Në matematikë, një operator diferencial është një operator i përcaktuar si funksion i operatorit të diferencimit . Është i dobishëm, si çështje shënimi, së pari, të konsiderohet diferencimi si një veprim abstrakt që pranon një funksion dhe kthen një funksion tjetër (në stilin e një funksioni të rendit më të lartë në shkencën kompjuterike ).
Një funksion harmonik i përcaktuar në një unazë . Funksionet harmonike janë pikërisht ato funksione që qëndrojnë në bërthamën e operatorit të Laplasit, një operator diferencial i rëndësishëm.
Ky artikull shqyrton kryesisht operatorët diferencialë linearë, të cilët janë lloji më i zakonshëm. Megjithatë, ekzistojnë edhe operatorë diferencialë jolinearë, siç është derivati Schwarzian .
Duke pasur parasysh një numër të plotë jonegativ m, një urdhër- operatori diferencial linear është një hartë nga një hapësirë funksioni në një hapësirë tjetër funksioni që mund të shkruhet si:
ku është një multi-indeks i numrave të plotë jo negativë, , dhe për secilën , është një funksion në një fushë të hapur në hapësirë n -dimensionale. Operatori interpretohet si
Kështu për një funksion :
Shënimi është i justifikuar (dmth. i pavarur nga rendi i diferencimit) për shkak të simetrisë së derivateve të dyta.
Polinomi p përftohet duke zëvendësuar D me ndryshore në P quhet simboli total i P ; dmth, simboli total i P më sipër është:
ku Përbërësi më i lartë homogjen i simbolit, domethënë,
quhet simboli parësor i P. Ndërsa simboli total nuk është i përcaktuar në thelb, simboli parësor, në thelb, është i përcaktuar (d.m.th., është një funksion në paketën kotangjente). [1]
Në përgjithësi, le të jenë E dhe F grupe vektoriale mbi një shumëfish X . Pastaj operatori linear
është një operator diferencial i rendit nëse, në koordinatat vendore në X, kemi
ku, për çdo α multi-indekse, është një hartë pako, simetrike në indekset α.
Koeficientët e rendit k të P-të shndërrohen si tensor simetrik
domeni i të cilit është prodhimi sipas tensorëve i fuqisë k- simetrike të paketës kotangjente të X me E, dhe kodomani i së cilës është F . Ky tensor simetrik njihet si simboli parësor (ose thjesht simboli ) i P .
Një operator diferencial P dhe simboli i tij shfaqen natyrshëm në lidhje me transformimin Furier si më poshtë. Le të jetë ƒ një funksion Schwartz . Pastaj nga transformimi i anasjelltë i Furierit,
Operatori diferencial është eliptik nëse simboli i tij është i kthyeshëm; që është për çdo jozero harta e paketës është e kthyeshme. Në një durth kompakt, nga teoria eliptike rrjedh se P është një operator Fredholm : ai ka kernel dhe kokernel me dimensione të fundme.
Në studimin e ekuacioneve diferenciale të pjesshme hiperbolike dhe parabolike, zerot e simbolit kryesor korrespondojnë me karakteristikat e ekuacionit diferencial të pjesshëm.
Në topologjinë diferenciale, operatorët e derivatit të jashtëm dhe të derivatit Lie kanë kuptim të brendshëm.
Në algjebër abstrakte, koncepti i një derivimi lejon përgjithësime të operatorëve diferencialë, të cilët nuk kërkojnë përdorimin e llogaritjes. Shpesh përgjithësime të tilla përdoren në gjeometrinë algjebrike dhe algjebrën komutative. Shihni gjithashtu Jet (matematikë) .
Në zhvillimin e funksioneve holomorfike të një ndryshoreje kompleksez = x + iy, ndonjëherë një funksion kompleks konsiderohet të jetë një funksion i dy ndryshoreve reale x dhe y. Përdorimi bëhet nga derivatet Wirtinger, të cilët janë operatorë diferencialë të pjesshëm: