Shpërndarja logaritmike

Në probabilitet dhe statistikë, shpërndarja logaritmike (e njohur gjithashtu si shpërndarja e serive logaritmike ose shpërndarja e serive log ) është një shpërndarje diskrete probabiliteti që rrjedh nga zgjerimi i serisë Maclaurin

Shpërndarja logaritmike

Probability mass function Grafiku i FMP-së Funksioni është i përcaktuar vetëm për numra të plotë.Vijat lidhëse shërbejnë vetëm për vizualizim.
Cumulative distribution function Grafiku i FMSH-së
Parametrat	$0<p<1$
Mbështetës	$k\in \{1,2,3,\ldots \}$
FMGJ	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}$
FGSH	$1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$
Vlera e pritur	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}$
Moda	$1$
Varianca	$-{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}$
FGJM	${\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ për }}t<-\ln p$
FK	${\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}$
FGJGJ	${\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ për }}|z|<{\frac {1}{p}}$

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

Nga kjo marrim identitetin

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

Kjo çon drejtpërdrejt në funksionin e masës së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit të shpërndarë:

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

për k ≥ 1 dhe ku 0 < p < 1. Për shkak të identitetit të mësipërm, shpërndarja është e normalizuar siç duhet.

Funksioni mbledhës i shpërndarjes është

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

ku B është funksioni beta jo i plotë .

RA Fisher e përshkroi shpërndarjen logaritmike në një letër ku e përdori atë për të modeluar bollëkun e specieve relative .