theta))</math>
në drejtimin e '''r''' dhe
:<math>\hat{hat__L_CURLY__\boldsymbol\theta}theta__R_CURLY__=(-\sin(\theta),\cos(\theta)) = \hat {__L_CURLY__\mathbf{kmathbf__L_CURLY__k}} \times \hat {__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} \ , </math>
në planin e lëvizjes pingul me drejtimin rrezor, ku <math>\hat{hat__L_CURLY__\mathbf {k__L_CURLY__k}}</math> është vektori njësi pingul me planin e lëvizjes.
 
Pra
 
:<math> \mathbf{rmathbf__L_CURLY__r} = (x, \ y ) = r (\cos \theta ,\ \sin \theta) = r \hat{hat__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}}\ , </math>
 
:<math> \dot {__L_CURLY__\mathbf r} = (\dot x, \ \dot y ) = \dot r (\cos \theta ,\ \sin \theta) + r \dot \theta (-\sin \theta ,\ \cos \theta) = \dot r \hat {__L_CURLY__\mathbf r} + r \dot \theta \hat {__L_CURLY__\boldsymbol{boldsymbol__L_CURLY__\theta}} \ , </math>
 
:<math> \ddot {__L_CURLY__\mathbf r } = (\ddot x, \ \ddot y ) = \ddot r (\cos \theta ,\ \sin \theta) + 2\dot r \dot \theta (-\sin \theta ,\ \cos \theta) + r\ddot \theta (-\sin \theta ,\ \cos \theta) - r {__L_CURLY__\dot \theta }__R_CURLY__^2 (\cos \theta ,\ \sin \theta)\ = </math>
::<math> \left( \ddot r - r {__L_CURLY__\dot \theta}theta__R_CURLY__^2 \right) \hat {__L_CURLY__\mathbf r} + \left( 2\dot r \dot \theta + r\ddot \theta \right) \hat {__L_CURLY__\boldsymbol{boldsymbol__L_CURLY__\theta}} \ = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{hat__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} +
\frac{1}{r}frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__r__R_CURLY__\; \frac{dfrac__L_CURLY__d__R_CURLY____L_CURLY__dt}{dt} \left(r^2\dot\theta\right) \hat{hat__L_CURLY__\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{hat__L_CURLY__\mathbf{rmathbf__L_CURLY__r}} + \frac{1}{r}frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__r__R_CURLY__\; \dot h \hat{hat__L_CURLY__\boldsymbol\theta}theta__R_CURLY__</math>
 
ku ''h'' është [[impulsi këndor specifik]].
Rreshti 236:
{{main|Mekanika e lëvizjes planare të pikës lëndore|Forca centrifugale (kënd reference rrotullues)}}
 
Termi <font style="vertical-align:+20%"><math>r\dot\theta^2</math></font> zakonisht quhet ''termi centrifugal'', ndërsa termi <font style="vertical-align:+20%"><math>2\dot r \dot\theta</math></font> referohet si ''termi i Koriolisit''. Për shembull, shih Shankar.<ref name=Shankar>{{cite book|title=Principles of Quantum Mechanics|author=Ramamurti Shankar|edition=2nd|page=81|url=http://books.google.com/?id=2zypV5EbKuIC&pg=PA81&dq=Coriolis+%22polar+coordinates%22|year=1994|isbn=0306447908|publisher=Springer}}</ref> Edhe pse këto ekuacione mbajnë disa ngjashmëri në formë me [[Forca centrifugale|forcën centrifugale]] dhe [[Efekti i Koriolisit|efektin e Koriolisit]] që gjenden në kënde reference në rrotullim, nuk ka një lidhje fizike midis këtyre fenomeneve.<ref name=angular>Në veçanti, shpejtesia kendore e paraqitur në kordinata polare është ajo e grimcës nën vëzhgim, <math>\dot{dot__L_CURLY__\theta}theta__R_CURLY__</math>, ndërsa në mekanikën klasike te Njutonit është shpejtesia kendore Ω shkalla e një kendi reference ne rrotullim.</ref> Për shembull, forca centrifugale dhe ajo e Koriolisit shfaqen vetëm në [[kënde reference joinerciale]] të referimit. Në të kundërt, këto terma shfaqen kur nxitimi është shprehur në koordinatat polare janë rrjedhoja matematike të diferencimit, këto terma duken kudo ku janë përdorur koordinatat polare. Në veçanti, këto terma duken edhe kur koordinatat polare janë përdorur në [[kënde inerciale të referimit]] , ku nuk shfaqen forcat centrifugale dhe efekti i Koriolisit.
 
===== Sistemet bashkë-rrotulluese =====
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/wiki/Sistemi_koordinativ_polar"