Tetrimi

Në matematikë, tetrimi (ose hiper-4 ) është një veprim i bazuar në fuqizimin e përsëritur ose të iteruar. Nuk ka asnjë shënim standard për tetrimin, megjithëse shënimi i shigjetës lart të Knuth-it $\uparrow \uparrow$ dhe eksponenti i majtë ^x b janë të zakonshëm.

Ngjyrosja e domenit të tetrimit holomorfik ${}^{z}e$, me nuancën që përfaqëson argumentin e funksionit dhe shkëlqimin që përfaqëson madhësinë

${}^{n}x$, për n = 2, 3, 4, ... , duke treguar konvergjencë me eksponencialin e iteruar pafundësisht midis dy pikave

Sipas përkufizimit si fuqizim i përsëritur, ${^{n}a}$ do të thotë ${a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$, ku n kopje të a përsëriten nëpërmjet fuqizimit, nga e djathta në të majtë, dmth me zbatimin e fuqisë $n-1$ herë. n quhet "lartësia" e funksionit, ndërsa a quhet "bazë", analoge me fuqizimin. Do të lexohej si "tetrimi i n-të i a ".

Është hiperveprimi i radhës pas eksponentimit, por para pentimit . Fjala u krijua nga Reuben Louis Goodstein nga tetra- (katër) dhe përsëritje .

${a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{nëse }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{nëse }}n>0,\end{cases}}$

duke lejuar përpjekjet për të zgjeruar tetrimin në numra jonatyrorë si numrat realë dhe kompleksë .

Prezantimi

Katër hiperveprimet e para janë paraqitur këtu, me tetracionin që konsiderohet i katërti në seri. Pasuesi (veprimi unar), i përcaktuar si $a'=a+1$, konsiderohet të jetë veprimi zero.

1. Shtim
   $$a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}$$
   $a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}$
2. Shumëzimi
   $$n\times a=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$$
   $n\times a=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$
3. Eksponencimi
   $$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$$
   $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$
4. Tetrimi
   $${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$$
   {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n

Pasuesi, $a_{n+1}=a_{n}+1$, është veprimi më themelor; ndërsa shtimi ( $a+n$ ) është një veprim primar, për mbledhjen e numrave natyrorë mund të mendohet si një vazhdimësi zinxhirore e $n$ pasardhës të $a$ ; shumëzimi ( $a\times n$ ) është gjithashtu një veprim primar, megjithëse për numrat natyrorë mund të mendohet në mënyrë analoge si një mbledhje zinxhir që përfshin $n$ numrat e $a$ . Eksponencimi mund të mendohet si një shumëzim zinxhir që përfshin $n$ numrat e $a$ dhe tetrimin ( $^{n}a$ ) si një fuqi zinxhir që përfshin $n$ numrat $a$ . Secili nga operacionet e mësipërme përcaktohet duke përsëritur atë të mëparshëm; megjithatë, ndryshe nga veprimet para tij, tetrimi nuk është një funksion elementar .

Shembuj

Për shkak të rritjes jashtëzakonisht të shpejtë të tetrimit, shumica e vlerave në tabelën e mëposhtme janë shumë të mëdha për t'u shkruar me shënime shkencore. Në këto raste, shënimi i përsëritur eksponencial përdoret për t'i shprehur ato në bazën 10. Vlerat që përmbajnë një pikë dhjetore janë të përafërta.

Shembuj të tetrimit

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$	${}^{5}x$	${}^{6}x$	${}^{7}x$
1	1	1	1	1	1	1
2	4 (22)	16 (24)	65,536 (216)	2.00353 × 1019,728	$\exp _{10}^{3}(4.29508)$ (106.03123×1019,727)	$\exp _{10}^{4}(4.29508)$ (10106.03123×1019,727)
3	27 (33)	7,625,597,484,987 (327)	$\exp _{10}^{3}(1.09902)$ (1.25801 × 103,638,334,640,024 )	$\exp _{10}^{4}(1.09902)$	$\exp _{10}^{5}(1.09902)$	$\exp _{10}^{6}(1.09902)$
4	256 (44)	1.34078 × 10154 (4256)	$\exp _{10}^{3}(2.18726)$ (108.0723×10153)	$\exp _{10}^{4}(2.18726)$	$\exp _{10}^{5}(2.18726)$	$\exp _{10}^{6}(2.18726)$
5	3,125 (55)	1.91101 × 102,184 (53,125)	$\exp _{10}^{3}(3.33928)$ (101.33574×102,184)	$\exp _{10}^{4}(3.33928)$	$\exp _{10}^{5}(3.33928)$	$\exp _{10}^{6}(3.33928)$
6	46,656 (66)	2.65912 × 1036,305 (646,656)	$\exp _{10}^{3}(4.55997)$ (102.0692×1036,305)	$\exp _{10}^{4}(4.55997)$	$\exp _{10}^{5}(4.55997)$	$\exp _{10}^{6}(4.55997)$
7	823,543 (77)	3.75982 × 10695,974 (7823,543)	$\exp _{10}^{3}(5.84259)$ (3.17742 × 10695,974 digits)	$\exp _{10}^{4}(5.84259)$	$\exp _{10}^{5}(5.84259)$	$\exp _{10}^{6}(5.84259)$
8	16,777,216 (88)	6.01452 × 1015,151,335	$\exp _{10}^{3}(7.18045)$ (5.43165 × 1015,151,335 digits)	$\exp _{10}^{4}(7.18045)$	$\exp _{10}^{5}(7.18045)$	$\exp _{10}^{6}(7.18045)$
9	387,420,489 (99)	4.28125 × 10369,693,099	$\exp _{10}^{3}(8.56784)$ (4.08535 × 10369,693,099 digits)	$\exp _{10}^{4}(8.56784)$	$\exp _{10}^{5}(8.56784)$	$\exp _{10}^{6}(8.56784)$
10	10,000,000,000 (1010)	1010,000,000,000	$\exp _{10}^{3}(10)$ (1010,000,000,000 + 1 digits)	$\exp _{10}^{4}(10)$	$\exp _{10}^{5}(10)$	$\exp _{10}^{6}(10)$